簡單易懂的樹、堆講解

樹、堆

 

樹：

一、一課樹中的任意兩個結點有僅有惟一的一條路徑連通。
二、一棵樹若是有n個結點，那麼它必定剛好有n-1條邊。
三、在一棵樹中加一條邊將會構造一個迴路。

滿二叉樹：二叉樹全部的葉結點都有一樣的深度。
深度爲：n，結點數：2**n - 1

 

徹底二叉樹

若是一棵二叉樹除了最右邊位置上有一個或者幾個葉結點缺乏外，其餘是豐滿的，那麼這樣的二叉樹就徹底二叉樹。嚴格的定義是：若設二叉樹的高度爲h，除h層外，其餘各層（1~h-1）的結點數都達到最大個數，第n層從右向左連續缺若干個結點，則這個二叉樹就是徹底二叉樹。

 

 

經過上圖咱們發現，若是徹底二叉樹的一個父結點編號爲k，那麼它左兒子的編號就是2*k，右兒子的編號就是2*k+1。若是已知兒子（左兒子或右兒子）的編號是x，那麼它父結點的編號就是x/2，注意這裏只取商的整數部分。
若是一顆徹底二叉樹有N個結點，那麼這個徹底二叉樹的高度爲log2N，簡寫logN，即最多有logN層結點。徹底二叉樹的最典型應用就是一個堆。

堆—神奇的優先隊列

 

最大堆：全部父節點都比兒子結點要大；
最小堆：全部父節點都比兒子結點要小；

 

 
很顯然最小的數就在堆頂，假設存儲這個堆的數組叫作h的話，最小數就是h[1]。接下來，咱們將堆頂的數刪除。將新增長的數23放到堆頂。顯然加了新數後已經不符合最小堆的特性，咱們須要將新增長的數調整到合適的位置。那如何調整呢？

 

 
向下調整！咱們須要將這個數與它的兩個兒子2和5比較，選擇較小的一個與它交換，交換以後以下。

 

咱們發展此時仍是不符合最小堆的特性，所以還須要繼續向下調整。因而繼續將23與它的兩個兒子12和7比較，選擇較小一個交換，交換以後以下。

 

至此，仍是不符合最小堆的特性，仍須要繼續向下調整，直到符合最小堆的特性爲止。

 

如今咱們發現已經符合最小堆的特性了。綜上所述，當新增長一個數被放置到堆頂時，若是此時不符合最小堆的特性，則須要將這個數向下調整，直到找到合適的位置爲止，使其從新符合最小堆的特性。

 

 
時間複雜度：logN

新增一個數：

新增一個數，只須要將新元素插入到末尾，再根據狀況判斷新元素是否須要上移，直到知足堆的特性爲止。若是堆的大小爲 N（即有 N個元素），那麼插入一個新元素所須要的時間爲 O(logN)。例如咱們如今要新增一個數 3。

 

 

構造一個最小堆

 

 
固然目前這個棵樹仍然不符合最小堆的特性，咱們須要繼續調整以3號結點爲根的子樹，即將3號結點向下調整。

 

同理，繼續調整以2號結點爲根的子樹，最後調整以1號結點爲根的子樹。調整完畢以後，整棵樹就符合最小堆的特性了。

 

像這樣支持插入元素和尋找最大 （小）值元素的數據結構稱爲優先隊列。若是使用普通隊列來實現這兩個功能，那麼尋找最大元素須要枚舉整個隊列，這樣的時間複雜度比較高。若是是已排序好的數據，那麼插入一個元素則須要移動不少元素，時間複雜度度依舊很高。而堆就是一種優先隊列的實現，能夠很好地解決這兩種操做。

另外Dijkstr算法中每次找離源點最近的一個頂點也能夠用堆來優化，使算法的時間複雜度降到O((M+N)logN)。堆還常常被用來求一個數列中第K大的數，只須要創建一個大小爲K的最小堆，堆頂就是第K大的數。

　　注：內容來源於《啊哈.算法》