從擁擠的兔子到僞隨機數算法

時間 2019-11-17

標籤擁擠兔子隨機數算法简体版

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寫於2017年7月30日。閱讀《複雜》一書時的筆記及延伸。本文涉及到的生態學、數學、計算機科學部分都比較膚淺，若有錯漏，歡迎斧正。javascript

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又是兔子

咱們多少接觸過這樣一個問題：java

第一個月初有一對剛誕生的兔子
第二個月以後（第三個月初）它們能夠生育
每個月每對可生育的兔子會誕生下一對新兔子
兔子永不死去

問：第n月時，一共有多少隻兔子？算法

對，描述兔子數量的數列就是咱們熟悉的斐波那契數列，不少人都是經過這個問題了解遞歸的吧（也許吧，也多是Tower of Hanoi）？dom

不過兔子怎麼可能「永不死去」呢！那咱們如今開始考慮兔子的出生率和死亡率。先從容易的來：每對兔子父母每一年生四隻小兔，而後死去。若是一開始有兩隻兔子（第0年），那麼第1年會有四隻兔子，第二年會有8只兔子……每一年兔子的數量會翻一番。記第 t 年的兔子數量爲，那麼： $n_t=2 \cdot n_{t-1}$ ，即 $n_t = 2^t\cdot n_0$ 。很顯然，若是不受限制，兔子的數量會愈來愈多，最終撐滿這個星球，乃至整個宇宙。性能

假如咱們考慮種羣數量增加所受的限制呢？可想而知，若是種羣數量愈來愈多，也許不少小兔子因爲太過擁擠，缺乏食物和空間，沒有繁殖就死去。整個種羣的數量就不會呈現上述無限增加的狀況了。生物學家用一種叫 logistic model 的簡化方式來描述這種狀況下的羣體增加： $n_{t+1} = (r_{born}-r_{die})\cdot(k\cdot n_t-n_t^2)/k$ 。其中，爲這一代的種羣數量， $r_{born}$ 爲出生率， $r_{die}$ 爲死亡率，爲承載能力。spa

舉個例子，若是出生率爲2，死亡率爲0.4，承載力爲32，第1代有20只兔子，套用上面的模型，那麼第2代有12只兔子；再把這個結果代入計算，會得出第三代仍然有12只兔子；今後種羣數量維持在12。code

若是咱們改變一些參數，好比把死亡率降到0.1，那麼依據模型計算，第2代有14.25只兔子，第三代爲15.01816只兔子（不要在乎兔子的數量爲何能夠是小數）。實際上咱們的計算過程是把這一代的計算結果代入模型公式，計算下一代的結果，這個重複不斷的過程就是迭代，對模型進行迭代。cdn

logistic map

由 logistic model 進行迭代計算仍是有些麻煩，咱們能夠再進行一點簡化：把出生率和死亡率合成一個變量，種羣數量由承載率（當前種羣數量與最大可能的種羣數量的比率）代替，，因爲當前種羣數量老是介於0和之間，因此老是介於0和1之間。blog

那麼咱們就能夠把上面的logistic model的公式改寫一下，因而咱們有： $x_{t+1}=R \cdot x_t \cdot (1-x_t)$ 。這個方程稱爲logistic map，是動力系統理論和混沌研究中的一個重要方程。

若是咱們讓值變化，那麼logistic map就頗有趣了。

不妨先假定，咱們發現，無論的初始值是什麼（先用0.2試試吧），最後總會達到同一個固定的值：

\begin{gathered}
x_0=0.2 \\ x_1=0.32 \\ x_2=4352 \\ x_3=0.4916019 \\ x_4=0.4998589 \\ x_5=0.5 \\ x_6=0.5 \\ ...
\end{gathered}

不一樣的初始值只會讓到達0.5的速度有快有慢，但通過若干步驟後，都會到達0.5。那麼這個0.5就稱爲不動點（fixed point）。

咱們把的值調大，也許這樣的不動點依而後存在，但到達不動點的速度會愈來愈慢。假如，咱們再來看看，會發現狀況彷佛不太同樣了：

R=3.1，x₀=0.2

的值最終會在0.5580141和0.7645665之間振盪。咱們稱之爲吸引子。

隨着值的變化，情形會更加複雜。我從wikipedia上把結論摘錄以下：

0和1之間：不論初始值數值爲什麼，會愈來愈少，最後趨近於0。
1和2之間：不論初始值數值爲什麼，會快速的趨近。
2和3之間：通過幾回迭代，也會愈來愈接近，但一開始會在這個值左右振動，而收斂速率是線性的。
3：仍然會愈來愈接近，但收斂速率極爲緩慢，不是線性的。
3和 $1+\sqrt{6}$ （約3.45）之間：針對幾乎全部的初始值，最後會在2個值之間持續的震盪，即 x 最後會是a,b,a,b...的變化，其數值和有關。
3.45和大約3.54之間，針對幾乎全部的初始值，最後會在4個值之間持續的震盪。
約大於3.54：最後會在8個、16個、32個值……之間持續的震盪，至於什麼時候會令的值由 n 個到 2n 個，則和費根鮑姆常數 $\delta = 4.669...$ 有關。
約爲3.5699：這樣的振動消失，整個系統開始在混沌的狀態之中。針對幾乎全部的初始值，都不會出現固定週期的震盪，初值再微小的變化，隨着時間都會使結果產生明顯的差別，這就是典型混沌的特性。
大於3.5699：整個系統在混沌的狀態之中。不過，當中有些特定的值仍是使系統變成非混沌，有周期性的結果，這些區間稱爲「穩定島」。例如當約大於3.82，會出現3個值的週期，再大一點出現6個值及12個值的週期。
當從大約3.5699到大約3.8284之間，系統混沌性質發展的現象有時會稱爲Pomeau–Manneville場景，其特徵是週期性的震盪和非週期性的行爲會穿插出現。此特徵能夠應用在半導體元件中。也有其餘區域會使系統的週期爲5個值，無論任意週期都存在某特定的，使週期爲指定值。
大於4：針對幾乎全部的初始值，系統最後都會超過區間[0,1]而且發散。

彷佛有點枯燥，不過不要緊，咱們來畫個圖吧，經過圖形來了解一下這個混沌系統。取一個超過3.5699，不超過4的值，這裏咱們不妨取，仍是令初始值是0.2，那麼迭代100次：

R=4，x₀=0.2

一個感受，雜亂無章。對於每一個的值，雖然它能惟一決定下一個的值是什麼，但它們卻組合成一個看起來很是隨機的軌跡。在計算機中，咱們甚至能夠用它來生成僞隨機數。所以，表面的隨機性可能來自很是簡單的肯定性系統。

不只如此，對於一個能產生混沌的值，若是初始值有任何的不肯定性，那麼必定時間後的軌跡就沒法預測了。仍是剛剛的圖，咱們考慮稍稍修改一下初始值，好比修改小數點後第10位，假定初始值是0.2000000001會怎麼樣？這與0.2很是接近，咱們把兩條軌跡繪製到一塊兒看看：

能夠看出，大概在時，兩條軌跡已經分開，的值已經沒法預測了。實際上只要初始值有不肯定性，無論精確到小數點後多少位，最終都會在大於某個值的時候變得沒法預測。

僞隨機算法

接下來，咱們就來嘗試使用logistic model的混沌特性來實現一種簡單的僞隨機算法。

function* RandomGenerator() {
  let seed = .2;
  function getNext(x) {
    return 4 * x * (1 - x);
  }
  for (let i = 0; i < 30; i++) {
    seed = getNext(seed);
  }
  while (true) {
    seed = getNext(seed);
    yield seed;
  }
}

const randomGenerator = RandomGenerator();

function random () {
  return randomGenerator.next().value;
}
複製代碼

實際上一些常見的僞隨機數生成算法，例如線性同餘法，也是使用了相似的手段，經過迭代產生混沌系統。而這類的算法所追求的，我以爲有三個方面的內容：

統計意義上的隨機，即隨機數結果分頁均勻，不能有所傾向。
更大的循環區間。好比像如上算法，受值和計算機浮點數精度的影響，必定會在某個時刻產生與以前相同的結果，使得迭代進入循環。而用線性同餘算法，循環區間則與選取的模數大小相關。
更快的性能。

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