測度(Measure)

測度概述

　　數學上，測度(Measure)是一個函數，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數能夠比做大小、體積、機率等等。傳統的積分是在區間上進行的，後來人們但願把積分推廣到任意的集合上，就發展出測度的概念，它在數學分析和機率論有重要的地位。

　　測度論是實分析的一個分支，研究對象有σ代數、測度、可測函數和積分，其重要性在機率論和統計學中有所體現的。

 

測度的定義

　　形式上說，一個測度（詳細的說法是可列可加的正測度）是個函數。設是集合上的一個σ代數，在上定義，於擴充區間中取值，而且知足如下性質：

• 空集的測度爲零：

。

• 可數可加性，或稱σ可加性：若爲中可數個兩兩不交的集合的序列，則全部的並集的測度，等於每一個的測度之總和：

。

　　這樣的三元組稱爲一個測度空間，而中的元素稱爲這個空間中的可測集。

 

測度的性質

　　下面的一些性質可從測度的定義導出：

 

單調性

　　測度的單調性：

　　若和爲可測集，並且，則 。

 

可數個可測集的並集的測度

　　若 爲可測集（沒必要是兩兩不交的），而且對於全部的，⊆，則集合的並集是可測的，且有以下不等式（「次可列可加性」）：

　　以及以下極限：

 

可數個可測集的交集的測度

　　若 爲可測集，而且對於全部的，⊆，則的交集是可測的。進一步說，若是至少一個的測度有限，則有極限：

　　如若不假設至少一個的測度有限，則上述性質通常不成立。例如對於每個，令

這裏，所有集合都具備無限測度，但它們的交集是空集。

 

σ有限測度

若是是一個有限實數（而不是），則測度空間稱爲有限測度空間。若是能夠表示爲可數個可測集的並集，並且這些可測集的測度均有限，則該測度空間稱爲σ有限測度空間。稱測度空間中的一個集合具備σ有限測度，若是能夠表示爲可數個可測集的並集，並且這些可測集的測度均有限。

做爲例子，實數集賦以標準勒貝格測度是σ有限的，但不是有限的。爲說明之，只要考慮閉區間族[k, k+1]，k 取遍全部的整數；這樣的區間共有可數多個，每個的測度爲1，並且並起來就是整個實數集。做爲另外一個例子，取實數集上的計數測度，即對實數集的每一個有限子集，都把元素個數做爲它的測度，至於無限子集的測度則令爲。這樣的測度空間就不是σ有限的，由於任何有限測度集只含有有限個點，從而，覆蓋整個實數軸須要不可數個有限測度集。σ有限的測度空間有些很好的性質；從這點上說，σ有限性能夠類比於拓撲空間的可分性。

 

完備性

一個可測集稱爲零測集，若是。零測集的子集稱爲可去集，它未必是可測的，但零測集天然是可去集。若是全部的可去集均可測，則稱該測度爲完備測度。

一個測度能夠按以下的方式延拓爲完備測度：考慮的全部這樣的子集，它與某個可測集僅差一個可去集，也就是說與的對稱差包含於一個零測集中。由這些子集生成的σ代數，並定義的值就等於。

 

例子

下列是一些測度的例子（重要性與順序無關）。

• 計數測度　定義爲的‘元素個數’。
• 一維勒貝格測度 是定義在的一個含全部區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、知足的惟一測度。
• Circular angle 測度 是旋轉不變的。
• 局部緊拓撲羣上的哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣，並且也有相似的刻劃。
• 恆零測度 定義爲，對任意的。
• 每個機率空間都有一個測度，它對全空間取值爲1（因而其值所有落到單位區間[0,1]中）。這就是所謂機率測度。
• 其它例子，包括：狄拉克測度、波萊爾測度、若爾當測度、遍歷測度、歐拉測度、高斯測度、貝爾測度、拉東測度。