<2014 10 01> 數學基礎 Wikipedia

數學上，數學基礎一詞有時候用於數學的特定領域，例如數理邏輯，公理化集合論，證實論，模型論，和遞歸論。可是尋求數學的基礎也是數學哲學的中心問題：在什麼終極基礎上命題能夠稱爲真?php

目前佔統治地位的數學範式是基於公理化集合論和形式邏輯的。實際上，幾乎全部如今的數學定理均可以表述爲集合論下的定理。在這個觀點下，所謂數學命題的真實性，不過就是該命題能夠從集合論公理使用形式邏輯推導出來。spa

這個形式化的方法不能解釋一些問題：爲何咱們應沿用現行的公理而不是別的，爲何咱們應沿用現行的邏輯規則而不是別的，爲何"真"數學命題（例如，算術領域的皮亞諾公理）在物理世界中彷佛是真的。這被尤金·維格納在1960年叫作「數學在天然科學中無理由的有效性」（The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences）。xml

上述的形式化真實性也可能徹底沒有意義：有可能全部命題，包括自相矛盾的命題，均可以從集合論公理導出。並且，做爲歌德爾第二不完備定理的一個結果，咱們永遠沒法排除這種可能性。對象

在數學實在論（有時也叫柏拉圖主義）中，獨立於人類的數學對象的世界的存在性被做爲一個基本假設；這些對象的真實性由人類發現。在這種觀點下，天然定律和數學定律有相似的地位，所以"有效性"再也不"無理由"。不是咱們的公理，而是數學對象的真實世界構成了數學基礎。但，顯然的問題在於，咱們如何接觸這個世界？遞歸

一些數學哲學的現代理論不認可這種數學基礎的存在性。有些理論傾向於專一數學實踐，並試圖把數學家的實際工做視爲一種社會羣體來做描述和分析。也有理論試圖創造一個數學認知科學，把數學在"現實世界"中的可靠性歸結爲人類的認知。這些理論建議只在人類的思考中找到基礎，而不是任何"客觀"的外在構造。這個主題一直頗有爭論性。ip

定義（definition）、公理（axiom）、定理（theorem）、推論（corollary）、命題（proposition）、引理（lemma）之間的相互關係基本以下。ci

定理、引理沒有嚴格區分，通常定理是主要結果，引理是輔助、中間結果。rem

首先、定義和公理是任何理論的基礎，定義解決了概念的範疇，公理使得理論可以被人的理性所接受。get

其次、定理和命題就是在定義和公理的基礎上經過理性的加工使得理論的再延伸，我認爲它們的區別主要在於，定理的理論高度比命題高些，定理主要是描述各定義（範疇）間的邏輯關係，命題通常描述的是某種對應關係（非範疇性的）。而推論就是某必定理的附屬品，是該定理的簡單應用。數學

最後、引理就是在證實某必定理時所必須用到的其它定理。而在通常狀況下，就像前面所提到的定理的證實是依賴於定義和公理的。