計算機組成與設計（四）—— 加法和減法的實現

二進制加法

半加器（Half Adder）

半加器的功能是將兩個1位二進制數相加。輸入端口A、B，輸出端口S（輸出），C（進位）。

其有一個很明顯的缺點：不能將低位的進位參與運算。

 

全加器（Full Adder）

全加器由兩個半加器構成。輸入端口A、B、C_in，輸出端口S（和）、C_out（進位輸出）。

有了全加器，只要將它簡單的連在一塊兒就能實現多位的加法器。

 

4-bit 加法器

例如求 (1101)₂ + (0110)₂，答案應該爲和爲 (0011)₂,進位爲1.能夠用4個全加器構成4-bit全加器來實現，如圖

顯而易見，這個圖能夠推廣，因此這樣就能獲得32-bit的加法器。

 

溢出

檢查加法結果是否溢出

溢出（overflow）:是指運算結果超出了正常的表示範圍

• 溢出僅針對有符號運算而言的，發生溢出有兩種狀況：兩個正數相加，結果爲負數；兩個負數相加，結果爲正數。其實，無符號時可看做是mod 2^k(k是最大位數)，既然取模了，天然不用考慮溢出
• 有溢出不必定有進位、有進位不必定有溢出

• 有符號加法和無符號加法在運算時硬件電路是同樣的，只是對結果的解讀不一樣

　　　4-bit運算時

　　

 溢出的檢查方法

「最高位的進位輸入」不等於「最高位的進位輸出」，說明產生了溢出。

 

 通過一個異或門，若是C₃₁和C_out 不相等，overflow被設爲1，表示溢出。（爲何能夠經過這種方法判斷呢？）

 

對溢出的處理方式

MIPS

提供對兩種不一樣指令分別的處理

• 將操做數看做有符號數，發生「溢出」是產生「異常」，如add rd,rs,rt   addi,rt,rs,imm
• 將操做數看做無符號數，不處理「溢出」，如addu rd,rs,rt   addiu rt,rs,imm

X86

設有「溢出標誌OF」（Overflow Flag）。若是把操做看做有符號數，若發生溢出，則自動設置OF=1；不然OF=0。

 

二進制減法

原理

• 減法運算可轉換成加法運算
• 只需將負數變成它的補碼，補碼與原碼之間的轉換規則：按位取反、末位加一
• A - B = A + (~B + 1)

 

實現

這實際上是一個加法和減法器，與以前的32-bit加法器相比，在輸入端B多了一個二選一多路選擇器，當sub-mode爲0，是加法模式，也沒有來自低位的進位；當sub-mode爲1時，是減法模式，首先B按位取反，同此同時sub-mode爲是低位的進位，恰好是-B = ~B + 1.

 

參考連接：https://www.coursera.org/learn/jisuanji-zucheng/lecture/ydYAV/305-jia-fa-he-jian-fa-de-shi-xian