R語言系列：常見離散分佈及相關函數

二項分佈
一次試驗有成功和失敗兩個獨立結果，其發生機率分別爲p和1-p。則n次試驗後成功發生的次數符合伯努利分佈。
f(x) = choose(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)
E(X)=np; Var(x)=np(1-p)

產生隨機樣本：
rbinom(n, size, prob)
#拋10次硬幣爲一次實驗，作1000次實驗。則n=1000，size=10。
#prob爲成功的機率
#size=1即爲伯努利試驗

密度函數：
dbinom(x, size, prob)：x發生的機率
pbinom(q, size, prob)：≤q的事件累積機率
qbinom(p, size, prob)：累積機率p對應的q

#x、q爲實驗結果；p爲累積機率。

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多項分佈
一次試驗有k個獨立結果，其發生機率分別爲p一、p2...。則n次試驗後各結果發生的次數符合多項分佈。

產生隨機樣本：
rmultinom(n, size, prob)
#拋10次骰子爲一次實驗，作1000次實驗。則n=1000，size=10。
#prob爲每一個獨立結果出現的機率，其總和爲1。
#結果爲k×n的矩陣，k即length(prob)

密度函數：
dmultinom(x, size, prob)

#x和prob是兩個長度相等的向量。

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負二項分佈
伯努利試驗重複進行，成功的機率爲p，直到出現r次成功。則試驗失敗的次數符合負二項分佈。
f(x)=choose(x+r-1, r-1) * p^r * (1-p)^x
E(X)=r(1-p)/p; Var(x)= r(1-p)/(p^2)

產生隨機樣本：
rnbinom(n, size, prob)
#連續拋硬幣，出現5次正面爲一次實驗，作1000次實驗。則n=1000，size=5。
#prob爲成功的機率
#r=1即爲幾何分佈

密度函數：
dnbinom(x, size, prob)
pnbinom(q, size, prob)

qnbinom(p, size, prob)

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超幾何分佈
從裝有n個白球和m個黑球的罐子裏，取k個球，其中白球的個數符合超幾何分佈。
f(x) = choose(n, x) choose(m, k-x) / choose(m+n, k)
E(x)=k*n/(m+n)
Var(x)=(k*n/(m+n)) * (n+m-k)/(n+m-1)) * (1-n/(n+m))
#前幾個分佈都是在試驗之間相互獨立的基礎上得來的，而超幾何分佈中，前一次試驗會對後一次試驗產生影響。
#當n+m→∞，則超幾何分佈近似於二項分佈。

產生隨機樣本：
rhyper(nn, m, n, k)
#nn爲實驗次數，m爲白球個數，n爲黑球個數，k爲每次實驗取出小球個數。

密度函數：
dhyper(x, m, n, k)
phyper(q, m, n, k)

qhyper(p, m, n, k)

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泊松分佈： 單位量度內某一事件的發生次數。 p(x) = λ^x * exp(-λ)/x! E(x)=Var(x)=λ 產生隨機樣本： rpois(n, λ) 密度函數： dpois(x, λ) ppois(q, λ) qpois(p, λ)