計算機爲何採用補碼來進行運算

基礎知識瞭解：

　　在計算機內，整數的長度是肯定的，在字長爲32位的計算機中，整數的長度就是32個二進制，這其中還包括了符號位（1表示正，0表示負）。這裏面咱們爲了方便描述，就假設機器字長爲8位。

例如，十進制整數23，二進制真值表示爲10111，其原碼錶示爲 0001 0111。

十進制整數-23，二進制真值表示爲-10111，原碼錶示爲 1001 0111。

簡而言之，源碼就是最高位爲符號位，其餘位表示該數的絕對值

若是計算機內部採用原碼錶示數，那麼在進行加法和減法運算的時候，最終都轉化爲兩個絕對值的加運算和減運算，所以，在設計計算器的時候就既須要設計加法運算器，又要設計減法運算器(代價有點大，是否能夠就用一種類型的運算器呢？ 其實大多數人都喜歡作加法運算，不太喜歡用減法運算)。

補碼的思想

　　咱們但願只設計加法運算器，不用減法運算器，咱們但願找到一種方案，採用這種方案作加運算 1 + ( -1 ) ，兩個數能夠直接根據二進制的加法規則作運算，獲得0，而沒必要作減法。

用 0000 0000表示0是很天然的想法，用 0000 0001到 0111 1111表示1到127的正數，也是天然的想法，此時，最高位的0能夠作符號標識，也能夠當作普通的二進制位。

如今問題是：怎麼表示-1呢？

咱們作一次逆向思惟，0000 0001加上什麼樣的二進制數能夠獲得0000 0000？即：從右向左思考，加數的最右邊的最低位必須是1，根據二進制加法規則：1+1=0，進位爲1。再考慮次低位，加數的次低位也必須是1，而後加上1得0進一位，...依次類推，加數的8爲都必須是1，才能夠獲得8個0。問題是最後產生一個進位，即：0000 0001 + （1111 1111）= 1 0000 0000

這在數學上是不可接受的，可是在計算機中去恰好合適，由於在設計中，每一個數的長度是肯定的，因此不管結果最後是多少，都只保留8位，多餘的位會被丟棄。所以，咱們能夠將 1111 1111來表示-1，下面就是採用一種方式來合理的將-1怎麼變成 1111 1111這種形式。

　　

　 補碼的定義：

　　帶符號整數有原碼、反碼、補碼等幾種編碼方式。原碼即直接將真值轉換為其相應的二進制形式，而反碼和補碼是對原碼進行某種轉換編碼方式。正整數的原碼、反碼和補碼都同樣，負數的反碼是對原碼的除符號位外的其餘位進行取反後的結果（取反即若是該位為0則變為1而該位為1則變為0操做）而補碼是先求原碼的反碼，而後在反碼的末尾位加1後獲得結果，即補碼是反碼+1
補碼就是最方便的方式。它的便利體如今，全部的加法運算可使用同一種電路完成。
以-8做爲例子。假定有兩種表示方法。一種是直覺表示法，即10001000；另外一種是2的補碼錶示法，即11111000。請問哪種表示法在加法運算中更方便？
隨便寫一個計算式，16 + (-8) = ?
　　16的二進制表示是 00010000，因此用直覺表示法，加法就要寫成：

　　　　０００１００００
  　　 ＋１０００１０００
  　　  －－－－－－－－－
　　　   １００１１０００

　　能夠看到，若是按照正常的加法規則，就會獲得10011000的結果，轉成十進制就是-24。顯然，這是錯誤的答案。也就是說，在這種狀況下，正常的加法規則不適用於正數與負數的加法，所以必須制定兩套運算規則，一套用於正數加正數，還有一套用於正數加負數。從電路上說，就是必須爲加法運算作兩種電路。
如今，再來看2的補碼錶示法。

　　　　０００１００００
　　　＋１１１１１０００
　　　－－－－－－－－－
　　　１００００１０００

　　能夠看到，按照正常的加法規則，獲得的結果是100001000。注意，這是一個9位的二進制數。咱們已經假定這是一臺8位機，所以最高的第9位是一個溢出位，會被自動捨去。因此，結果就變成了00001000，轉成十進制正好是8，也就是16 + (-8) 的正確答案。這說明了，2的補碼錶示法能夠將加法運算規則，擴展到整個整數集，從而用一套電路就能夠實現所有整數的加法。

補碼的本質：

要將正數轉成對應的負數，其實只要用0減去這個數就能夠了。好比，-8其實就是0-8。
已知8的二進制是00001000，-8就能夠用下面的式子求出：

　　００００００００
  － ００００１０００
    －－－－－－－－－

由於00000000（被減數）小於0000100（減數），因此不夠減。請回憶一下小學算術，若是被減數的某一位小於減數，咱們怎麼辦？很簡單，問上一位借1就能夠了。
因此，0000000也問上一位借了1，也就是說，被減數實際上是100000000，算式也就改寫成：

　　１００００００００
　　－００００１０００
　　－－－－－－－－－
　　　１１１１１０００
進一步觀察，能夠發現100000000 = 11111111 + 1，因此上面的式子能夠拆成兩個：
　　　１１１１１１１１
　　－００００１０００
　　－－－－－－－－－
　　　１１１１０１１１
　　＋０００００００１
　　－－－－－－－－－
　　　１１１１１０００
補碼的兩個轉換步驟就是這麼來的。（其中的 1111 1000 就是-8的補碼，是由對 000 1000 取反獲得111 0111 加1 最終獲得 111 1000，最後加上符號位1就是1111 1000）。這就是補碼計算規則的由來。