[2019牛客多校第二場][A. Eddy Walker]

題目連接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/882/A

題目大意：圓上有\(n\)個點，標號從\(0\)到\(n-1\)，初始一我的在點\(0\)，每次會等機率向左或向右移動一步，若是某一時刻全部點均被訪問過則中止移動，問最終停留在\(m\)點的機率

題解：若\(m \neq 0\)且\(n \neq 1\)，則\(ans=\frac{1}{n-1}\)，具體證實以下

　　　若設答案爲\(f(n,m)\)，能夠發現這個函數有以下性質：

　　　　1.函數是關於零點對稱的，即\(f(n,m)=f(n,n-m)\)

　　　　2.若\(m\neq 0,1,n-1\)，則\(f(n,m)=\frac{f(n,m-1)+f(n,m+1)}{2}\)，畫一下圖就能知道爲何了

　　　接着考慮\(n\)的奇偶性，若\(n\)爲奇數，則設\(a=\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor,b=\left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil,c=b+1\)。能夠發現由如上兩條性質，有\(f(n,a)=f(n,b)\)，且\(f(n,b)=\frac{f(n,a)+f(n,c)}{2}\)，所以能夠得出\(f(n,a)=f(n,b)=f(n,c)\)。以此類推則能夠得出全部\(f(n,m)\)相等，因此函數取值爲\(\frac{1}{n-1}\)

　　　若\(n\)爲偶數，則設\(a=\frac{n}{2}-1,b=\frac{n}{2},c=\frac{n}{2}+1\)，能夠得出\(f(n,a)=f(n,c)\)，且\(f(n,b)=\frac{f(n,a)+f(n,c)}{2}\)，一樣能夠推出\(f(n,a)=f(n,b)=f(n,c)\)，同理可證\(f(n,m)=\frac{1}{n-1}(m\neq 0)\)

　　　注意對\(n=1\)的特判便可

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define LL long long
 4 #define MOD 1000000007
 5 LL T,n,m,ans=1ll;
 6 LL qow(LL x,LL y){return y?(y&1?x*qow(x,y-1)%MOD:qow(x*x%MOD,y/2)):1;}
 7 int main()
 8 {
 9     scanf("%lld",&T);
10     while(T--)
11       {
12       LL res;
13       scanf("%lld%lld",&n,&m);
14       if(m==0)res=n>1?0:1;
15       else res=qow(n-1,MOD-2);
16       ans*=res,ans%=MOD;
17       printf("%lld\n",ans);
18       }
19     return 0;
20 }

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