【複習圖論】如何找出一個強連通圖的奇環

如何找出一個強連通圖的奇環 這個問題來自於《算法概論》的課後習題，我想了2天，最後想出一個可行的辦法。 首先，對於環的問題，有兩個常規的手段，一個是點染色，還有一個是利用邊的分類。邊的分類主要是肯定出環的存在性（或位置），而染色，則是區分奇環和偶環的關鍵，這也是我最後纔想到的。 假定強連通有向圖G的根是r，設r爲紅色，那麼，咱們從r出發，每走一步，就把腳下的點染色爲上一個點的相反的顏色（紅變藍，藍變紅），而且，曾經染色過的點能夠重複染色。假設G有一個奇環，設這個奇環爲v0，v1，v2.。。vn，v1.。。。而後，咱們會發現，存在一個從r出發的路徑，使得v1被染色爲紅色，同時，也絕對存在一個從r出發的路徑，使得v1被染色爲藍色。緣由是，v1處於一個奇環當中，咱們能夠藉助它來實現這個效果。反過來講，假設存在一個從r出發的路徑，使得某個點vk被染色爲紅色，同時也存在一個從r出發的路徑，使得vk被染色爲藍色，那麼，咱們能夠判定，一定存在一個包含vk的奇環，這個結論也不難理解。因此，咱們就證實瞭如下結論： 強連通有向圖G含有奇環 等價於 從r出發，可使得某個vk被染色爲紅色，而且也能夠被染色爲藍色。 若是某個vk既能夠是紅色，又能夠是藍色，就意味着，它的前繼結點也知足這個有趣的性質：既能夠是紅色也能夠是藍色。把這個性質一直往前推，就能夠知道，r一定既能夠是紅色又能夠是藍色！ 若是一條路徑會使得某個點曾經被染色爲紅色和藍色，那麼這個路徑咱們稱爲有趣路徑。 由上面的討論知道，有趣路徑的存在性與奇環的存在性，是等價的。 而後，咱們從邊的分類去分析。 假設T是G的dfs生成樹。顯然，T裏的點是紅藍相間，梅花間竹的。 也就是說，若是沒有那些前向邊，反向邊和橫插邊，不管咱們怎麼走，都走不出一條有趣路徑。而後，咱們逐條邊地往T上面增長。 假如咱們增長的是前向邊， （1）前向邊的兩個端點顏色相反，仍是沒有有趣路徑。 （2）不然，立刻就能夠獲得一條有趣路徑。 假如咱們增長的是前向邊， （1）前向邊的兩個端點顏色相反，仍是沒有有趣路徑。 （2）不然，立刻就能夠獲得一條有趣路徑。 假如咱們增長的是反向邊， （1）反向邊的兩個端點顏色相反，仍是沒有有趣路徑。 （2）不然，立刻就能夠獲得一條有趣路徑。 假如咱們增長的是橫叉邊， （1）橫叉邊的兩個端點顏色相反，仍是沒有有趣路徑。 （2）不然，立刻就能夠獲得一條有趣路徑。 能夠發現，只要碰到了兩端點顏色相同的某條非樹邊，就立刻能夠肯定一條有趣路徑，從而立刻知道奇環的存在。 反過來講，若是奇環存在，就必定能夠找到兩端點顏色相同的某條非樹邊，由於找不到的話，就確定不存在有趣路徑，也就不存在奇環了。 因此，這個尋找強連通圖G的奇環的算法就是： 對G進行dfs，同時染色，若是發現兩端點顏色相同的某條非樹邊，就說明有奇環，否則，就說明沒有奇環。 題外話： 圖的問題，拆分強連通分支，邊的分類，刪除邊，增長邊（特別是往dfs和bfs樹上面進行的增長邊操做），刪除點，增長點，還有染色，記錄訪問和離開時間，某個子圖的首個被訪問的點，這些都是很重要的思考方向。