燈；及數組統計分析

今日面試題：燈

有100盞燈，依次編號1-100，初始都是關着的。第1次遍歷，打開所有的燈；第2次遍歷，關掉第2盞、第4盞等被2整除的燈；第3次打開被3整除的燈；第i次，對被i整除的燈作以下操做

• 若是燈開着，就關掉

• 若是燈關着，就打開

如此交替進行，知道100次遍歷完畢，請問，還有多少盞燈亮着。

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數組統計分析

原題

給定數組A，大小爲n，數組元素爲1到n的數字，不過有的數字出現了屢次，有的數字沒有出現。請給出算法和程序，統計哪些數字沒有出現，哪些數字出現了多少次。可以在O(n)的時間複雜度，O(1)的空間複雜度要求下完成麼？

分析

這個題目，是有必定技巧的。技巧是須要慢慢積累，待經驗多了以後，能夠靈感或者直覺，就產生了技巧。若是不知道技巧，那該怎麼辦呢？ 在開始分析以前，說明兩個問題：

• 原數組是沒有排序的。若是排序了，很簡單的。

• O(1)的空間含義，可使用變量，但不能開闢數組或者map等來計數。

這個題目，很直接的解法就是兩層遍歷，O(n^2)的複雜度，O(1)的空間。空間知足了，可是時間沒有。 不少相似的題目，都會用XOR的方法，你們仔細想一下，這個題目，能夠麼？或者這個題目和能夠用XOR的題目的差別在哪兒？最直接的就是，每個數字的重複的次數是不一樣的。

還有就是以空間換時間的方法，例如用hash map或者數組來計數。時間知足了，可是空間沒有知足。 那怎樣纔能有時間複雜度O(n)，空間複雜度O(1)的算法呢？不能開闢新的空間，那麼只剩下，重複利用數組A。那麼該如何利用數組A呢？

首先，咱們介紹一種三次遍歷數組的方法,咱們都考慮數組從0開始：

• 第一次遍歷：對於每個A[i] = A[i] * n

• 第二次遍歷：對於每個i，A[A[i]/n]++

• 第三次遍歷：對於每個i，A[i] % n就是出現次數

A[i]應該出如今A中的A[i]位置，乘以n、再除以n，很容易的來回變換；第二次遍歷，對於A[i]原本所在的位置不斷增1，但絕對不對超出n的，那每個i出現的次數，就是A[i]對n取餘。

還有一種兩次遍歷的方法，也是上面的思路：題目中數組是1到n，爲了方便算法考慮，以及數組存儲方便，咱們考慮0-n-1，結果是相同的。 考慮A[i]，如今位置是i，若是採用A來計數，它的位置應該是A[i] % n，找到計數位置，該如何處理這個位置呢？加1麼？顯然不能夠，這裏有一個技巧，就是加n，有兩個緣由

• 加n能夠保證A[i] % n是不變的

• A數組，最後每個元素表示爲A[i] = x + k*n，其中x

上面的思路，轉換爲代碼以下：

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-08-29發佈，原創@陳利人 ，歡迎你們繼續關注微信公衆帳號「待字閨中」。