項鍊顏色分配問題

[問題]M個交易員在圓桌旁圍坐一圈，將N(N < M)個交易品種分配給他們研究。每人分配一個，要求相鄰的兩我的所分配到的交易品種不相同。編程計算共有多少種分配方式

[解析]將圓桌抽象成一個圓，將交易員抽象成圓上的一個個小球（相似於項鍊），將分配M個交易品種抽象成分配M種顏色。從任意一個球開始，將其編號爲1。對於1號球，有M種顏色分配方案。設n個球中的第1個球的顏色設定後，還有F(n)種顏色分配方案，則顏色分配方案的總數爲M * F(N).

        下面來求F(N)。從1號球開始選定3個球，分別編號爲一、二、3.下面分兩種狀況討論：

        (1)若是3號球與1號球顏色相同，則一、二、3這3個球共有M-1種顏色分配方案。此時對於剩下的球，能夠將一、2兩球去掉，只保留3號球。這樣就有F(N-2)顏色分配方案。因此第一種狀況下顏色分配方案的總數爲(M-1) * F(N-2)

        (2)若是3號球與1號球顏色不一樣，則一、二、3這3個球共有(M-1) * (M-2)種顏色分配方案。此時對於剩下的球，能夠將2號球去掉，只保留一、3兩球。設n個球中的前兩個球的顏色設定後，還有f(n)種顏色分配方案，這樣就有f(N-1)顏色分配方案。因此第二種狀況下顏色分配方案的總數爲(M-1) * (M-2) * f(N-1)

           下面來求f(N)。將最開始的3個球編號爲一、二、3，仍然分兩種狀況來討論。

            a.若是3號球與1號球顏色相同，則一、二、3這3個球共有1種顏色分配方案。此時對於剩下的球，能夠將一、2兩球去掉，只保留3號球。這樣就有F(N-2)顏色分配方案。因此第一種狀況下顏色分配方案的總數爲 F(N-2)

            b.若是3號球與1號球顏色不一樣，則一、二、3這3個球共有(M-2)種顏色分配方案。此時對於剩下的球，能夠將2號球去掉，只保留一、3兩球。這樣就有f(N-1)顏色分配方案。因此第二種狀況下顏色分配方案的總數爲(M-2) *  f(N-1)

         

         綜上所述，遞推式以下：

         F(N) = (M-1) * F(N-2) + (M-1) * (M-2)* f(N-1) 

         f(N) = F(N-2) +  (M-2)* f(N-1) 

         得出遞推式以後，便可用遞歸或者動態規劃來編程實現。遞歸截止條件爲：

         F(1) = 1

         F(2) = M - 1

         f(2) = 1