約束條件變動對算法運行時間所帶來的影響

時間 2019-12-05

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以區間調度爲例算法

區間調度

有1,...,n次請求，去獲取單個資源,每一個請求的開始時間是s(i),結束時間是f(i), 對於請求i和j,若是兩者的區間不重合，即f(i)<=s(j) 或者 f(j)<=s(i),那麼這兩次請求認爲是兼容的。好比下面的兩個區間是兼容的優化

而下面存在不兼容的區間

區間調度的問題是，如何才能獲取請求的兼容的區間最大的個數呢？.net

好比上圖是3個3d

如何才能獲取請求的兼容的區間最大的個數?

可使用貪心算法。cdn

貪心算法的大體思路是：每次獲取問題的一小部分，決定對這小部分數據如何作處理，解決了這部分，再去處理其它的。blog

使用某種規則去獲取一個請求i
排除全部與i不兼容的請求
重複第一步直到全部請求都處理完畢

關鍵在於如何選取請求。能夠想象有一些方式資源

按照順序來，從這種狀況看，只能拿到第一個請求，不是最大的，不行

獲取時間區間最短的，有以下反例

計算每一個請求的不兼容的請求的數量，而後獲取最小的不兼容數量的，有以下反例,最少的不兼容的是紅色的區間

能夠選擇最先結束的請求做爲選擇的規則，這樣能得到最大的兼容區間的個數it

證實：對於任意一個給定的區間列表L，選取時間最先結束的請求的貪心算法產生的區間數量爲，這個就是最大的

選擇最先結束的請求做爲選擇的規則，能得到最大的兼容區間的個數io

假設=1，只有1個區間，它是成立的。假設對於也成立。
構造一個區間列表L，使得它的最大區間數爲:class

S^*[1,2,..,k^*+1]=<(s_{j_1},f_{j_1})>,..,<s_{j_{k*+1}},f_{j_{k*+1}}>

用s[1,..,k]表示經過貪心算法一樣的對L處理獲得的區間：

S[1,2,..,k]=<(s_{i_1},f_{i_1})>,..,<s_{i_k},f_{i_k}>

注意此時k和沒有可比性

因爲貪心算法獲取的是最早完成的，根據提取的規則，能夠獲得的是 $f_{i_1} \leq f_{j_1}$ 。那麼能夠給第一個作替換

S^{**}[1,2,..,k^*+1]=<(s_{i_1},f_{i_1})>,<(s_{j_2},f_{j_2})>,..,<s_{j_{k*+1}},f_{j_{k*+1}}>

同時能夠獲得的是 $S^{**}$ 的其它部分的完成時間都一定在 $f_{i_1}$ 以後

因爲新替換的 $(s_{i_1},f_{i_1})$ 和 $(s_{j_2},f_{j_2})$ 沒有重合部分，而且替換後獲得的 $S^{**}$ 長度也是，那麼它也是一個最優的解。

獲取集合L',用來表示全部的 $s(i)\geq f(i_1)$ 的區間。

也就是排除全部的與 $(s_{i_1},f_{i_1})$ 不兼容的區間，屬於貪心算法的第二步

因爲 $S^{**}$ 對於L來講是最優的,且 $S^{**}[2,..,k^*+1]$ 對於L'也是最優的，這意味着L'的最優數量爲

最優的子集也是最優的

經過假設:在L'上執行貪心算法，將產生的區間數量爲，且是最優解。而對構造的L'執行貪心算法以後獲得的一定會是S[2,..,k]

構造的S[1,...,k]的最優解包含 $(s_{i_1},f_{i_1})$ ,對於L'的構造條件，使用貪心算法獲得的最小值確定是 $(s_{i_2},f_{i_2})$ ，並依次排列爲S[2,..,k]

而S[2,..,k]中共包含k-1個元素，可是依據假設是有個，因此
也就是說，從而說明，貪心算法經過獲取最早完成的區間所獲得的區間數，就是最大的(或者說最優的)數量。

加權的區間調度

每一個區間都有一個權重，,如今要求兼容區間上權重最大的區間數。

能夠舉出一個例子，證實使用上述貪心算法的策略再也不生效

優先最早完成的貪心算法一定會選擇權重爲w=1的兩個，可是它獲得的最終權重是小於w=3的區間。

使用動態規劃能夠解決。
我不知道該從那個請求開始，那麼就去選擇全部可能做爲第一個請求的地方，而後獲取他們的最大值，即得結果。
選取好開始的節點以後，剩下的問題是什麼呢？若是選取了第一個請求以後，那麼應該排斥掉那些與它不兼容的區間，才能獲取兼容區間，那麼發生在這個請求以前的請求是否應該考慮？因爲選取的規則是認爲它是第一個請求，若是有以前的發生，實際上在整個的遍歷過程當中確定會經歷，因此只須要選取在它以後發生的便可，那麼剩下的問題也就是