初等數學題解：化乘除爲加減

時間 2021-08-12

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咱們知道四則混合運算加減乘除是算數的基礎，這裏面乘和除又能夠經過加減來實現，因此加減是更爲基本的運算。這些咱們小學就知道了，人類是這麼走過來的，計算機也是這麼走過來的。python

咱們先來實現兩個數的乘法，a*b，按照定義就是把a自加b次，如3*4，就是把3本身加本身總共加四次。git

程序以下：算法

def multiply(a,b):

    if a==0 or b==0:

        return 0

    elif a==1:

        return b

    elif b==1:

        return a

    else:

        r = 0

        while b>=1:

            r = r + a

            b = b - 1

        return r

print(multiply(123,12))

程序的核心就是那個while循環，將a自加b次。api

你確定看出來了，上面的程序只能計算正整數，負數算不對。因此咱們再考慮一下正負數。有四種狀況：+ +，+ -，- +，- -。對這四種狀況，咱們得出它的結果的符號，而後化爲正數進行計算。程序以下：ide

def multiply(a,b):

    sign = 1  #default to positive

    if a>0 and b>0:

        sign = 1

    elif a>0 and b<0:

        sign = -1

        b = 0 - b  # set b to positive

    elif a<0 and b>0:

        sign = -1

        a = 0 - a  # set a to positive

    elif a<0 and b<0:

        sign = 1

        a = 0 - a  # set a to positive

        b = 0 - b  # set b to positive

        

    if a==0 or b==0:

        return 0

    elif a==1:

        return b

    elif b==1:

        return a

    else:

        r = 0

        while b>=1:

            r = r + a

            b = b - 1

        if sign == 1:  # positive

           return r

        else: #negative

            return 0 - r

好。咱們經過加法實現了乘法，循環這麼屢次，很笨很笨，可是確實是能幹活兒。一樣咱們也能夠用減法實現除法。函數

咱們再琢磨一下，若是b是實數就算不對了,由於有小數部分，而上面的循環只對整數有效。實際上實數是由兩個整數中間加點組成的，因此仍是能夠處理。有點複雜，暫不介紹。學習

好奇的你又會開始問了，計算機內部真的是這麼幹的嗎？答案是部分是，實際上，計算機內部是經過加法和移位操做聯合起來實現乘法的，爲了處理負數和實數，還須要用到補碼和規範化存儲規範。後面咱們會講到。測試

接下來看一下移位操做怎麼極大地加快了計算。小學學習的就是這個過程。code

舉個例子125*103，咱們上面的程序須要循環103次，看咱們怎麼移位加速：視頻

按照十進制的定義，103 = 1*102+0*101+3*100。這樣只要把125移位幾回再相加便可。分紅三部分：

1*102 將125移位2次，再乘1，獲得12500

0*101 0值，不計算

3*100 將125移位0次，再乘3，獲得375

而後把三部分相加12500+0+375=12875。

一樣獲得結果，只用了三次移位外加三次循環。

其實，Python裏面是有移位操做的<<。可是操做的結果有點跟想的不同，你能夠試一下45<<，結果會返回90，而不是450，你會有一點吃驚。緣由是由於計算機內部用二進制表示，左移一次等效於乘2。咱們能夠本身模擬寫一個shift函數：

def lshift(a,n):

    r = a

    while n>=1 :

        r = r * 10

        n -= 1

    return r

這個函數將一個數乘10，100，1000，至關於移位n次。本程序實現用到了乘法，這個只是示意，實際計算機裏面移位是一個獨立的基本運算。

這裏咱們還用到了一個新的表達 n -= 1，這是一個縮寫，做用等同於 n = n-1，可是執行效率可能會更高（依賴於具體的實現），起碼看起來更加專業。

再用這個lshift()改寫乘法程序：

def multiply(a,b):

    sign = 1

    if a>0 and b>0:

        sign = 1

    elif a>0 and b<0:

        sign = -1

        b = 0 - b

    elif a<0 and b>0:

        sign = -1

        a = 0 - a

    elif a<0 and b<0:

        sign = 1

        a = 0 - a

        b = 0 - b

        

    if a==0 or b==0:

        return 0

    elif a==1:

        return b

    elif b==1:

        return a

    else:

        r = 0 #result

        s = str(b) #convert to string

        for i in range(0,len(s)): # for each digit in the integer string

            n = int(s[len(s)-i-1]) # get the digit from right to left

            c=lshift(a,i) #shift

            while n>=1:

                r = r + c

                n = n - 1

        if sign == 1:

           return r

        else:

            return 0 - r

程序的關鍵部分是那個嵌套循環：

      for i in range(0,len(s)): # for each digit in the integer string

            n = int(s[len(s)-i-1]) # get the digit from right to left

            c=lshift(a,i) #shift

            while n>=1:

                r = r + c

                n = n - 1

這裏咱們看到了一個for語句，這是一個固定次數的循環，次數就是數字串的位數，如對103，循環次數就是3。i的取值依次爲0，1，2。以後，根據位置從右往左拿到該位置上的數字，即程序語句：n = int(s[len(s)-i-1])，如對103，第一次i爲0，那麼就是拿的3-0-1=2這個位置的數字，這個位置是103的最右邊一位（記得編號是從0開始的，因此最後一位也就是第三位的位置編號爲2）。拿到該數字後，先把被乘數移位，移i次，好比對103中的3，就移位0次，至關於不動，對1就要移位兩次。而後拿着這個移位後的數乘以n（經過加循環n次實現），即對103中的3，咱們把125循環三次相加獲得375，對於103中的0，咱們不計算，對於103中的1，咱們把12500循環1次相加獲得12500，因此最後的結果爲12875。拿出紙和筆，本身手工跟蹤一遍。

順便提一下，while循環裏的r=r+c, n=n-1寫成r += c, n -= 1更加顯得像是高手。

測試一下print(multiply(125,103))。

再解釋一下二進制下的乘法實現，爲之後講計算機內部實現作點準備。

咱們已經知道，計算機內部用二進制表示數，101010...，其數值等於k*2n+K*2n-1+...+k*20。

因此a*b就至關於a*k*2n+a*K*2n-1+...+a*k*20，即把a移位後累加。二進制的好處是它只有0和1兩個數字，因此不用考慮別的，直接移位或者不移位就能夠了（十進制裏面還要考慮個位數的乘法）。

試一下6*5，6的二進制表示爲110，5的二進制表示爲101，咱們計算110*101的值：

101的右邊第一位爲1，將110左移0位獲得110
101的右邊第二位爲0，所以不計算(結果當成0)
101的右邊第三位爲1，將110左移2位獲得11000
把1，2，3三步的結果相加：11000+0+110=11110,該結果就是30。

除法相似的，是經過減法和移位操做實現的，咱們看一個例子。

咱們看815/23，手工按照這幾步從高位到低位作：

先用8除23，商爲0，餘數爲8；
餘數8左移，獲得80，再加上第二位1，獲得81，除23，商爲3，餘數爲12；
餘數12左移，獲得120，再加上第三位5，獲得125，除23，商爲5，餘數爲10。

計算完畢，獲得商爲035，即35，餘數爲10。

程序以下：

def lshift(a,n):

    r = a

    while n>=1 :

        r = r * 10

        n -= 1

    return r



def divide(a,b):

    sign = 1

    if a>0 and b>0:

        sign = 1

    elif a>0 and b<0:

        sign = -1

        b = 0 - b

    elif a<0 and b>0:

        sign = -1

        a = 0 - a

    elif a<0 and b<0:

        sign = 1

        a = 0 - a

        b = 0 - b

        

    if a==0:

        return 0

    elif b==1:

        return a

    else:

        result = 0

        remaining = 0

        s = str(a)

        for i in range(0,len(s)): # for each digit in a

            n = int(s[i]) # get the digit from left to right

            divident = lshift(remaining,1)+n

            if divident>=b:

                #divide

                count=0

                while divident>=b:

                    count = count + 1

                    divident = divident - b

                result = lshift(result,1) + count

                remaining = divident

            else:

                result = lshift(result,1) + 0

                remaining = divident

                

        if sign == 1:

            return result

        else:

            return 0 - result

測試print(divide(815,23))。大家仿照乘法的過程本身把除法跟蹤一遍。

二進制除法也是一樣的原理，也由於只有0，1兩個數，因此比十進制簡單，不用除個位數，只須要比大小，大就是1，小就是0。

咱們試一下85/6，用二進制表示爲1010101/110，按照以下步驟操做：

先拿最高位，1，跟110比大小，小，商爲0，餘數爲1；
餘數左移，爲10，再加上第二位數字0，得數仍是10，跟110比大小，小，商爲0，餘數爲10；
餘數左移，爲100，再加上第三位數字1，得數是101，跟110比大小，小，商爲0，餘數爲101；
餘數左移，爲1010，再加上第四位數字0，得數是1010，跟110比大小，大，商爲1，餘數爲100；
餘數左移，爲1000，再加上第五位數字1，得數是1001，跟110比大小，大，商爲1，餘數爲11；
餘數左移，爲110，再加上第六位數字0，得數是110，跟110比大小，大，商爲1，餘數爲0；
餘數左移，爲00，再加上第七位數字1，得數是1，跟110比大小，小，商爲0，餘數爲1；

計算完畢，最後的商爲0001110(即14)，餘數爲1。

如今咱們就知道把四則運算化成了加減運算，之後咱們還會進一步將減法化爲加法。這樣從原理上，只須要有加法操做就能夠了。萬法歸一。

擴展一下，若是你在中學學得多一點，有可能學到了複數，咱們的程序又不能支持了。這裏咱們須要一個新的表達，用一個數是不行，複數包含實部和虛部，因此Python用12 + 3j表示。注意這裏用的是j，不是數學中的i，這麼作是爲了聽從電子工程界的慣例。

有了這個知識，咱們也是能夠寫出程序來實現複數域的運算的。我不演示程序了，大家本身作。

計算機好神奇啊，你確定會這麼想。它經過簡單數字（0/1）和基本運算疊加累計，最後構成了複雜的運算。可是這麼想並不全對，更準確的說法是計算機很笨而人很聰明，計算機只能作最簡單的操做，而人經過算法一步步讓計算機完成了複雜運算。一直到如今發展出Internet，智能手機，發射火箭，穿越星際空間，傳播視頻，遠程醫療，破譯DNA，發展無人駕駛汽車，可是咱們須知循着路徑回溯，一層層破解技術，最後的內核就是一量個簡單極了的操做孤單地擺在咱們眼前。正如大千世界，分析到了最後，就只有幾個基本粒子漂浮在虛無縹緲的時空。古來聖賢皆寂寞。

地球上現存的人類只有一種，統一叫作智人(Homo Sapiens)。