cf932E. Team Work(第二類斯特靈數 組合數)

題意

題目連接

Sol

這篇題解寫的很是詳細

首先要知道第二類斯特靈數的一個性質

\[m^n = \sum_{i = 0}^m C_{n}^i S(n, i) i!\]

證實能夠考慮組合意義：\(m^n\)是把\(n\)個不一樣的球放到\(m\)個不一樣的盒子裏的方案數

而後用這個式子展開\(i^k\)，把組合數展開，會獲得這樣一個式子

\[\sum_{i=1}^n\frac{n!}{(n-i)!}\sum_{j=0}^i\frac{S(k,j)}{(i-j)!}\]

發現不是很好搞，可是考慮到當\(j > k\)時\(S(k, j) = 0\)，因而能夠先枚舉\(S(k, j)\)的貢獻

\(\sum_{j = 0}^n S(k, j) \sum_{i = 1}^n \frac{n!}{(n - i)!} \frac{1}{(i - j)!}\)

把後面構形成組合數的形式

最終會獲得

\[\sum_{j=0}^{k}S(k,j)\frac{n!}{(n-j)!}2^{n-j}\]

注意這裏的階乘是不能直接推的，能夠維護化簡以後的結果。

而後就作完了。

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經驗：

看到\(i^k\)想想第二類斯特靈數

循環複雜度太高時考慮更換枚舉順序

看到分子分母中有階乘時嘗試構造組合數

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 5001, mod = 1e9 + 7, inv2 = 500000004;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int N, K, s[MAXN][MAXN];
int fastpow(int a, int p) {
    int base = 1;
    while(p) {
        if(p & 1) base = 1ll * base * a % mod;
        a = 1ll * a * a % mod; p >>= 1;
    }
    return base;
}
int main() {
    s[0][0] = 1;
    cin >> N >> K;
    for(int i = 1; i <= K; i++)
        for(int j = 1; j <= K; j++)
            s[i][j] = (s[i - 1][j - 1] + 1ll * s[i - 1][j] * j % mod) % mod;
    int ans = 0, nv = 1, po2 = fastpow(2, N);
    for(int i = 0; i <= min(K, N); po2 = 1ll * po2 * inv2 % mod, nv = 1ll * nv * (N - i) % mod, i++)
        (ans += (1ll * s[K][i] * nv % mod * po2 % mod)) %= mod;
    cout << ans % mod;
    return 0;
}