BZOJ1566 【NOI2009】管道取珠

題面

 

這是一道DP神題,直到我寫下這句題解時也沒有想明白……

首先，這道題要咱們求全部（不一樣輸出序列的方案數）的平方和，因而咱們固然就想到求全部不一樣輸出序列的方案數……（大霧） 。這道題一個巧妙的地方就在於對問題的轉化。（如下摘自BYVoid大神的題解）

假設同時有兩我的X & Y在玩這個遊戲，設X從up取了i個珠子（不必定連續），從down取了j個珠子，取出來的珠子組成的序列爲Q，操做序列爲x，Y從up取了k個珠子，從down取了l個珠子，取出來的珠子組成的序列也爲Q，操做序列爲y，那麼咱們就獲得了一個有序對（x，y），f[i][j][k][l]即表示有序對（x，y）的數量。兩個有序對不相同當且僅當x和y不一樣時相同。

下面證實f[i][j][k][l]即爲所求。

已知：取出珠子的序列爲Q，x和y分別爲一種取珠方法（可相同）， 取出Q的方案數爲a；

求證：有序對（x，y）的數量等於a²。

由於取出Q的方案數爲a，因此x & y都有a種取值，且x & y彼此獨立，故對於x的每個取值，y都有a種取值，故有序對（x，y）的數量爲a²，命題得證。

博主是個超級大傻*，連空間優化到n²都不會，請各路大神指教。

 

 1 #include <map>
 2 #include <set>
 3 #include <cmath>
 4 #include <queue>
 5 #include <stack>
 6 #include <cstdio>
 7 #include <string>
 8 #include <vector>
 9 #include <cstring>
10 #include <complex>
11 #include <cstdlib>
12 #include <iostream>
13 #include <algorithm>
14 #define rg register
15 #define ll long long
16 using namespace std;
17 
18 inline int gi()
19 {
20     rg int r = 0; rg bool b = 1; rg char c = getchar();
21     while (c < '0' || c > '9') { if (c == '-') b = 0; c = getchar(); }
22     while (c >= '0' && c <= '9') { r = r * 10 + c - '0', c = getchar(); }
23     if (b) return r; return -r;
24 }
25 
26 const int inf = 2147483647, N = 505, MOD = 1024523;
27 int n,m,f[N][N][N];
28 char S[N],X[N];
29 
30 inline void input()
31 {
32     freopen ("!.in", "r", stdin);
33     n=gi(), m=gi();
34     scanf("%s%s",S+1,X+1);
35 }
36 
37 inline void output()
38 {
39     freopen ("!.out", "w", stdout);
40     printf("%d\n",f[n][m][n]);
41 }
42 
43 inline void cal(int &t,int d) { t+=d; if (t >= MOD) t-=MOD; }
44 
45 inline void solve()
46 {
47     int i,j,k,l,tmp;
48     f[0][0][0]=1;
49     for (i=0; i<=n; i++)
50         for (j=0; j<=m; j++)
51             for (k=0; k<=n; k++)
52                 {
53                     tmp=f[i][j][k], l=i+j-k;
54                     if (!tmp || !l || l > m) continue;
55                     if (S[i+1] == S[k+1])
56                         cal(f[i+1][j][k+1],tmp);
57                     if (X[j+1] == S[k+1])
58                         cal(f[i][j+1][k+1],tmp);
59                     if (S[i+1] == X[l+1])
60                         cal(f[i+1][j][k],tmp);
61                     if (X[j+1] == X[l+1])
62                         cal(f[i][j+1][k],tmp);
63                 }
64 }
65 
66 int main()
67 {
68     input();
69     solve();
70     output();
71     return 0;
72 }

 

 Update

博主終於會把空間優化到n^2辣！！！

PS：記得要清零！！！

 

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define rg register
 3 #define ll long long
 4 using namespace std;
 5 
 6 inline int gi()
 7 {
 8     rg int r = 0; rg bool b = 1; rg char c = getchar();
 9     while (c < '0' || c > '9') { if (c == '-') b = 0; c = getchar(); }
10     while (c >= '0' && c <= '9') { r = r * 10 + c - '0', c = getchar(); }
11     if (b) return r; return -r;
12 }
13 
14 const int inf = 2147483647, N = 505, MOD = 1024523;
15 int n,m,f[2][N][N];
16 char S[N],X[N];
17 
18 inline void input()
19 {
20     n=gi(), m=gi();
21     scanf("%s%s",S,X);
22 }
23 
24 inline void cal(rg int &t,rg int d)
25 {
26     t+=d;
27     if (t >= MOD)
28         t-=MOD;
29 }
30 
31 inline void solve()
32 {
33     rg int i,j,k,p,q,l,r,now,lst;
34     f[0][0][0]=1, now=0;
35     for (k=0; k<n+m; ++k)   //枚舉一共選了多少個，由於每次更新都會多選一個，因此只需枚舉到 n+m-1
36         {
37             l=max(k-m,0), r=min(k,n);   //計算 S 管道取珠的數量範圍
38             lst=now, now^=1;
39             for (i=l; i<=r; ++i)   //分別枚舉序列 x，y
40                 for (j=l; j<=r; ++j)
41                     {
42                         p=k-i, q=k-j;   //i，j 表示 S 管道取的數量，p，q表示 X 管道的數量
43                         if (!f[lst][i][j])
44                             continue;
45                         if (S[i] == S[j])
46                             cal(f[now][i+1][j+1],f[lst][i][j]);
47                         if (S[i] == X[q])
48                             cal(f[now][i+1][j],f[lst][i][j]);
49                         if (X[p] == S[j])
50                             cal(f[now][i][j+1],f[lst][i][j]);
51                         if (X[p] == X[q])
52                             cal(f[now][i][j],f[lst][i][j]);
53                         f[lst][i][j]=0;   //每次更新後要記得清零
54                     }
55         }
56     printf("%d\n",f[now][n][n]);
57 }
58 
59 int main()
60 {
61     input();
62     solve();
63     return 0;
64 }