紅黑樹刪除操做

查閱了不少的資料，最終把紅黑樹的刪除操做弄明白。爲方便往後溫習，也爲那些正想弄明白但又苦苦明白不了該操做詳細原理的同窗查閱，特將其當筆記記錄下來。下面內容是我的所理解的紅黑樹的刪除操做，若是有不對的地方，歡迎各路大神指正。

 

紅黑樹的刪除操做

 

1：節點命名約定

    D表示要被刪除的節點。即：取 Delete 的首字母；

    P 表示父節點。即：取 Parent 的首字母；

    S表示兄弟姐妹節點。即：取 Sibling的首字母；

    U表示叔伯節點。即：取Uncle的首字母；

    G表示祖父節點。即：取 Grandfather的首字母；

    L表示左樹。即：取Left的首字母；

    R表示右樹。即：取Right的首字母；

    Nil表示葉子節點。即所謂的空節點；注意：紅黑樹中的葉子節點與其餘樹中所述說的葉子節點不是同一律念。並且紅黑樹中的葉子節點(即：Nil節點)永遠是被定義爲黑色的。

 

    下文的節點命名錶示將會使用以上這些命名約定或它們的組合表示。所以，請先牢記這些命名約定。舉例：

    DR表示要被刪除的節點的右子樹，即：右子節點；

    SL表示兄弟節點的左子樹，即：左子節點；

    …

 

2：刪除操做宏觀分析

    在紅黑樹中，刪除一個節點往大的說，只有如下四種狀況。

    狀況一：刪除的節點的左、右子樹都非空；

    狀況二：刪除的節點的左子樹爲空樹，右子樹非空；

    狀況三：刪除的節點的右子樹爲空樹，左子樹非空；

    狀況四：刪除的節點的左、右子樹都爲空樹；

    其中狀況一，能夠按與其餘二叉搜索樹的刪除方式同樣處理，最終能夠轉換到後面的三種狀況。具體爲：找到(Old)D節點的直接後繼節點(暫且稱爲X節點)，而後將X的值轉移到D節點，最後將X節點做爲真正要被刪除掉的節點(即：(Real)D節點)。這樣刪除操做後，能夠保證該樹仍然爲一棵二叉搜索樹。但因爲紅黑樹的定義(即：紅黑樹的性質)約定。這樣刪除(Real)D節點後，可能會破壞紅黑樹的性質。因此須要額外作一些調整處理，這即是下面將要詳細討論的內容。

    說明：下文中所提到的D，除非有特別說明，不然都將指的是(Real)D。

 

3：紅黑樹刪除後平衡處理

    在具體分析以前，再次列出紅黑樹的定義：

    1)       任何一個節點非紅即黑；

    2)       樹的根爲黑色；

    3)       葉子節點爲黑色(注意：紅黑樹的全部葉子節點都指的是Nil節點)；

    4)       任何兩個父子節點不可能同時爲紅色；

    5)       任何節點到其全部分枝葉子的簡單路徑上的黑節點個數相同；

 

    下面是幾個圖示說明：

    根據紅黑樹的定義，被刪除的節點D(即：上文所述的(Real)D節點)不論如何都必定有一個「右子樹」，只是該右子樹要不爲非空樹(即：真正存在的節點，不爲Nil節點)，要不就必爲空樹(即：D的兩個子節點都爲Nil)。下面稱D的該右子節點(或稱爲右子樹)爲DR。

    a)       被刪除的D節點爲紅色。這種狀況，則與D相關的顏色以及結構關係必然只有以下一種狀況(爲何只有這種狀況，不明白的請看紅黑樹的性質)：

    分析：由於D爲紅色，因此P必爲黑色，同時DR不可能爲紅色(不然違反性質4)。同時因爲性質5，則DR必爲Nil，不然就D樹來講，通過DR與不通過DR的路徑的黑節點數必不相同。如今要刪除D節點，只須要直接將D節點刪除，並將DR做爲P的左子節點便可。所以刪除後，變成上圖右側所示。

 

    b)       被刪除的D節點爲黑色。此時狀況會稍複雜些，具體又分析爲：DR爲Nil與DR不爲Nil。根據性質5，若是DR不爲Nil，則DR必爲紅色，且DR的兩個子節點必爲Nil。所以，此處先來分析DR不爲Nil的狀況(由於該狀況比較簡單)。而DR爲Nil的狀況，由後面的C)及其後內容再進行具體分析 。

如前所述，若是DR不爲Nil，則D、DR必爲以下狀況：

    分析：因爲刪除的D爲黑色，刪除後P的左子樹的黑節點數必少1，此時恰好DR爲黑色，而且刪除後DR能夠佔據D的位置(這樣還是一棵二叉搜索樹，只是暫時還不是合格的紅黑樹罷了)，而後再將DR的顏色改成黑色，恰好能夠填補P左子樹所減小的黑節點數。從而P樹又平衡了。所以，平衡處理後，最終變成上圖右側的圖示。

    c)       被刪除的D爲黑色，且DR爲Nil。

若是DR爲Nil，則刪除D後，P的左子樹黑節點數一定少1，純粹想在P的左子樹作文章來平衡P樹是絕無可能的了。所以，一定須要其餘分支的輔助來最終完成平衡調整。根據紅黑樹的定義，P會有一個右子節點，稱爲S子節點。此處又可細節分兩種狀況：黑S與紅S。此處先討論紅S的狀況。

    說明：若是S爲黑，則它必不會爲Nil。(不明白的人，再好好想一想爲何)。同時根據紅黑樹的性質，D、S、P、SL、SL的顏色關係必只有以下一種狀況(由於此處探討的是S爲紅的狀況)。

    分析：刪除前P樹的左、右子樹的黑節點數平衡，刪除後(即：上圖右側所示)，通過DR分支的黑節點數將比經過S分支的黑節點數少1。此時，作以下操做：

    將P左旋轉，再將P由黑色改成紅色，將S由紅色改成黑色，演變過程以下圖示：

    通過以上演變後，通過P的路徑，左分支黑節點數還是少1，其餘分支的黑節點數作仍然保持不變。此時的狀況卻變成DR的兄弟節點爲黑色(再也不是紅色的狀況了)，所以轉入此處c)點一開始所說的另外一種狀況(S爲黑色的狀況)的處理。

    提示：此時須要把 SR 節點當作原先的 S 節點。

    注意：可能有人會一時想不明白什麼要這樣轉換。由於這樣轉換後，雖然對於P樹的左子樹的黑節點數仍然會比右子樹的黑節點數少1，但此時DR的兄弟(之前的S節點)如今已經變爲SL，即已經由紅色變爲黑色，而且很是重要的此時的DR的兄弟節點SL的子結點(即：DR的兩個侄子節點)，要不就是紅色節點要不就必爲Nil節點，而這種狀況正是D爲黑色、S也黑色的狀況。(注意看注意看注意看必定注意看這點：對於被刪除節點D的父節點來講，D黑S黑的狀況下，不管如何D的兄弟節點S的兩個兒子節點SL與SR都不多是非Nil的黑節點。不明白的好好想一想爲何)。所以咱們有了進一步分析的餘地。

    d)       被刪除的D爲黑色，S也爲黑色的狀況。根據D、P、S、SL、SR的顏色組合狀況，原本是有很是多種變換的。但事實上，咱們只須要按以下4種狀況作進一步的處理，便可所有涵蓋全部的顏色組合狀況。

    d.1> SL爲紅，SR顏色任意；(對於該狀況的處理，其實咱們不關心P的顏色)

    d.2> SR爲紅，SL顏色任意；(對於該狀況的處理，其實咱們不關心P的顏色)

    d.3> SL、SR都爲黑；P爲紅。(注意：根據前面c)點的紅色文字部分的分析，此時SL與SR一定一定都爲Nil節點)；

    d.4> SL、SR都爲黑；P爲黑。(注意：根據前面c)點的紅色文字部分的分析，此時SL與SR一定一定都爲Nil節點)；

 

    d.1> SL爲紅，SR顏色任意狀況

    分析：P樹的左子樹黑節點數減小1，所以，要想平衡，必需想辦法讓左子樹的黑結節數增長1，並且同時P的右子樹的黑節點數要保持不變。所以，想辦法將SL這個紅色節點利用起來，讓它來填補P的左子樹所缺乏的黑節點個數。所以，立馬想到旋轉，只要有辦法轉到P的左子樹或P位置上，則就有可能填平P左子樹的高度。因此具體操做步驟爲：

    將S右旋轉；接着將SL改成P的顏色，P的顏色改成黑色(用這個黑色來填補DR分支的黑節點數)；將P左旋轉。

 

    d.2> SR爲紅色，SL顏色任意的狀況

    分析：思路同d.1>狀況相似，都是想辦法用紅色的SR節點來填補P的左子樹的減小的黑節點數。具體步驟爲：

    將S由黑色改成P的顏色；

    將SR由紅色改成黑色；

    將P的顏色改成黑色(用該黑色來填補DR分支缺失的黑節點數)；

    將P節點左旋轉；

 

    d.3> SL、SR都爲黑色(其實都爲Nil節點)，P爲紅色的狀況

    分析：此狀況較爲簡單，直接將紅色的P改成黑色，以此爲填補DR缺乏的黑節點個數。此時P右子樹黑節點數卻增多，所以，再將S改成紅色便可平衡。

 

    d.4> SL、SR都爲黑色(其實都爲Nil節點)，P爲黑色的狀況

    分析：由於DR、P、S、SL、SR全都爲黑色，則不論如何變換，都永遠不可能使用P的左右子樹的黑節點數達到平衡。而P不平衡的緣由是由於P的右子樹黑節點數會比左子樹多1個。所以，乾脆將S由黑色改成紅色，如此一來，P的左、右子樹的黑節點個數是平衡的。可是，此時通過P的路徑的黑節點個數將會比不通過它的路徑少一個。所以，咱們將P做爲待平衡的節點(即：此時的P至關於DR的角色)往上繼續上溯，直到P爲根節點爲止。

 

    到此，紅黑樹的刪除操做已所有說明完。從以上的分析來看，紅黑樹的刪除操做將是最爲費時的，至少會比插入操做複雜，更耗時的可能性確定會更大。但事實上，紅黑樹的插入、刪除、效率都是很是高的。插入比較簡單就不說了。刪除操做事實上，就算遇到最壞狀況：DR、P、S、SL、SR全爲黑的狀況下，在上溯過程當中，通常狀況下也是會很快就遇到紅色的P節點的。除非整棵紅黑樹的右子樹基本上都是黑節點(試想下，這可能性幾乎不可能，由於咱們插入時，老是以紅色插入的，再加上紅黑樹的幾條性質約束一下)，或者原本身紅黑樹的總體高度就很是淺。

 

    以上是我的的理解，歡迎指正。