二叉堆(一)之圖文解析和 C語言的實現

時間 2019-11-18

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概要

本章介紹二叉堆，二叉堆就是一般咱們所說的數據結構中"堆"中的一種。和以往同樣，本文會先對二叉堆的理論知識進行簡單介紹，而後給出C語言的實現。後續再分別給出C++和Java版本的實現；實現的語言雖不一樣，可是原理一模一樣，選擇其中之一進行了解便可。若文章有錯誤或不足的地方，請不吝指出！ html

目錄
1. 堆和二叉堆的介紹
2. 二叉堆的圖文解析
3. 二叉堆的C實現(完整源碼)
4. 二叉堆的C測試程序算法

轉載請註明出處：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3610187.html數組

更多內容：數據結構與算法系列目錄數據結構

(01) 二叉堆(一)之圖文解析和 C語言的實現
(02) 二叉堆(二)之 C++的實現
(03) 二叉堆(三)之 Java的實ide

堆和二叉堆的介紹

堆的定義測試

堆(heap)，這裏所說的堆是數據結構中的堆，而不是內存模型中的堆。堆一般是一個能夠被看作一棵樹，它知足下列性質：
[性質一] 堆中任意節點的值老是不大於(不小於)其子節點的值；
[性質二] 堆老是一棵徹底樹。
將任意節點不大於其子節點的堆叫作最小堆或小根堆，而將任意節點不小於其子節點的堆叫作最大堆或大根堆。常見的堆有二叉堆、左傾堆、斜堆、二項堆、斐波那契堆等等。spa

二叉堆的定義code

二叉堆是徹底二元樹或者是近似徹底二元樹，它分爲兩種：最大堆和最小堆。
最大堆：父結點的鍵值老是大於或等於任何一個子節點的鍵值；最小堆：父結點的鍵值老是小於或等於任何一個子節點的鍵值。示意圖以下：
htm

二叉堆通常都經過"數組"來實現。數組實現的二叉堆，父節點和子節點的位置存在必定的關係。有時候，咱們將"二叉堆的第一個元素"放在數組索引0的位置，有時候放在1的位置。固然，它們的本質同樣(都是二叉堆)，只是實現上稍微有一丁點區別。
假設"第一個元素"在數組中的索引爲 0 的話，則父節點和子節點的位置關係以下：
(01) 索引爲i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(02) 索引爲i的左孩子的索引是 (2*i+2);
(03) 索引爲i的父結點的索引是 floor((i-1)/2);
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假設"第一個元素"在數組中的索引爲 1 的話，則父節點和子節點的位置關係以下：
(01) 索引爲i的左孩子的索引是 (2*i);
(02) 索引爲i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(03) 索引爲i的父結點的索引是 floor(i/2);

注意：本文二叉堆的實現通通都是採用"二叉堆第一個元素在數組索引爲0"的方式！

二叉堆的圖文解析

在前面，咱們已經瞭解到："最大堆"和"最小堆"是對稱關係。這也意味着，瞭解其中之一便可。本節的圖文解析是以"最大堆"來進行介紹的。

二叉堆的核心是"添加節點"和"刪除節點"，理解這兩個算法，二叉堆也就基本掌握了。下面對它們進行介紹。

1. 添加

假設在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]種添加85，須要執行的步驟以下：

如上圖所示，當向最大堆中添加數據時：先將數據加入到最大堆的最後，而後儘量把這個元素往上挪，直到挪不動爲止！
將85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中後，最大堆變成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

最大堆的插入代碼(C語言)

/*
 * 最大堆的向上調整算法(從start開始向上直到0，調整堆)
 *
 * 注：數組實現的堆中，第N個節點的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 參數說明：
 *     start -- 被上調節點的起始位置(通常爲數組中最後一個元素的索引)
 */
static void maxheap_filterup(int start)
{
    int c = start;            // 當前節點(current)的位置
    int p = (c-1)/2;        // 父(parent)結點的位置 
    int tmp = m_heap[c];        // 當前節點(current)的大小

    while(c > 0)
    {
        if(m_heap[p] >= tmp)
            break;
        else
        {
            m_heap[c] = m_heap[p];
            c = p;
            p = (p-1)/2;   
        }       
    }
    m_heap[c] = tmp;
}
  
/* 
 * 將data插入到二叉堆中
 *
 * 返回值：
 *     0，表示成功
 *    -1，表示失敗
 */
int maxheap_insert(int data)
{
    // 若是"堆"已滿，則返回
    if(m_size == m_capacity)
        return -1;
 
    m_heap[m_size] = data;        // 將"數組"插在表尾
    maxheap_filterup(m_size);    // 向上調整堆
    m_size++;                    // 堆的實際容量+1

    return 0;
}

maxheap_insert(data)的做用：將數據data添加到最大堆中。
當堆已滿的時候，添加失敗；不然data添加到最大堆的末尾。而後經過上調算法從新調整數組，使之從新成爲最大堆。

2. 刪除

假設從最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中刪除90，須要執行的步驟以下：

從[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]刪除90以後，最大堆變成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。
如上圖所示，當從最大堆中刪除數據時：先刪除該數據，而後用最大堆中最後一個的元素插入這個空位；接着，把這個「空位」儘可能往上挪，直到剩餘的數據變成一個最大堆。

注意：考慮從最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中刪除60，執行的步驟不能單純的用它的子節點來替換；而必須考慮到"替換後的樹仍然要是最大堆"！

最大堆的刪除代碼(C語言)

/* 
 * 返回data在二叉堆中的索引
 *
 * 返回值：
 *     存在 -- 返回data在數組中的索引
 *     不存在 -- -1
 */
int get_index(int data)
{
    int i=0;

    for(i=0; i<m_size; i++)
        if (data==m_heap[i])
            return i;

    return -1;
}

/* 
 * 最大堆的向下調整算法
 *
 * 注：數組實現的堆中，第N個節點的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 參數說明：
 *     start -- 被下調節點的起始位置(通常爲0，表示從第1個開始)
 *     end   -- 截至範圍(通常爲數組中最後一個元素的索引)
 */
static void maxheap_filterdown(int start, int end)
{
    int c = start;          // 當前(current)節點的位置
    int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
    int tmp = m_heap[c];    // 當前(current)節點的大小

    while(l <= end)
    {
        // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
        if(l < end && m_heap[l] < m_heap[l+1])
            l++;        // 左右兩孩子中選擇較大者，即m_heap[l+1]
        if(tmp >= m_heap[l])
            break;        //調整結束
        else
        {
            m_heap[c] = m_heap[l];
            c = l;
            l = 2*l + 1;   
        }       
    }   
    m_heap[c] = tmp;
}

/*
 * 刪除最大堆中的data
 *
 * 返回值：
 *      0，成功
 *     -1，失敗
 */
int maxheap_remove(int data)
{
    int index;
    // 若是"堆"已空，則返回-1
    if(m_size == 0)
        return -1;

    // 獲取data在數組中的索引
    index = get_index(data); 
    if (index==-1)
        return -1;

    m_heap[index] = m_heap[--m_size];        // 用最後元素填補
    maxheap_filterdown(index, m_size-1);    // 從index位置開始自上向下調整爲最大堆

    return 0;
}

maxheap_remove(data)的做用：從最大堆中刪除數據data。
當堆已經爲空的時候，刪除失敗；不然查處data在最大堆數組中的位置。找到以後，先用最後的元素來替換被刪除元素；而後經過下調算法從新調整數組，使之從新成爲最大堆。

該"示例的完整代碼"以及"最小堆的相關代碼"，請參考下面的二叉堆的實現。

二叉堆的C實現(完整源碼)

二叉堆的實現同時包含了"最大堆"和"最小堆"，它們是對稱關係；理解一個，另外一個就很是容易懂了。

二叉堆(最大堆)的實現文件(max_heap.c)

  1 /**
  2  * 二叉堆(最大堆)
  3  *
  4  * @author skywang
  5  * @date 2014/03/07
  6  */
  7 
  8 #include <stdio.h>
  9 #include <stdlib.h>
 10 
 11 #define LENGTH(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )
 12 
 13 static int m_heap[30];        // 數據
 14 static int m_capacity=30;    // 總的容量
 15 static int m_size=0;        // 實際容量(初始化爲0)
 16  
 17 /* 
 18  * 返回data在二叉堆中的索引
 19  *
 20  * 返回值：
 21  *     存在 -- 返回data在數組中的索引
 22  *     不存在 -- -1
 23  */
 24 int get_index(int data)
 25 {
 26     int i=0;
 27 
 28     for(i=0; i<m_size; i++)
 29         if (data==m_heap[i])
 30             return i;
 31 
 32     return -1;
 33 }
 34 
 35 /* 
 36  * 最大堆的向下調整算法
 37  *
 38  * 注：數組實現的堆中，第N個節點的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 39  *
 40  * 參數說明：
 41  *     start -- 被下調節點的起始位置(通常爲0，表示從第1個開始)
 42  *     end   -- 截至範圍(通常爲數組中最後一個元素的索引)
 43  */
 44 static void maxheap_filterdown(int start, int end)
 45 {
 46     int c = start;          // 當前(current)節點的位置
 47     int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
 48     int tmp = m_heap[c];    // 當前(current)節點的大小
 49 
 50     while(l <= end)
 51     {
 52         // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
 53         if(l < end && m_heap[l] < m_heap[l+1])
 54             l++;        // 左右兩孩子中選擇較大者，即m_heap[l+1]
 55         if(tmp >= m_heap[l])
 56             break;        //調整結束
 57         else
 58         {
 59             m_heap[c] = m_heap[l];
 60             c = l;
 61             l = 2*l + 1;   
 62         }       
 63     }   
 64     m_heap[c] = tmp;
 65 }
 66 
 67 /*
 68  * 刪除最大堆中的data
 69  *
 70  * 返回值：
 71  *      0，成功
 72  *     -1，失敗
 73  */
 74 int maxheap_remove(int data)
 75 {
 76     int index;
 77     // 若是"堆"已空，則返回-1
 78     if(m_size == 0)
 79         return -1;
 80 
 81     // 獲取data在數組中的索引
 82     index = get_index(data); 
 83     if (index==-1)
 84         return -1;
 85 
 86     m_heap[index] = m_heap[--m_size];        // 用最後元素填補
 87     maxheap_filterdown(index, m_size-1);    // 從index位置開始自上向下調整爲最大堆
 88 
 89     return 0;
 90 }
 91 
 92 /*
 93  * 最大堆的向上調整算法(從start開始向上直到0，調整堆)
 94  *
 95  * 注：數組實現的堆中，第N個節點的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 96  *
 97  * 參數說明：
 98  *     start -- 被上調節點的起始位置(通常爲數組中最後一個元素的索引)
 99  */
100 static void maxheap_filterup(int start)
101 {
102     int c = start;            // 當前節點(current)的位置
103     int p = (c-1)/2;        // 父(parent)結點的位置 
104     int tmp = m_heap[c];        // 當前節點(current)的大小
105 
106     while(c > 0)
107     {
108         if(m_heap[p] >= tmp)
109             break;
110         else
111         {
112             m_heap[c] = m_heap[p];
113             c = p;
114             p = (p-1)/2;   
115         }       
116     }
117     m_heap[c] = tmp;
118 }
119   
120 /* 
121  * 將data插入到二叉堆中
122  *
123  * 返回值：
124  *     0，表示成功
125  *    -1，表示失敗
126  */
127 int maxheap_insert(int data)
128 {
129     // 若是"堆"已滿，則返回
130     if(m_size == m_capacity)
131         return -1;
132  
133     m_heap[m_size] = data;        // 將"數組"插在表尾
134     maxheap_filterup(m_size);    // 向上調整堆
135     m_size++;                    // 堆的實際容量+1
136 
137     return 0;
138 }
139   
140 /* 
141  * 打印二叉堆
142  *
143  * 返回值：
144  *     0，表示成功
145  *    -1，表示失敗
146  */
147 void maxheap_print()
148 {
149     int i;
150     for (i=0; i<m_size; i++)
151         printf("%d ", m_heap[i]);
152 }
153     
154 void main()
155 {
156     int a[] = {10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80};
157     int i, len=LENGTH(a);
158 
159     printf("== 依次添加: ");
160     for(i=0; i<len; i++)
161     {
162         printf("%d ", a[i]);
163         maxheap_insert(a[i]);
164     }
165 
166     printf("\n== 最 大 堆: ");
167     maxheap_print();
168 
169     i=85;
170     maxheap_insert(i);
171     printf("\n== 添加元素: %d", i);
172     printf("\n== 最 大 堆: ");
173     maxheap_print();
174 
175     i=90;
176     maxheap_remove(i);
177     printf("\n== 刪除元素: %d", i);
178     printf("\n== 最 大 堆: ");
179     maxheap_print();
180     printf("\n");
181 }

View Code

二叉堆(最小堆)的實現文件(min_heap.c)

  1 /**
  2  * 二叉堆(最小堆)
  3  *
  4  * @author skywang
  5  * @date 2014/03/07
  6  */
  7 
  8 #include <stdio.h>
  9 #include <stdlib.h>
 10 
 11 #define LENGTH(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )
 12 
 13 static int m_heap[30];
 14 static int m_capacity=30;    // 總的容量
 15 static int m_size=0;        // 實際容量(初始化爲0)
 16  
 17 /* 
 18  * 返回data在二叉堆中的索引
 19  *
 20  * 返回值：
 21  *     存在 -- 返回data在數組中的索引
 22  *     不存在 -- -1
 23  */
 24 int get_index(int data)
 25 {
 26     int i=0;
 27 
 28     for(i=0; i<m_size; i++)
 29         if (data==m_heap[i])
 30             return i;
 31 
 32     return -1;
 33 }
 34 
 35 /* 
 36  * 最小堆的向下調整算法
 37  *
 38  * 注：數組實現的堆中，第N個節點的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 39  *
 40  * 參數說明：
 41  *     start -- 被下調節點的起始位置(通常爲0，表示從第1個開始)
 42  *     end   -- 截至範圍(通常爲數組中最後一個元素的索引)
 43  */
 44 static void minheap_filterdown(int start, int end)
 45 {
 46     int c = start;          // 當前(current)節點的位置
 47     int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
 48     int tmp = m_heap[c];    // 當前(current)節點的大小
 49 
 50     while(l <= end)
 51     {
 52         // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
 53         if(l < end && m_heap[l] > m_heap[l+1])
 54             l++;        // 左右兩孩子中選擇較小者，即m_heap[l+1]
 55         if(tmp <= m_heap[l])
 56             break;        //調整結束
 57         else
 58         {
 59             m_heap[c] = m_heap[l];
 60             c = l;
 61             l = 2*l + 1;   
 62         }       
 63     }   
 64     m_heap[c] = tmp;
 65 }
 66  
 67 /*
 68  * 刪除最小堆中的data
 69  *
 70  * 返回值：
 71  *      0，成功
 72  *     -1，失敗
 73  */
 74 int minheap_remove(int data)
 75 {
 76     int index;
 77     // 若是"堆"已空，則返回-1
 78     if(m_size == 0)
 79         return -1;
 80 
 81     // 獲取data在數組中的索引
 82     index = get_index(data); 
 83     if (index==-1)
 84         return -1;
 85 
 86     m_heap[index] = m_heap[--m_size];        // 用最後元素填補
 87     minheap_filterdown(index, m_size-1);    // 從index號位置開始自上向下調整爲最小堆
 88 
 89     return 0;
 90 }
 91 
 92 /*
 93  * 最小堆的向上調整算法(從start開始向上直到0，調整堆)
 94  *
 95  * 注：數組實現的堆中，第N個節點的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 96  *
 97  * 參數說明：
 98  *     start -- 被上調節點的起始位置(通常爲數組中最後一個元素的索引)
 99  */
100 static void filter_up(int start)
101 {
102     int c = start;            // 當前節點(current)的位置
103     int p = (c-1)/2;        // 父(parent)結點的位置 
104     int tmp = m_heap[c];        // 當前節點(current)的大小
105 
106     while(c > 0)
107     {
108         if(m_heap[p] <= tmp)
109             break;
110         else
111         {
112             m_heap[c] = m_heap[p];
113             c = p;
114             p = (p-1)/2;   
115         }       
116     }
117     m_heap[c] = tmp;
118 }
119   
120 /* 
121  * 將data插入到二叉堆中
122  *
123  * 返回值：
124  *     0，表示成功
125  *    -1，表示失敗
126  */
127 int minheap_insert(int data)
128 {
129     // 若是"堆"已滿，則返回
130     if(m_size == m_capacity)
131         return -1;
132  
133     m_heap[m_size] = data;        // 將"數組"插在表尾
134     filter_up(m_size);            // 向上調整堆
135     m_size++;                    // 堆的實際容量+1
136 
137     return 0;
138 }
139   
140 /* 
141  * 打印二叉堆
142  *
143  * 返回值：
144  *     0，表示成功
145  *    -1，表示失敗
146  */
147 void minheap_print()
148 {
149     int i;
150     for (i=0; i<m_size; i++)
151         printf("%d ", m_heap[i]);
152 }
153 
154 void main()
155 {
156     int a[] = {80, 40, 30, 60, 90, 70, 10, 50, 20};
157     int i, len=LENGTH(a);
158 
159     printf("== 依次添加: ");
160     for(i=0; i<len; i++)
161     {
162         printf("%d ", a[i]);
163         minheap_insert(a[i]);
164     }
165 
166     printf("\n== 最 小 堆: ");
167     minheap_print();
168 
169     i=15;
170     minheap_insert(i);
171     printf("\n== 添加元素: %d", i);
172     printf("\n== 最 小 堆: ");
173     minheap_print();
174 
175     i=10;
176     minheap_remove(i);
177     printf("\n== 刪除元素: %d", i);
178     printf("\n== 最 小 堆: ");
179     minheap_print();
180     printf("\n");
181 }

View Code

二叉堆的C測試程序

測試程序已經包含在相應的實現文件中了，這裏就再也不重複說明了。

最大堆(max_heap.c)的運行結果：

== 依次添加: 10 40 30 60 90 70 20 50 80 
== 最 大 堆: 90 80 70 60 40 30 20 10 50 
== 添加元素: 85
== 最 大 堆: 90 85 70 60 80 30 20 10 50 40 
== 刪除元素: 90
== 最 大 堆: 85 80 70 60 40 30 20 10 50

最小堆(min_heap.c)的運行結果：

== 依次添加: 80 40 30 60 90 70 10 50 20 
== 最 小 堆: 10 20 30 50 90 70 40 80 60 
== 添加元素: 15
== 最 小 堆: 10 15 30 50 20 70 40 80 60 90 
== 刪除元素: 10
== 最 小 堆: 15 20 30 50 90 70 40 80 60