7/10 連續非負整數亦或和（博弈論）

咱們要考慮連續非負整數的異或和問題 

  記 f(x, y) 爲x到y的全部整數的異或值。 

  f[1,n]=f[0,n];

  當n爲2^k-1(2的K次方減一)時;

  0 到 2^k-1 共2^k個數 等於∑C（n，i）

  能夠看作在k個位置中放入i個0，最後求和

  同時能夠看作在空格位置中放入i個1；最後求和

  即在每一位上1個0的個數都相等，每一個位上有2^(k-1)個1,當k>=2時 1的個數爲偶數;

  而咱們已經知道偶數個1的異或和爲0

因此 f[0, 2^k - 1] = 0 (k >= 2)

 

  對 f[0, n]  (n>=4) 設n的最高位1是在第k位(k >= 2)，

f[0, n] = f[0, 2^k - 1] xor f[2^k, n] = f[2^k, n]

對2^k到n這n+1-2^k個數，最高位(第k位)共有 m = n+1-2^k 個1,

 

   2^k老是偶數,所以,當n爲奇數時，m是偶數，f[0, n] = f[2^k, n] = f[0, n - 2^k]

當n爲奇數(n - 2^k)老是奇數 ，因此：f[0,n] = f[0,n-2^k-2^(k-1)...-2^2](只到3是由於k>=2)

此時只剩下兩位是咱們須要的 咱們能夠用（n & 3）很快獲得後兩位

因爲n是奇數 因此（n & 3）只可能獲得 1 或 3；

1對應 二進制數 （01）因此是奇數個1  此時f [0,n]=1;

3對應 二進制數 （11） 此時f[0,n]=0;

 

  當n爲偶數時，m是奇數，於是 f[0, n] = f[2^k, n] = f[0, n - 2^k]  xor  2^k

可得：f[0, n] =  f(0, n & 3) xor 2^k xor n[k]*2^(k-1) xor ....n[2]*2^2 n[k] 爲 n的二進制數的第k位；

很明顯 當n爲偶數時 f[0,n]的二進制從最高位到第3位（若是不止3位） 跟n的二進制數從高位到第三位 相同；

此時只須要 判斷 第二位

n & 3=0對應後二位爲（00） 此時 f[0,n]=n;

n & 3=2對應後二位爲（10） 此時 f[0,n]=n+1;

 

綜上所述：

                               n        n % 4 == 0

  f[1, n]  =  f[0, n]  = 1        n % 4 == 1

                               n +1   n % 4 == 2

                               0        n % 4 == 3

  f[x,y] = f[0,y] xor f[0,x-1] .(x>0)

 

 

 

//讀入n，表示有從物品數分別1到n的n堆物品，假設n個數存在數組f[]中
int xor_n(int n)//從1到n的異或和
{
     int t = n & 3;
     if (t & 1) return t / 2 ^ 1;
     return t / 2 ^ n;
}
int Nimm_Game(int n)//有必勝策略返回1
{
    int flag=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    flag^=xor_n(f[i]);
    if(flag) return 1;
    return 0;
}

 

碼是從Angelkitty的博客上扒下來的 萬分感謝！！！