算法設計與分析2 - 嵌套箱問題

時間 2020-04-26

標籤算法設計分析嵌套問題简体版

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2、嵌套箱問題

2 、一個d 維箱(x₁,x₂,...,x_n)嵌入另外一個d 維箱 (y₁,y₂,...,y_n) 是指存在1,2,…,d 的一個排列π，使得 x_π(1)<y₁ ,x_π(2) <y₂, ... , x_π(d)<y_d 。

1) 證實上述箱嵌套關係具備傳遞性；

2) 試設計並實現一個貪心算法，用於肯定一個d維箱是否可嵌入另外一個d維箱；

3) 給定由n 個d 維箱組成的集合 { B₁,B₂,B₃,...,Bn} ，試設計並實現一個貪心算法找出這n 個d維箱中的一個最長嵌套箱序列，並用n和d 描述算法的計算時間複雜性。

1) 箱嵌套關係的傳遞性

證實：

設有 3 個 d 維箱 B₁(x₁ , x₂ , ．．． , x_d) ， B₂ (y₁ , y₂ , ．．． , y_d) ， B₃(z₁ , z₂ , ．．． , z_d) ， B₁ 可嵌入 B₂ ， B₂ 可嵌入 B₃ 。

B₁ 可嵌入 B₂ ，則存在排列π使得：

x_π(1)< y₁ ， x_π(2)< y₂ ，．．．， x_π(d)< y_d —— 1

B₂ 可嵌入 B₃ ，則存在排列θ使得：

y_θ(1)< z₁ ， y_θ(2)< z₂ ，．．．， y_θ(d)< z_d —— 2

由 1 式可得：

x_θ(π(1))< y_θ(1) ， x_θ(π(2))< y_θ(2) ，．．．， x_θ(π(d))< y_θ(d) —— 3

由 2 3 可得：存在排列 λ = θπ 使得：

x_λ(1)< z₁ ， x_λ(2)< z₂ ，．．．， x_λ(d)< z_d

根據d維箱的定義可得， B₁ 可嵌入 B₃ 。所以，嵌套箱關係具備傳遞性。

2) d 維箱的嵌套關係

■ 貪心選擇性質 :

對於d維箱X (x₁ , x₂ , ．．． , x_d),Y (y₁ , y₂ , ．．． , y_d), 排列 π 、 θ 是分別使 X 、 Y 非遞減有序的排列，有以下結論:X→Y(表示X可嵌入Y)的充要條件是，對任意1≤i≤d有 x _π(i) < y_θ(i) 。

證實 :

a. 充分性 :

當對任意1≤i≤d有 x _π(i) < y_θ(i) 時，令 λ = πθ^-1, 那麼

x _λ(i) = x _π(θ ^-1 _(i)) < y_θ(θ^-1_(i)) = y_i _，即存在一個排列 λ 使得對於任意1≤i≤d， x _λ(i) < y_i ，因此 X →Y。

b. 必要性:

用數學概括法證實。

當維數爲1時,X→Y 可得 x₁ < y₁ _，那麼 x _π(1) < y_θ(1) 成立。

假設維數爲 d 時，結論成立，即 : 當X→Y時，對於任意1≤i≤d，有 x _π(i) < y_θ(i) _。那麼當維數爲 d + 1 時，對於任意1≤i≤d+1，X→Y，則存在 λ 使得 :

x_λ(1) < y₁ ， x_λ(2) < y₂ ，．．．， x_λ(d) <y_d ， x_λ(d+1) <y_d+1 —— 1

先觀察 1 式前 d 項 , x_λ(1) < y₁ ， x_λ(2) < y₂ ，．．．， x_λ(d) <y_d 。

由假設可知，對任意1≤i≤d，有存在排列 π 、 θ 使得 x _π(i) < y_θ(i) ，

即 :

x _π( ₁₎ ≤ x _π( ₂₎ ≤ ．．． ≤ x _π( _d) —— 2

y _θ( ₁₎ ≤ y _θ( ₂₎ ≤ ．．． ≤ y _θ( _d) —— 3

x _π(1) < y_θ(1) ， x _π(2) < y_θ(2) ，．．．， x _π(d) < y_θ(d) —— 4

此時， π 、 θ 只對 1 式前 d 項進行排列，並不包含 x_λ(d+1) 和 y_d+1 。能夠將 x_λ(d+1) 按大小順序插入到 2 式 ( 設插入位置爲 j) ，從而有新的排列 π’ 使得 x_i ( 1 ≤i≤d+1 ) 非遞減有序。

同理，也有 θ’ 使得 y_d+1 按大小順序插入到 3 式後 ( 設插入位置爲 k) ， y_i ( 1 ≤i≤d+1 ) 非遞減有序。

由於 x_λ(d+1) <y_d+1 _，易知 j ≤ k 。

當 j = k 時，由於 x _m 、 y_m ( 1 ≤m≤d+1 ) 的對應位置都沒有變，顯然 x _π’(i) < y_θ’(i)( 1 ≤i≤d+1 ) ，所證結論成立。

當 j<k 時， x₁<y₁ ， x₂<y₂ ，．．．， x_j<x_j+1<y_j ， x_j+1<x_j+2< y_j+1 ，．．．， x_k-1<x_k< y_{k -1} ， x_k<y_{k -1} < y_k ， x_k+1<y_k+1 ，．．．， x_d+1< y_d+1 。

即 , 對任意1≤i≤d+1 x _π’(i) < y_θ’(i) ，所證結論成立。

命題得證。

■ 算法實現

由上面所得結論，對兩個 d 維箱進行排序後，只要判斷排序後兩個 d 維箱的嵌套關係就能夠得出結果。

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求兩個箱子的嵌套關係的僞代碼 :

返回 1 表示 X 嵌套 Y( 即 Y → X)

返回 –1 表示 Y 嵌套 X( 即 X → Y)

返回 0 表示 X 和 Y 之間無嵌套關係

NEST(X , Y , d):

Sort(X) ▹對數組所表示的 d 維箱 X 、 Y 進行排序

Sort(Y)

if X[0] > Y[0]

then for i ← 1 to d – 1

do if X[i] <=Y[i]

then return 0

return 1

else for i ← 0 to d – 1

do if X[i] >=Y[i]

then return 0

return –1

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■ 時間複雜度分析

NEST() 的主要時間消耗在於排序，使用快速排序時， NEST() 的時間複雜度爲 : O(d lgd) 。

■ 算法測試

對應的算法實現 Java 源文件爲 NestedBox.java

輸入： X(1,6,2,5,9) ， Y(7,4,8,19,32)

輸出 : Y 嵌套 X

3) 最長嵌套箱序列

■ 算法思想

將 n 個 d 維箱之間的關係用一棵樹來表示，其中可嵌套其它箱子的箱子爲父節點，被嵌套的箱子做爲孩子節點，無嵌套關係的節點爲兄弟節點。這樣就一個 d 維箱的深度值就是在這棵樹中的深度。

深度值的遞歸定義以下 :

只要找出深度最大的節點，而後遞歸地輸出它嵌套的箱子，結果就是最長嵌套箱序列。

■ 貪心選擇性質

假設最長 d 維箱序列的一個最優解是 B₁ , B₂ , …,B_k(k>1), 其對應的深度值分別爲 H₁, H₂, …, H_k (H₁> H₂…> H_k) 。

a. 若 H₁ 爲最大的深度值，則說明問題的最優解以一個貪心選擇開始。

b. 若 H₁ 不是最大的深度值，不妨設 H₁<H_j (1<j ≤ k) 。但 B₁ 嵌套 B_j 可得 H₁ >H_j 。與假設矛盾。因此 H₁ 爲最大的深度值，這說明問題的最優解以一個貪心選擇開始。

■ 最優子結構性質

設嵌套序列 B₁ , B₂ , …,B_k(k>1) 是問題的一個最優解，各個箱子的深度值爲 H₁, H₂, …, H_k (H₁> H₂…> H_k) 。由貪心選擇性質可知 H₁ 爲最大深度值，其他箱子組成的序列 B₂ ,B₃, …,B_k(k>1) 是在全部箱子中去掉 B₁ 及與其具備相同深度值的箱子後，在剩下的箱子中查找最長嵌套箱序列的一個最優解。所以，最長嵌套箱序列問題具備最優子結構性質。

■ 算法實現

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求最長嵌套箱序列的僞代碼 :

B 爲存放 n 個 d 維箱的二維數組

Longest(B , n , d):