【XSY3350】svisor - 點分治+虛樹dp

題目來源：NOI2019模擬測試賽（九）

題意：

吐槽：

第一眼看到題以爲這不是震波的徹底弱化版嗎……而後開開心心的碼了個點分治

碼到一半忽然發現看錯題了……心態崩了因而就棄療手玩提答去了

因而就快樂墊底了

最後發現這是個最毒瘤的題……改題寫+調了一天，代碼長度再次進入前五排行榜

題解：

（明明是在線作法爲何不強制在線呢）

因爲是詢問樹上某些關鍵點的信息，且$\sum k$比較小，因此考慮建出虛樹處理詢問；

如圖，對於虛樹上一個不是關鍵點的點$u$，顯然他的最大監視半徑就是$max\{r_v-dis_{u,v}|v是u的子節點\}$；

這個能夠經過逆拓撲序在虛樹上一遍DP求出來；

因爲虛樹的點數是$O(k)$的，因此能夠直接用點分治預處理離每一個點距離小於等於$r$的點數量，而後$O(logn)$處理虛樹上全部點的詢問；

可是這樣作顯然會有點被重複計算，如圖，陰影部分的點就被計算了兩次（圖中是一條鏈，實際上可能還有其它分支也被重複計算了）；

考慮被重複計算的部分有什麼性質，容易發現它實際上就是距離$u$和$v$的監視半徑重疊部分中心不超過$\frac{r_u+r_v-dis_{u,v}}{2}$的點集，顯然這也能夠當成相似的詢問用點分治處理；

對虛樹上每一對有重疊的父子都相似處理一遍，就能夠減去全部重疊部分的額外影響，所以不用額外考慮被覆蓋了三次四次甚至以上的點；

因爲虛樹的邊數=點數-1，因此這一部分的時間複雜度顯然是對的；

可是這樣還有一個小問題：如圖，若是重疊部分邊長度爲奇數，那麼是找不到中心點的；

實際上這時中心點在一條邊上，因此能夠拆邊，把樹上每條本來的邊都當作一個點，就能夠解決了；

至此這道題終於作完了……具體實現的時候並不用把虛樹真正建出來，只記錄每一個點的父節點和拓撲序便可；

總的時間複雜度$O((n+\sum k)logn)$，常數很大。

寫的時候細節超多……外面的點分治要記一萬個信息……輕鬆喜提200行+

代碼：

 1 #include<algorithm>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<vector>
 6 #include<cmath>
 7 #include<queue>
 8 #include<stack>
 9 #define inf 2147483647
 10 #define eps 1e-9
 11 using namespace std;  12 typedef long long ll;  13 typedef double db;  14 struct edge{  15     int v,next;  16 }a[200001];  17 int n,m,u,v,K,S,rt,mxd,ans,tot=0,tim=0,fkfa[100001],dfn[100001],nmd[100001],head[100001],dps[100001],md1[100001],*s1[100001],md2[100001],*s2[100001],ddp[100001],dfdep[100001],dfrt[100001][20],dfds[100001][20],k[100001],r[100001],siz[100001],mx[100001],dep[100001],fa[100001][17];  18 bool used[100001],isk[100001];  19 stack<int>st;  20 vector<int>vec;  21 bool cmp(int a,int b){  22     return dfn[a]<dfn[b];  23 }  24 void add(int u,int v){  25     a[++tot].v=v;  26     a[tot].next=head[u];  27     head[u]=tot;  28 }  29 void dfs(int u,int ff,int dpt){  30     dep[u]=dpt;  31     dfn[u]=++tim;  32     nmd[tim]=u;  33     fa[u][0]=ff;  34     for(int i=1;i<=16;i++)fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];  35     for(int tmp=head[u];tmp!=-1;tmp=a[tmp].next){  36         int v=a[tmp].v;  37         if(v!=ff){  38             dfs(v,u,dpt+1);  39  }  40  }  41 }  42 int lca(int u,int v){  43     if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);  44     int l=dep[u]-dep[v];  45     for(int i=16;i>=0;i--){  46         if((1<<i)&l){  47             u=fa[u][i];  48  }  49  }  50     if(u==v)return u;  51     for(int i=16;i>=0;i--){  52         if(fa[u][i]!=fa[v][i]){  53             u=fa[u][i],v=fa[v][i];  54  }  55  }  56     return fa[u][0];  57 }  58 int getfa(int u,int l){  59     for(int i=16;i>=0;i--){  60         if((1<<i)&l){  61             u=fa[u][i];  62  }  63  }  64     return u;  65 }  66 void dfsrt(int u,int fa){  67     siz[u]=1;  68     mx[u]=0;  69     mxd=max(mxd,ddp[u]);  70     if(u<=n)dps[ddp[u]]++;  71     for(int tmp=head[u];tmp!=-1;tmp=a[tmp].next){  72         int v=a[tmp].v;  73         if(!used[v]&&v!=fa){  74  dfsrt(v,u);  75             siz[u]+=siz[v];  76             mx[u]=max(mx[u],siz[v]);  77  }  78  }  79     mx[u]=max(mx[u],S-siz[u]);  80     if(mx[u]<mx[rt])rt=u;  81 }  82 void dfsdep(int u,int fa,int ls,int dpt){  83     siz[u]=1;  84     ddp[u]=dpt;  85     dfdep[u]++;  86     dfrt[u][dfdep[u]]=ls;  87     dfds[u][dfdep[u]]=dpt;  88     mxd=max(mxd,dpt);  89     if(u<=n)dps[dpt]++;  90     for(int tmp=head[u];tmp!=-1;tmp=a[tmp].next){  91         int v=a[tmp].v;  92         if(!used[v]&&v!=fa){  93             dfsdep(v,u,ls,dpt+1);  94             siz[u]+=siz[v];  95  }  96  }  97 }  98 void divide(int u){  99     used[u]=true; 100     ddp[u]=mxd=0; 101     dfsdep(u,0,u,0); 102     md1[u]=mxd; 103     s1[u]=new int[mxd+1]; 104     for(int i=0;i<=mxd;i++){ 105         s1[u][i]=dps[i]; 106         if(i)s1[u][i]+=s1[u][i-1]; 107         dps[i]=0; 108  } 109     for(int tmp=head[u];tmp!=-1;tmp=a[tmp].next){ 110         int v=a[tmp].v; 111         if(!used[v]){ 112             mxd=rt=0; 113             S=siz[v]; 114  dfsrt(v,u); 115             md2[rt]=mxd; 116             s2[rt]=new int[mxd+1]; 117             for(int i=0;i<=mxd;i++){ 118                 s2[rt][i]=dps[i]; 119                 if(i)s2[rt][i]+=s2[rt][i-1]; 120                 dps[i]=0; 121  } 122  divide(rt); 123  } 124  } 125 } 126 void buildfaketree(){ 127     while(!st.empty())st.pop(); 128  vec.clear(); 129     sort(k+1,k+K+1,cmp); 130     st.push(k[1]); 131     for(int i=2;i<=K;i++){ 132         int z=lca(k[i],st.top()); 133         if(!isk[z])r[z]=-1; 134         while(!st.empty()&&dep[z]<dep[st.top()]){ 135             int x=st.top(); 136  st.pop(); 137  vec.push_back(x); 138             if(!st.empty()&&dep[z]<dep[st.top()])fkfa[x]=st.top(); 139             else fkfa[x]=z; 140  } 141         if(st.empty()||dep[z]>dep[st.top()])st.push(z); 142         if(k[i]!=z)st.push(k[i]); 143  } 144     while(!st.empty()){ 145         int x=st.top(); 146  st.pop(); 147  vec.push_back(x); 148         if(!st.empty())fkfa[x]=st.top(); 149         else fkfa[x]=0; 150  } 151 } 152 int getci(int u,int r){ 153     int nw,d1,d2,ret=0; 154     for(int i=dfdep[u];i;i--){ 155         nw=dfrt[u][i]; 156         d1=dfds[u][i]; 157         d2=dfds[u][i-1]; 158         if(d1<=r)ret+=s1[nw][min(r-d1,md1[nw])]; 159         if(i>1&&d2<=r)ret-=s2[nw][min(r-d2,md2[nw])]; 160  } 161     return ret; 162 } 163 void getans(){ 164     ans=0; 165     int u,ft,ds,mid,len=vec.size(); 166     for(int i=0;i<len;i++){ 167         u=vec[i]; 168         r[fkfa[u]]=max(r[fkfa[u]],r[u]-dep[u]+dep[fkfa[u]]); 169  } 170     for(int i=len-1;i>=0;i--){ 171         u=vec[i]; 172         r[u]=max(r[u],r[fkfa[u]]-dep[u]+dep[fkfa[u]]); 173  } 174     for(int i=0;i<len;i++){ 175         u=vec[i]; 176         ans+=getci(u,r[u]); 177  } 178     for(int i=0;i<len-1;i++){ 179         u=vec[i]; 180         ft=fkfa[u]; 181         ds=dep[u]-dep[ft]; 182         if(r[u]+r[ft]>=ds){ 183             mid=getfa(u,(r[u]-r[ft]+ds)/2); 184             ans-=getci(mid,r[u]-(r[u]-r[ft]+ds)/2); 185  } 186  } 187 } 188 void pt(int *s){ 189     for(int i=1;i<=n*2-1;i++)printf("%d ",s[i]); 190     puts(""); 191 } 192 int main(){ 193     memset(head,-1,sizeof(head)); 194     scanf("%d",&n); 195     for(int i=1;i<n;i++){ 196         scanf("%d%d",&u,&v); 197         add(u,n+i); 198         add(n+i,u); 199         add(v,n+i); 200         add(n+i,v); 201  } 202     dfs(1,0,0); 203     S=n*2-1; 204     mx[rt]=6666666; 205     dfsrt(1,-1); 206     memset(dps,0,sizeof(dps)); 207  divide(rt); 208     scanf("%d",&m); 209     while(m--){ 210         scanf("%d",&K); 211         r[0]=-1; 212         for(int i=1;i<=K;i++){ 213             scanf("%d",&k[i]); 214             scanf("%d",&r[k[i]]); 215             r[k[i]]*=2; 216             isk[k[i]]=true; 217  } 218  buildfaketree(); 219         for(int i=1;i<=K;i++)isk[k[i]]=false; 220  getans(); 221         printf("%d\n",ans); 222  } 223     return 0; 224 }