赫夫曼樹

 

 

 

 

在通常的數據結構的書中，樹的那章後面，著者通常都會介紹一下哈夫曼(HUFFMAN)

樹和哈夫曼編碼。哈夫曼編碼是哈夫曼樹的一個應用。哈夫曼編碼應用普遍，如

JPEG中就應用了哈夫曼編碼。 首先介紹什麼是哈夫曼樹。哈夫曼樹又稱最優二叉樹，

是一種帶權路徑長度最短的二叉樹。所謂樹的帶權路徑長度，就是樹中全部的葉結點

的權值乘上其到根結點的 路徑長度（若根結點爲0層，葉結點到根結點的路徑長度

爲葉結點的層數）。樹的帶權路徑長度記爲WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)

，N個權值Wi(i=1,2,...n)構成一棵有N個葉結點的二叉樹，相應的葉結點的路徑

長度爲Li(i=1,2,...n)。能夠證實哈夫曼樹的WPL是最小的。

哈夫曼編碼步驟：

1、對給定的n個權值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}構成n棵二叉樹的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉樹Ti中只有一個權值爲Wi的根結點，它的左右子樹均爲空。（爲方便在計算機上實現算 法，通常還要求以Ti的權值Wi的升序排列。）
2、在F中選取兩棵根結點權值最小的樹做爲新構造的二叉樹的左右子樹，新二叉樹的根結點的權值爲其左右子樹的根結點的權值之和。
3、從F中刪除這兩棵樹，並把這棵新的二叉樹一樣以升序排列加入到集合F中。
4、重複二和三兩步，直到集合F中只有一棵二叉樹爲止。

簡易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五個字符，出現的頻率（即權值）分別爲5,4,3,2,1,那麼咱們第一步先取兩個最小權值做爲左右子樹構造一個新樹，即取1，2構成新樹，其結點爲1+2=3，如圖：

虛線爲新生成的結點，第二步再把新生成的權值爲3的結點放到剩下的集合中，因此集合變成{5,4,3,3}，再根據第二步，取最小的兩個權值構成新樹，如圖：

再依次創建哈夫曼樹，以下圖：

其中各個權值替換對應的字符即爲下圖：

因此各字符對應的編碼爲：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010

霍夫曼編碼是一種無前綴編碼。解碼時不會混淆。其主要應用在數據壓縮，加密解密等場合。

C語言代碼實現：

  1 /*-------------------------------------------------------------------------
  2  * Name:   哈夫曼編碼源代碼。
  3  * Date:   2011.04.16
  4  * Author: Jeffrey Hill+Jezze(解碼部分)
  5  * 在 Win-TC 下測試經過
  6  * 實現過程：着先經過 HuffmanTree() 函數構造哈夫曼樹，而後在主函數 main()中
  7  *           自底向上開始(也就是從數組序號爲零的結點開始)向上層層判斷，若在
  8  *           父結點左側，則置碼爲 0,若在右側,則置碼爲 1。最後輸出生成的編碼。
  9  *------------------------------------------------------------------------*/
 10 #include <stdio.h>
 11 #include<stdlib.h>
 12  
 13 #define MAXBIT      100
 14 #define MAXVALUE  10000
 15 #define MAXLEAF     30
 16 #define MAXNODE    MAXLEAF*2 -1
 17  
 18 typedef struct 
 19 {
 20     int bit[MAXBIT];
 21     int start;
 22 } HCodeType;        /* 編碼結構體 */
 23 typedef struct
 24 {
 25     int weight;
 26     int parent;
 27     int lchild;
 28     int rchild;
 29     int value;
 30 } HNodeType;        /* 結點結構體 */
 31  
 32 /* 構造一顆哈夫曼樹 */
 33 void HuffmanTree (HNodeType HuffNode[MAXNODE],  int n)
 34 { 
 35     /* i、j： 循環變量，m一、m2：構造哈夫曼樹不一樣過程當中兩個最小權值結點的權值，
 36         x一、x2：構造哈夫曼樹不一樣過程當中兩個最小權值結點在數組中的序號。*/
 37     int i, j, m1, m2, x1, x2;
 38     /* 初始化存放哈夫曼樹數組 HuffNode[] 中的結點 */
 39     for (i=0; i<2*n-1; i++)
 40     {
 41         HuffNode[i].weight = 0;//權值 
 42         HuffNode[i].parent =-1;
 43         HuffNode[i].lchild =-1;
 44         HuffNode[i].rchild =-1;
 45         HuffNode[i].value=i; //實際值，可根據狀況替換爲字母  
 46     } /* end for */
 47  
 48     /* 輸入 n 個葉子結點的權值 */
 49     for (i=0; i<n; i++)
 50     {
 51         printf ("Please input weight of leaf node %d: \n", i);
 52         scanf ("%d", &HuffNode[i].weight);
 53     } /* end for */
 54  
 55     /* 循環構造 Huffman 樹 */
 56     for (i=0; i<n-1; i++)
 57     {
 58         m1=m2=MAXVALUE;     /* m一、m2中存放兩個無父結點且結點權值最小的兩個結點 */
 59         x1=x2=0;
 60         /* 找出全部結點中權值最小、無父結點的兩個結點，併合並之爲一顆二叉樹 */
 61         for (j=0; j<n+i; j++)
 62         {
 63             if (HuffNode[j].weight < m1 && HuffNode[j].parent==-1)
 64             {
 65                 m2=m1; 
 66                 x2=x1; 
 67                 m1=HuffNode[j].weight;
 68                 x1=j;
 69             }
 70             else if (HuffNode[j].weight < m2 && HuffNode[j].parent==-1)
 71             {
 72                 m2=HuffNode[j].weight;
 73                 x2=j;
 74             }
 75         } /* end for */
 76             /* 設置找到的兩個子結點 x一、x2 的父結點信息 */
 77         HuffNode[x1].parent  = n+i;
 78         HuffNode[x2].parent  = n+i;
 79         HuffNode[n+i].weight = HuffNode[x1].weight + HuffNode[x2].weight;
 80         HuffNode[n+i].lchild = x1;
 81         HuffNode[n+i].rchild = x2;
 82  
 83         printf ("x1.weight and x2.weight in round %d: %d, %d\n", i+1, HuffNode[x1].weight, HuffNode[x2].weight);  /* 用於測試 */
 84         printf ("\n");
 85     } /* end for */
 86   /*  for(i=0;i<n+2;i++)
 87     {
 88         printf(" Parents:%d,lchild:%d,rchild:%d,value:%d,weight:%d\n",HuffNode[i].parent,HuffNode[i].lchild,HuffNode[i].rchild,HuffNode[i].value,HuffNode[i].weight);
 89                   }*///測試 
 90 } /* end HuffmanTree */
 91  
 92 //解碼 
 93 void decodeing(char string[],HNodeType Buf[],int Num)
 94 {
 95   int i,tmp=0,code[1024];
 96   int m=2*Num-1;
 97   char *nump;
 98   char num[1024];
 99   for(i=0;i<strlen(string);i++)
100   {
101    if(string[i]=='0')
102   num[i]=0;        
103   else
104   num[i]=1;                    
105   } 
106   i=0;
107   nump=&num[0];
108   
109  while(nump<(&num[strlen(string)]))
110  {tmp=m-1;
111   while((Buf[tmp].lchild!=-1)&&(Buf[tmp].rchild!=-1))
112   {
113   
114    if(*nump==0)
115    {
116      tmp=Buf[tmp].lchild ;          
117    } 
118    else tmp=Buf[tmp].rchild;
119    nump++;
120         
121   } 
122   
123   printf("%d",Buf[tmp].value);                                  
124  }
125  
126   
127 }
128  
129  
130 int main(void)
131 {
132     
133     HNodeType HuffNode[MAXNODE];            /* 定義一個結點結構體數組 */
134     HCodeType HuffCode[MAXLEAF],  cd;       /* 定義一個編碼結構體數組， 同時定義一個臨時變量來存放求解編碼時的信息 */
135     int i, j, c, p, n;
136     char pp[100];
137     printf ("Please input n:\n");
138     scanf ("%d", &n);
139     HuffmanTree (HuffNode, n);
140    
141     
142     for (i=0; i < n; i++)
143     {
144         cd.start = n-1;
145         c = i;
146         p = HuffNode[c].parent;
147         while (p != -1)   /* 父結點存在 */
148         {
149             if (HuffNode[p].lchild == c)
150                 cd.bit[cd.start] = 0;
151             else
152                 cd.bit[cd.start] = 1;
153             cd.start--;        /* 求編碼的低一位 */
154             c=p;                    
155             p=HuffNode[c].parent;    /* 設置下一循環條件 */
156         } /* end while */
157         
158         /* 保存求出的每一個葉結點的哈夫曼編碼和編碼的起始位 */
159         for (j=cd.start+1; j<n; j++)
160         { HuffCode[i].bit[j] = cd.bit[j];}
161         HuffCode[i].start = cd.start;
162     } /* end for */
163     
164     /* 輸出已保存好的全部存在編碼的哈夫曼編碼 */
165     for (i=0; i<n; i++)
166     {
167         printf ("%d 's Huffman code is: ", i);
168         for (j=HuffCode[i].start+1; j < n; j++)
169         {
170             printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);
171         }
172         printf(" start:%d",HuffCode[i].start);
173        
174         printf ("\n");
175         
176     }
177 /*    for(i=0;i<n;i++){
178     for(j=0;j<n;j++)
179         {
180              printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);           
181         }
182         printf("\n");
183         }*/
184     printf("Decoding?Please Enter code:\n");
185     scanf("%s",&pp);
186 decodeing(pp,HuffNode,n);
187     getch();
188     return 0;
189 }