理解矩陣乘法

大多數人在高中，或者大學低年級，都上過一門課《線性代數》。這門課實際上是教矩陣。

剛學的時候，還蠻簡單的，矩陣加法就是相同位置的數字加一下。

矩陣減法也相似。

矩陣乘以一個常數，就是全部位置都乘以這個數。

可是，等到矩陣乘以矩陣的時候，一切就不同了。

這個結果是怎麼算出來的？

教科書告訴你，計算規則是，第一個矩陣第一行的每一個數字（2和1），各自乘以第二個矩陣第一列對應位置的數字（1和1），而後將乘積相加（ 2 x 1 + 1 x 1），獲得結果矩陣左上角的那個值3。

也就是說，結果矩陣第m行與第n列交叉位置的那個值，等於第一個矩陣第m行與第二個矩陣第n列，對應位置的每一個值的乘積之和。

怎麼會有這麼奇怪的規則？

我一直沒理解這個規則的含義，致使《線性代數》這門課就沒學懂。研究生時發現，線性代數是向量計算的基礎，不少重要的數學模型都要用到向量計算，因此我作不了複雜模型。這一直讓我有點傷心。

前些日子，受到一篇文章的啓發，我終於想通了，矩陣乘法究竟是什麼東西。關鍵就是一句話，矩陣的本質就是線性方程式，二者是一一對應關係。若是從線性方程式的角度，理解矩陣乘法就毫無難度。

下面是一組線性方程式。

矩陣的最初目的，只是爲線性方程組提供一個簡寫形式。

老實說，從上面這種寫法，已經能看出矩陣乘法的規則了：係數矩陣第一行的2和1，各自與 x 和 y 的乘積之和，等於3。不過，這不算嚴格的證實，只是線性方程式轉爲矩陣的書寫規則。

下面纔是嚴格的證實。有三組未知數 x、y 和 t，其中 x 和 y 的關係以下。

x 和 t 的關係以下。

有了這兩組方程式，就能夠求 y 和 t 的關係。從矩陣來看，很顯然，只要把第二個矩陣代入第一個矩陣便可。

從方程式來看，也能夠把第二個方程組代入第一個方程組。

上面的方程組能夠整理成下面的形式。

最後那個矩陣等式，與前面的矩陣等式一對照，就會獲得下面的關係。

矩陣乘法的計算規則，從而獲得證實。

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