訓練記錄PART5 2018.6.15~8.15

友情提醒：大部分題選自opentrains，之後有訓練須要的同窗慎重查看。

6.15 Petrozavodsk Summer 2013 - Comenius U Selection by Michal Forisek

C
　　題意：給出一個長度爲 \(N(\leq 10^5)\) 的 \(DURL\) 操做序列。想一想一隻畫筆在無限大的平面上畫線，保證線能夠相交但不會重合，且最終構成一個迴路。問畫出的圖形最少須要用幾種顏色染色（使得邊相鄰的區域顏色不一樣）？
　　題解：

E
　　題意：有一個圓形披薩，圓心在 \((0,D)(D > 0)\) 。桌面是 \(x\) 軸上側。將披薩等分切成\(N\)塊（水平沿 \(x\) 軸正方向是第一刀）。如今要一塊一塊取小披薩。沒有被取過的披薩原本是粘成一個總體的。注意任意時刻，不能有一個總體的披薩掉下桌面（重心 \(\leq 0\)）。問可行的取用排列有幾種。
　　題解：先用積分預處理出一段披薩是否能屹立在桌上。而後區間DP一下便可。

K
　　題意：在 \([10^6,10^6]\) 平面裏隨機撒 \(N(2 \leq N \leq 10^5)\) 個點。求最近點對的距離。
　　題解：利用隨機花式作。

6.20 2017 Multi-University Training Contest 3

6.22 Petrozavodsk Winter 2011 - Andrew Stankevich Contest 39

A
　　題意：有 \(N (\leq 30)\) 個交易所和 \(M\) 個可行交易方案 \((x,y,p,q)\) ，表示交易所 \(x\) 裏每單位的錢能夠換成交易所 \(y\) 裏 \(p\)元前，且最多交易 \(q\) 次。\(|p|,q \leq 100\)。求最多能掙多少錢。
　　待補。

E
　　題意：用 \(N (\leq 500)\) 個邊長是 \(1 \times 1\)的正方形拼出一個規則幾何形狀。求拼成最小周長的形狀的方法有幾種。（擺放位置已經肯定，即四個角上輪換算不一樣方案）
　　題解：最終形狀確定是 \(a \times b\) 的長方形摳掉一些。枚舉每一組\((a,b)\)統計答案。
　　研究一下「摳」的規則。設 \(L_i,R_i\) 表示每行連續的正方形位置，顯然要保證 \(L_i\) 先遞減再遞增，\(R_i\) 先遞增後遞減，且 \(L_i\) 要取過 \(1\) ，\(R_i\)要取過 \(N\)。能夠直接根據這些規則從上到下進行DP。

G
　　題意：求 \(N (\leq 500)\) 個點的排列中，能被分解成三個遞增序列的排列有幾種。
　　題解：待補。

6.24 2017 Multi-University Training Contest 6

A
　　題意：給出由 \(N(\leq 10^5)\) 個單詞的字典和 $Q(\leq 10^5) $個詢問,每次給出兩個串 \(pre,suf\) ，問有多少個單詞以 \(pre\) 爲前綴，以 \(suf\) 爲後綴，且它們不重疊。字符串總長 \(\leq 5 \times 10^5\)
　　題解：這兩維的限制很難搞。由於一開始單詞的順序是無關的，咱們能夠先按字典序排序。這樣，前綴是固定值的單詞必然是連續的。咱們倒着創建trie，每次按\(suf\)走一走，即詢問：當前 \(trie\) 子樹下有多少個開頭知足在區間 \([L,R]\) 中的。
　　注意還有棘手的限制：不能重疊。即詢問串的長度必須 \(\geq |pre|+|suf|\) 。爲了破解這個限制，我就離線先按詢問的長度排序，動態往dfs序裏丟一個數，或者詢問一段區間裏裏另外一維權值在 \([L,R]\) 的數有多少個。這個是經典的2個log帶修改主席樹的作法。
　　其實只要容斥地減掉便可。不合法的必定是重疊的，咱們直接暴力枚舉重疊部分長度，用hash去全局判一判便可。

B
　　題意：一共有 \(5 \times 10^5\) 組數據。給出圓裏的兩個點 \(P\) 和 \(Q\) ，保證\(|OP|=|OQ|\)。在圓周上找一個 \(D\) ，使得 \(|DP|+|DQ|\) 最小。
　　題解：數據組數很大，三分須要一點黑科技。 三分時其實不必三等分點 。若是 \(m_1\) 和 \(m_2\) 每次都取在 \(mid=\frac{l+r}{2}\) 的附近，它的效率就會接近二分了。考慮到一些精度問題，建議與 \(mid\) 隔得稍微遠一點。
　　考慮解析解怎麼求，這裏須要圓的反演的知識。分別對 \(P\) 和 \(Q\) 作圓的反演點，類似比爲 \(|OP|:r\)。由於比例同樣，因此等價於求\(|DP'|+|DQ'|\)的最小值。若是 \(|P'Q'|\) 與圓有交，交點即是 \(D\) ；不然能夠假想一個以它們爲焦點的橢圓，咱們一點點放大這個橢圓，它第一次與圓的交點即爲所求，此時就在中垂線位置。

H
　　題意：給出 \(N(\leq 10^5)\) 個數的排列和 \(M(\leq 10^5)\) 個詢問。每次給出 \(L,R\) ，求\(\sum \limits_{i=L}^R \sum \limits_{j=i+1}^R \sum \limits_{k=j+1}^R [gcd(p_i,p_j)=p_k] \times p_k\)。
　　題解：離線，枚舉每個右端點，維護此時左端點的答案。由 \(p\) 是一個排列，每次加入 \(i\) 後，咱們能夠暴力枚舉 \(p_i | p_j (j<i)\)。
　　若是從右往左掃描，如今問題轉化成：把一個數加入集合；或者問集合裏與某個數互質的數有多少。這是個經典問題，只能暴力容斥。爲了減小常數，每次加入一個數的時候，只在它 \(mul \ne 0\) 的位置算貢獻。

7.14 Petrozavodsk Summer 2016 - Petr Mitrichev Contest 14

C
　　題意：考慮這樣一個題：把 \(0\) 和 \(1\) 填入 \(N(\leq 60)\) 位的格子。還有 \(m(\leq 100)\) 個進制串，表示它們不能是某個合法方案的子串。問合法的方案總數 \(n\) 。如今給出這個 \(n(\leq 10^9)\) ，要求構造一種合法方案。
　　題解：待補。

F
　　題意：有 \(k(\leq 10000)\) 輪遊戲。每一輪會獨立地隨機一個 \(1\) ~ \(n(\leq 10000)\) 之間的數，能夠選擇取這個數或者 \(skip\) 。必須正好取 \(3\) 個數，問最優決策下，取的 \(3\) 個數是等差數列的機率。
　　題解：設 \(f_{i}\) 表示一共玩 \(i\) 輪成功的機率。轉移顯然爲：\(f_i=\frac{1}{n} \sum \limits_{j=1}^n \max(f_{i-1},g_{i-1,j})\)。其中 \(g_{i,j}\) 表示還剩下 \(i\) 輪，以前已經取了一個數字 \(j\) 的最優成功機率。而後 \(g_{i,j}=\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^n \max(h_{i-1,k,g},g_{i-1,j})\) 。其中 \(h_{i,j,k}\) 表示剩下 \(i\) 輪，已經選出兩個 \(j\) 和 \(k\) 的成功機率。 \(h\) 已經能夠直接算了。且注意到，計算 \(g\) 枚舉的 \(k\) ，本質不一樣的只有 \(4\) 種（已經肯定了兩個數，符合要求的第三個數最多隻有 \(3\) 個），咱們能夠合併相同的狀況。最後複雜度 \(O(NK)\) ，滾一滾數組便可。

H
　　題意：給出一個 \(n \times m(n,m \leq 1000)\) 的01網格。每次能夠翻轉一行，一列，或者任意一條（反）對角線。求打印一種能翻轉成全1的方案。
　　題解：

7.15 Petrozavodsk Summer 2016 - Ural FU Dandelion Contest

C
　　題意：維護一個 \(N(\leq 10^5)\) 個數的可重集（數字 \(\leq 10^9\) ）。有 \(Q(\leq 10^6)\) 種操做，分爲兩種：①問目前第 \(k\) 小的數；②將全部 \(> x\) 的數都減掉 \(x\)。
　　題解：要動態地求第 \(k\) 小，至關於要實時地維護出這個集合。爲了用上一些均攤的特性，咱們把②操做要維護的數分類。
　　對於 \(y \in [x+1,2x]\) 的這些數，其實咱們是能夠暴力找出來刪掉它們，再暴力插回平衡樹的。由於每操做一次，值必然小於原來的一半。
　　對於 \(y > 2x\) 的這些數就不能暴力了。但注意到，它們減去了 \(x\) 後依然大於 \(x\) ，與以前全部數的相對大小保持不變！這樣咱們只需在這一段裏打一個區間減標記便可。

I
　　題意：給出一個凸包 \(N(\leq 10^5)\) 。問凸包上有多少個點對，知足以它們爲直徑畫圓，該圓能夠蓋住凸包上的全部點。
　　題解：由於直徑是圓裏最大的弦，因此符合要求的圓的直徑必然是凸包的最遠點對的距離。
　　 首先介紹一個經典算法：求每個點的最遠點。
　　顯然一側繞着凸包走，另外一側是單調的。但注意這不是徹底決策單調性，即最優勢周圍是不具有單調性的。

　　最簡單的作法就是分治。具體地，將凸包倍長，定義
\[\begin{equation} cost_{i,j}=\left\{ \begin{aligned} dist(i,j) & i \leq j < i+n\\ -dist(i,j) & j < i , j \geq i+n\\ \end{aligned} \right. \end{equation}\]
　　直接對其作要求的點爲 \([1,n]\) ，分治決策點爲 \([1,2n]\) 的DP便可。（注意不合法那一段必定要取負，以保持分治的單調性）
　　這題咱們會發現，若是一組點對合法，那麼全部距離爲直徑的對踵點都合法。因此只需暴力check一組便可。
　　

7.17 Lesnoe Ozero 2016 BSUIR Open 2016 Finals

B
　　題意：有一個 \(N \times N(N \leq 1000)\) 個格子，每個格子均勻隨機一種 \([1,k](1 \leq k \leq N^2)\) 的顏色。一個矩陣的價值是裏面不一樣顏色的數量。求全部子矩陣的價值之和。
　　題解：待補。

C
　　題意：一個數列前 \(5\) 項是 \(\{1,2,4,6,3\}\) ，以後每一 個\(a_i\) 知足：它是與 \(a_{i-1}\) 不互質、且以前沒出現過的最小的正整數。求它第 \(N(\leq 3 \times 10^6)\) 項的值。
　　題解：直接對於每個質數，維護 \(f_i\) 表示含該質數的最小沒出現過的數是多少。全局維護一個是否出現過的flag數組，每次枚舉 \(a_{i-1}\) 的質數，用 \(f_i\) 更新，維護 \(f\) 時暴力往上走便可。複雜度爲 \(O(N \log N)\)。

D
　　題意：平面裏有 \(N(\leq 1000)\) 個點。問有多少條長度爲 \(6\) 的鏈，知足這 \(6\) 個點互不相同，線段方向交替（第一條線段是向左轉，第二條向右轉……），且每次轉向角都是鈍角。
　　題解：待補。

7.19 XVI Open Cup - Grand Prix of Ekaterinburg

7.21 XVI Open Cup - Grand Prix of Siberia

L
　　題意：有 \(k(\leq 10)\) 個寄存器，初始時 \(0\) 號點裏的值是 \(x\) ，別的點都是\(0\)。給出\(m(\leq 15)\)操做，分爲兩種：①將一個寄存器的值加到另外一個上。②某個寄存器裏的值加一。全部操做都是在模域 \(P\) 下進行的。再讀入一個 \(K\) 位的字符串表示 對\(P\) 的限制：每一位是 \(0\)~\(9\) 中的一個數或者 \(?\) （能夠填任意數字）；第一位必然是肯定的數字。
　　設全部操做作完後 \(0\)號點獲得的值是 \(y\) 。如今只給出 \(y\) ，對於全部合法的pair \((x,P)\) ，求 \(x\) 的和。注意要保證 \(0 \leq x,y<P\)，且一個 \(x\) 若是有多個 \(P\) 符合，答案算屢次。
　　題解：這題特別複雜。首先前面的寄存器沒啥卵用。題目轉化成，\(Ax+B=y(\mod P)\)，給出 \(P\) 的數碼限制和 \(y\) ，求全部合法解的 \(x\) 之和。
　　 \(P\) 有數碼限制，應該要數位DP；但有取模運算在彷佛很差搞。由於寄存器操做 \(m \leq 15\)， \(A\) 和 \(B\) 不會很大（幾千）。咱們能夠枚舉這個等式的商 \(k\) ，將其改寫成 \(Ax+B=y+kP\) 。若是 \(B<P\) （爲了知足這個條件，\(P\) 限制位數小的時候咱們能夠暴力枚舉 \(P\) 驗證），又由於 \(x < P\)，因此 \(k\) 的枚舉範圍爲\([0,A]\)。
　　再把式子寫成 \(\frac{Ax+B'}{k}=P\)。這個式子必需要整除，設最小合法解爲 \(x0\) （對應的 $P $稱爲 \(p0\) ）。 \(x\) 每加一，分子增長 \(A\) ，那麼咱們能夠求一個\(dx = \frac{k}{gcd(A,k)}\)，表示 \(x\) 至少增長這麼多才能又一次整除；對應的 \(dp = \frac{A}{gcd(A,k)}\)。注意還要知足 \(x < P\) ，因此第 \(i\) 組解若是成立，要知足 \(x0 + dx \times i < p0 + dy \times i\)，由 \(k \leq A\) ，合法的 \(i\) 是一個後綴（要大於等於某個值）。
　　求 \(\sum x\) 比較麻煩，考慮先求出 \(\sum P\) ，最後式子轉化一下便可。
　　問題變成了一個有下界要求的數位DP。由於合法的 \(P\) 是一組等差數列，DP的時候咱們還要再記一維 \(mod\) 表示目前填的 \(P\) 的前綴對 \(dp\) 的模數（最後被統計進答案的 \(P\) 需知足 $P \mod dp = p0 \mod dp $ ）。注意不光要記錄目前以前填好的前綴全部合法 \(P\) 的和，還要記合法 \(P\) 的個數（這樣才能幫助轉移前者）。常數略大，須要卡常。

7.22 Petrozavodsk Winter 2015 - Wroclaw U Contest

L
　　題意：給出一個 \(N(\leq 2 \times 10^5)\) 個點和 \(M(\leq 5 \times 10^5)\) 條邊的有向圖。對於每個都詢問：若是刪了這個點，這張圖的強連通份量個數是否會增長。
　　題解：每個SCC單獨作。考慮固定一個點 \(O\) 。若是點 \(X(X \ne O)\) 是合法點，那麼至少存在一個子SCC集 \(B\) ，知足它和 \(O\) 所在的子SCC集 \(A\) 不能互相到達。先從 \(O\) 點開始跑一個支配樹。假設只存在 \(B\)->\(A\) 的邊，咱們會發現， \(X\) 是 \(B\) 集合的全部點的支配點；反之 \(A\) -> \(B\) 有邊，只需將全部邊都反向，那麼 \(X\) 依然是它們的支配點。因此，咱們跑正反各一次支配樹，若是一個點至少一次成爲某個點的祖先，就是合法點。最後還要特判 \(O\) 點，直接刪除它跑一遍tarjan便可。

7.22 FaceBook R1 T4

　　題意：有 \(N(\leq 3000)\) 個院子排成一排，相鄰兩個院子有一個柵欄。每一個柵欄的高度是 \((L_i,R_i)(R_i \leq 10^6)\) 裏的一個隨機整數。
　　還有 \(M(\leq 3000)\) 個殭屍，給出它們初始所在的院子和最多能跳的高度。對於全部柵欄的可能局面，問「至少存在一個院子不可能被任何殭屍走到」的機率。答案對大質數取模。
　　題解：有點意識流的DP。設 \(f_{i,j}\) 爲前 \(i\) 個院子都能被殭屍到過，且能走到院子 \(i\) 的最強的殭屍是 \(j\) 的機率；再設\(g_{i,j}\)爲前\(i\)個柵欄不能全被殭屍到過，且必須有一個能力至少爲 \(j\) 的殭屍從右側跳到第 \(i\) 個院子來，能使前 \(i\) 個院子都被到過。對於一個 \(i\) ， \(f\) 和 \(g\) 顯然是不交的，並且它們的機率和是 \(1\) 。每次轉移的時候，分狀況討論便可。轉移 \(g\) 的時候複雜度是 \(O(N)\) 的，還須要一個前綴和優化。總複雜度 \(O(N^2)\)。

7.23 Petrozavodsk Winter 2015 - Jagiellonian U Contest

B
　　題意：有一個 \(6 \times 6\) 的棋盤。如今打亂棋盤上棋子。每次能夠對一行或者一列循環移動1格。構造一種能恢復成原來狀態的操做序列。
　　題解：若是咱們能作到交換兩個格子，這題也就結束了。惋惜我並無搞出來。
　　對於一個點 \((x,y)\) ，若是對其執行了 \(DRUL\) 的操做，別的數沒有發生變化，而\((x,y),(x,y+1),(x-1,y)\)這三個字符發生了循環位移。同理，咱們也能發現 \((x,y),(x,y-1),(x-1,y)\) 的循環位移的方法。前 \(4\) 行每次用三角置換把數字移動到目標位置。最後兩行是一列一列填好的，最後還會剩下兩個字符（即便是反的也沒救了）。到這裏也能說明，能互相到達的狀態的等價類最多爲 \(2\) 。實測發現等價類爲1，因此每次對於一個初始態，咱們能夠先隨機shift一下，再按這個操做拼。每次正確率的指望是 \(\frac{1}{2}\)。

C
　　題意：給出 \(b(\leq 5 \times 10^4)\) 進制下，數碼 \(1\)~\(b-1\) 分別對應的字符串（總長\(\leq 5 \times 10^5\)）。再給出一個很長的字符串 \(S(|S| \leq 3 \times 10^5)\)，找到它的一個子序列 \(S'\)，使得$ S'$ 能能不重不漏地分解成一些數碼對應的字符串，且數碼構成的數字最大。要求輸出方案。
　　題解：求最長的數字長度仍是比較好作的。設 \(f_i\) 表示後綴 \(i\)~\(n\) 中能拼成的最長長度，每次枚舉從 \(i\) 開始最小的能覆蓋的子串 \([i,j]\)，\(f_i=\max(f_{j+1}+1, f_{i+1})\)。還要求具體方案的話，由於數字必定是首位越大越優，增設 \(g_i\) 表示在知足長度爲 \(f_i\) 的狀況下，當前第一位最大是多少。轉移時，找合法覆蓋串 \([i,j]\) 的最大可能數碼。注意 \(j\) 還要知足，\(f_{j+1}=f_i-1\)。
　　以上是暴力轉移的作法。在比賽時，想到了一個\(naive\)的分塊作法。設一個閾值 \(last(=100)\) 。把數字對應的串按長度排序，稱後 \(last\) 個爲大串，剩下的爲小串。dp轉移的時候，分別考慮這兩類串的貢獻。對於小串，長度都是比較小的，咱們直接暴力枚舉 \(j\) ，而後看一下給定子串是否存在一個對應數碼（因此咱們還能將小串的長度去重來枚舉，減小常數）；對於大串，每次dp第 \(i\) 位時直接掃描全集，hash值比對一下便可。複雜度是 \(O(N(K+last))\) 的，其中 \(K=min(\sqrt{5 \times 10^5 - l \times last},l)\)， \(l\) 是一個任意值（表示後 \(last\) 個串的長度）。手寫hash+64位天然溢出能夠卡過。
　　事實上有很簡單的作法。將全部數碼串反向建 \(trie\) 圖。倒着枚舉 \(i\) 的時候，直接走 \(S_i\) 這條邊。這樣當前節點 \(p\) 的 \(fail\) 樹上的祖先都是能匹配的串。預處理一個點到根路徑上最短匹配串，就能夠支持對 \(f\) 數組的轉移了。 \(g\) 數組的話，由於有一個長度限制，若是同時維護的話，須要在 \(fail\) 樹上詢問某一段祖先的最大值。但其實，咱們能夠等 \(f\) 數組作完後，從前日後逐位肯定去肯定具體方案。每次找到以後 \(f\) 連續的那一段，從結尾出開始走 \(trie\) 圖，這樣咱們只會詢問到根路徑上最大匹配串的數碼。

D
　　題意：多組數據。每次給出一個 \(N(\leq 2000)\) 個整數的集合，數字範圍爲 \([0,10^9]\)。找出一個長度最長的等差數列。
　　題解：開始想到的作法是：枚舉任意兩個數 \(a_i,a_j\) ，將這個pair插入 \(a_j-a_i\) 這個集合裏。最後依次掃描每個集合，每次貪心地跑一遍便可。可是如何劃分這些集合呢？直接排序也是會TLE的，首先hash可能也會卡常。
　　事實上，排完序後，直接設 \(f_{i,j}\) 表示結尾兩個數是 \(a_i,a_j\) 時的最長長度。而後找到一個 \(k\) ，使得 \(a_j-a_i=a_k-a_j\) ，轉移到 \(f_{j,k}\) 。注意到，枚舉 \(j\) 的時候，對應的 \(k\) 是單調的，指針掃一掃便可。

7.25 XV Open Cup - Grand Prix of America

D
　　題意：給出一個二進制數 \(R\)，它是由01串 \(S(|S| \leq 50)\) 重複 \(K(\leq 10^5)\) 次獲得的。要在 \([0,R)\) 裏選擇 \(N\) 個互不相同的數，使得它們的xor值是0。求方案數模 \(10^9+7\)。
　　題解：還不會帥氣的作法。
　　先寫一個我搞出來的求容許相同的數的答案。考慮直接數位DP，對每個數都開一個0/1表示是否已經嚴格小於 \(R\) ，轉移時枚舉每一個數這一位填0/1（均可以用一個二進制狀態 \(U\) 來描述）。這樣複雜度是 \(O(|S| \times K \times 2^N)\) 的。 \(K\) 很大，考慮倍增 \(K\) 。關於合併的話，我並不會特別優美的作法。只會設 \(f_{S,T}\) 表示通過一段 $R \(以後，原dp數組的狀態\)S$對新dp數組的狀態 \(T\) 的貢獻的係數。預處理走一段的複雜度上界是 \((4^N \times |S|)\) （枚舉子集的子集）。不停地把f合併來倍增。每次合併複雜度也是 \(O(4^N)\)。

G
　　題意：初始有一個字符串 \(p\) 和空串 \(S\) 。重複若干次操做，每次往 \(S\) 裏的隨機一個位置插入一個 \(p\) 。給出最終狀態的 \(S(|S| \leq 200)\)，求長度最短（若是同樣，字典序最小）的合法的 \(p\)。
　　題解：要長度和字典序最小，應該是枚舉+check的套路。先枚舉一個 \(|S|\) 的約數 \(len\) 。 \(p\) 必然是 \(S\) 的一個子串，咱們再花 \(O(N)\) 的時間，能夠找到全部可能的 \(p\) ，最後驗證一下便可。
　　驗證時，每次找到最靠前的 \(p\) 並刪掉是錯的。好比\(S=ababaa,p=aba\)也是合法的。
　　注意到，雖然一塊p可能被斷成若干截，但夾在其中的每一段，必然是能獨立消光的。咱們能夠 \(f_{i,j}\) 表示區間 \([i,j]\) 是否能合法。注意 \(j-i+1\) 不要求是 \(len\) 的倍數。若是有餘數，咱們要求多餘的部分正好是 \(p\) 的前綴。轉移時考慮第 \(j\) 個字符。
　　一種狀況是，它和以後的零碎字符會拼成一段，即 \(f_{i,j}|=f_{i,j-1} and a_j = prefix_{(j-i) \mod len+1}\)；
　　或者說，對於以後的零碎部分而言， \(j\) 是屬於夾在它之間的整塊，那麼 \(f_{i,j}|=f_{i,j-k \times len} and f_{j-k \times len+1,j}\)。
　　最終複雜度爲 \(\sum \limits_{k|N} (N-k+1) \times N^2 \times \frac{N}{k}=O(N^4)\)

H
　　題意：一個壞的售貨機有 \(N(\leq 10^5)\)個物品，每一個物品有 \(a_i(\geq 1)\) 個。還有 \(N\) 個按鈕，第\(i\)個按鈕指向物品 \(f_i\) 。每指定一次 \(i\) 後，若是物品 \(i\) 和物品 \(f_i\) 都有貨，要支付 \(C_i\) 的代價，但會跳出物品 \(f_i\) 。再給出每一個物品賣掉的價格 \(D_i\) ，問操做一通最多能賺多少錢。
　　題解：挺有趣才摘錄的，不難。經典模型，構出來的必定是一棵基環內向樹。若是隻是樹，從根開始直接向外貪心便可。
　　考慮環的話，環上指向一個點 \(X\) 的邊必需要大於 \(X\) 子樹朝它的邊（不然刪掉它便可作一遍樹便可）。先所有取到 \(1\) ，最後必須損失一個點，找一個最小的便可。

7.27 2018 Multi-University Training Contest 2

A
　　題意：給出 \(N(\leq 15)\) 個整數區間。在每一個區間裏等機率隨機一個實數，求總和的絕對值的指望。模大質數。
　　題解：待填坑。

C
　　題意：給出一張 \(N(\leq 10^5)\) 個點， \(M(\leq 10^5)\) 條邊的無向圖。問最少幾條 \(path\) 能夠覆蓋每條邊正好一次。要輸出方案。
　　題解：度數爲奇數的點必然只有偶數個。將它們隨意鏈接，就能獲得一張歐拉圖。跑一個歐拉路徑，再把鏈接處斷開便可。

F
　　題意：給出一個 \(N \times M (N,M \leq 3000)\) 的棋盤。給每個格子染黑色或白色的一種，問至少有 \(A\) 行全黑，\(B\) 列全黑的方案數。
　　題解：在一維狀況下，算正好是 \(x\) 個符合要求的答案，咱們能夠倒着來\(DP\)。即 \(g_x=f_x-\sum \limits_{i=x+1}^n g_i \times C_i^x\) 。可是二維下，這個是\(O(N^4)\)的。
　　反思一下，一維的時候，其實咱們還能夠直接容斥算 \(x\) 處的答案。 \(g_x=\sum \limits_{i=x}^n f_i \times C_i^x \times (-1)^{i-x}\)。
　　並且這個也是能夠無傷拓展到二維的。因此如今咱們會 \(O(NM)\) 的複雜度算 正好有 \(A\) 行 \(B\) 列的方案數 了。
　　假想咱們枚舉全部\((A',B')(A' \geq A),B' \geq B)\)分別作一遍容斥，這樣依然是 \(O(N^4)\) 的。
　　但咱們能夠反過來考慮，對於一組 \((x,y) (x \geq A,y \geq B)\)，計算它對全部 \((A',B')\) 的貢獻。係數是對一個組合數的式子求和，拆一拆能夠用前綴和優化。最終效率是 \(O(NM)\) 的。

8.6 XVIII Open Cup - Grand Prix of Peterhof

A
　　題意：要選出六邊形網格（見下圖）裏的 \(N(\leq 10^9)\) 個點，而後用連續圍牆把它們圍住。圍牆也佔據格子，且不能和選出的點重合。能夠多圍一些空的格子。問圍牆通過的最少的格子數。

　　題解：若 \(N\) 正好等於一個正六邊形內部的點數，那麼外面圍一圈必然是最優的。以後每增長1的圍牆，能夠「拓寬」一條邊界。假設六邊形邊長是 \(e\)，向外拓展六次後，能多圍的點數分別爲 \(e-1,e,e+1,e,e,e\)。因此一點一點模擬拓寬過程便可找到最優解。複雜度\(O(\sqrt N)\)。

B
　　題意：在 \(N \times M(N \leq 6,M \leq 300)\)的網格里放骨牌。每個骨牌都是 \(1 \times 2\) 的，且正好一端黑一端白。特別的，對於兩種骨牌放置方案，若是其帶來的染色結果相同，咱們認爲是同一種方案。求放滿骨牌的方案數模一個大質數。
　　題解：很難直接統計骨牌放置的方案，由於處理不了等價的狀況。
　　先考慮，若是給出一種染色結果，是否存在一種骨牌放置方案？能夠一列一列狀壓DP過去判斷。這樣就不用考慮相同的骨牌放置方案了。那麼咱們能夠在以前的DP中，額外開兩維 \((i,j)\)，表示目前顏色塗到 \((i,j)\)，且目前的骨牌能放置的結構爲 \(S\)的方案數。每次枚舉這一格顏色是 \(0\) 仍是 \(1\)。最後把最終態裏合法的顏色的方案數加起來便可。狀態數不滿 \(2000\)。

G
　　題意：在 \(N \times N(4 \leq N \leq 100)\) 的國際象棋棋盤上有兩顆子。選手操縱後，\(judge\)程序操縱馬。要求在 \(K (K \times N \leq 10000)\) 步以內把馬吃掉。
　　題解：大概會了。待補。

H
　　題意：設 \(f(x)=\prod \limits_{i=1}^n (1+a_i x)\)，\(g(x)=\prod \limits_{j=1}^m (1+b_j x)\)。（直接給出 \(f\) 和 \(g\) 的係數）。
　　求 \(h(x)=\prod \limits_{i=1}^n \prod \limits_{j=1}^m (1+a_i b_j x)\) 的前 \(k\) 項係數，模NTT質數。\(n,m,k \leq 10^5\)
　　題解：用到一步精妙的泰勒展開（或許是多項式基本操做？）
　　\(f(x)=exp(\sum \limits_{i=1}^n ln(1+a_i x))=exp(\sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \times {a_i}^kx^k)=exp(\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} (\sum \limits_{i=1}^n {a_i}^k) x^k)\)
　　\(g(x)\)同理。
　　\(h(x)=exp(\sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{j=1}^m ln(1+a_i b_j x))=exp(\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \times (\sum \limits_{i=1}^n a_i)(\sum \limits_{j=1}^m {b_j}^k) x^k )\)
　　因此 \(ln(h(x))\)能夠由這兩個函數取對數後點乘起來再調一下係數獲得。最後再 \(exp\) 回去便可。

J
　　題意：給出一個\(n(\leq 10^6)\)位的高精度數。判斷它是不是徹底平方數。
　　題解：NOIP模域作法再現江湖！咱們能夠指定一些質數 \(P\)。若是 \(n\) 是徹底平方數，顯然 \(n\) 在模域 \(P\) 下存在二次剩餘，即\(n^{\frac{P-1}{2}}=1\)。多測試幾回便可。

8.7 2017 Multi-University Training Contest 1

C
　　題意：經典題。給出一棵 \(N\) 個點的樹。設一條路徑的權值是它上面的顏色數。求全部路徑的權值之和。
　　題解：顯然對於每一種顏色分開考慮。這就變成了一個虛樹上DP的模型。
　　虛樹上不是全部點都是關鍵點。直接算包含關鍵點的路徑會比較困難。能夠容斥一下，算不包含的數量。
　　虛樹上也要額外統計原樹裏（且不在虛樹上）的點。能夠分類爲「虛樹上一條邊裏的點」和「虛樹上的點的其它子樹裏的點」。

I
　　題意：給出一棵 \(N(\leq 1000)\) 個點的仙人掌。求它前 \(K(\leq 10^5)\) 小生成樹的代價和。
　　題解：顯然每個環裏必須刪掉一條邊。
　　問題轉化成：給出\(N\)個集合，每一個集合裏有若干個數（數量總和 \(\leq N\)）。如今要在每一個集合裏各刪一個數，求剩下數的和的前 \(K\) 小解。
　　有一個經典的二分作法。二分答案，暴力去DFS構造。一旦超過 \(K\) 可當即中止，複雜度上界 \(O(NK \log V)\)。
　　題解分析了一通，其實也能夠暴力。考慮一個一個去合併這些集合。
　　一種顯然的作法是，以前已經維護好了\(K\)個值。到目前這個集合 \(S\) 時，往堆里加 \(|S|\) 個元素，每一個元素開個指針一步一步從 \(1\) 推到 \(M\)。這樣每一輪複雜度是 \(O(K \log |S|)\)，總複雜度是\(O(K \log \prod_{S_i})=O(KN)\)

J
　　題意：有 \(N(\leq 5 \times 10^4)\) 個物品，大小爲 \(i\) 的物品有 \(a_i\) 個（\(a_i < a_{i+1}\)）。求拼出體積爲 \(1\)~\(2N\) 的方案數。
　　題解：經典的分段揹包。對於大小小於 \(\sqrt N\)的物品，直接應用隊列優化的多重揹包便可；對於更大的物品，能夠視爲無限揹包，且最多隻會放\(\sqrt N\)個，直接應用旋轉體積揹包便可（每次總體 \(+1\) 或者加入新的一個點）。
　　注意這裏體積要算到 \(2N\)。能夠先將物品視爲 \(2N\) 個，作一遍旋轉體積揹包。而後再考慮減掉 「用到體積大於\(N\)的物品」 的方案數。直接枚舉超過的物品體積（\(N+1\)~\(2N\)），剩下的調用直接的DP值便可。

8.9 2017 ICPC SWERC

H
　　題意：字符集爲前 \(k(\leq 26)\) 個小寫字母，填 \(N(\leq 500)\) 個格子。還有一個額外限制 \(S(|S| \leq 60)\) 。\(S=s1>t1|s2>t2|s2>t3 \dots\)。其中 \(s1,t1,s2 \dots\)是字符串，且保證對於一組 \((s,t)\)，不可能存在一個字母同時屬於\(s\)和\(t\)。限制的含義是，若你填的方案裏出現過 \(s_i\) ，則最後一個 \(s_i\) ，必須早於最後一個 \(t_i\) 。求合法方案數。
　　題解：看上去很經典？是的。
　　注意到 \(|S| \leq 60\)，因此最多隻有 \(15\) 個限制。設直接對全部限制一塊兒創建一個AC自動機。設 $f_{len,p,S} $ 表示填到第 \(len\) 位，走到了自動機的第 \(p\) 位，且目前對於限制的知足狀況是 \(S\) （\(S\) 是一個二進制狀態）的方案數。惋惜的是，這樣會TLE的。
　　主要仍是 \(S\) 太大了。考慮創建一種嶄新的自動機，能徹底刻畫出知足的某些限制，而不用 \(S\) 來描述。
　　因爲不知道如何形式化地創建自動機，咱們能夠暴力建。具體地，一個自動機上的點是一個狀態集合\(S\)，表示目前對於第\(i\)個限制它匹配到了哪裏。（好比，若是還沒匹配完 \(s_i\) 就失配了，那從 \(s_i\) 頭開始匹配；超過 \(s_i\) 但沒匹配完 \(t_i\)，則從 \(t_i\)開頭匹配；匹配完了 \(t_i\)，又能夠從頭開始搞。注意，因爲 \(s\) 和 \(t\) 出現的字母都不同，因此不用考慮\(kmp\)）。
　　能夠證實，建出的自動機大小不超過 \(10^6\)，這樣只須要兩維DP了。

8.10 German Collegiate Programming Contest 2010

8.15 ICPC Europe NEERC Northern Subregional 2017

F
　　題意：給出 \(m(\leq 20)\) 個層層嵌套的循環語句。設循環變量分別爲 \(i_1,\dots,i_m\)。保證\(i_p\)的循環下界是\(1\)或\(i_q(q<p)\)，循環上界是\(N\)或\(i_q(q<p)\)。求\(N \rightarrow +\infty\)時，該循環複雜度的最高項的係數。結果用最簡分數表示。
　　題解：首先，要產生複雜度，每個循環的下界都要小於等於上界。若是某一層循環 \(i_p\) 是從 \(i_u\) 循環到 \(i_v\) 的，那麼 \(i_u \leq i_p \leq i_v\)。對於每個 \(A \leq B\) 的關係，咱們從 \(A\) 到 \(B\) 連一條有向邊。這樣\(m\)個循環變量構成了一張圖。
　　首先求出這張圖的全部強連通份量。根據連邊的意義，每一個SCC裏的循環變量的取值必須徹底同樣。
　　那麼能夠等價地把每一個SCC縮成一個點，結果不變。如今得到了一張 \(m'\) 個點的拓撲圖。
　　由於循環的下界只能是\(1\)，上界只能是\(N\)，若是不考慮循環變量之間的大小限制，總遍歷次數是 \(N^{m'}\)。如今，咱們要額外考慮循環變量之間的限制，若是算出對應的實際遍歷次數 \(cnt\)，那麼答案就是 \(\frac{cnt}{N^{m'}}\)
　　一個顯然可是重要的轉化：在 \(N \rightarrow +\infty\) 下，咱們能夠忽略新圖中存在兩個點取值相同的狀況。即你能夠認爲，全部點的取值兩兩不一樣。
　　考慮給這 \(m'\)個點任意兩個 \(rk\) 的合法排列 \(p_1,p_2\)（合法的意思是，知足拓撲圖的大小限制）。你會發現，\(p_1\) 和 \(p_2\) 遍歷到的次數（對應的取值方案數）是徹底同樣的。而後你進一步會法案，一個合法排列 \(p\) 與一個不合法排列 \(p'\) 遍歷到的次數也是徹底同樣的。
　　因此能夠轉化爲這樣一個問題：給出一張最多 \(20\) 個點的拓撲圖，問有多少種 \(rk\) 分配的排列，使得知足拓撲圖限制。合法分配數除以排列總數便是咱們要求的答案。這個直接 \(O(2^{m'} \times m')\) 的狀壓DP便可。

J
　　題意：給出 \(N(\leq 50000)\) 個數 \(a_i(a_i \ne 0)\)。設 \(A=\sum \limits_{a_i>0} a_i,B=-\sum \limits_{a_i<0} a_i\)。
　　再設
\(\begin{equation} w_i=\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{a_i}{A} & & {a_i>0}\\ \frac{a_i}{B} & & {a_i<0}\\ \end{array} \right. \end{equation}\)
　　再設 \(sum_i\) 是 \(w_i\) 的前綴和。求 \(sum_i\)最大的位置 \(i\)。有 \(Q(\leq 50000)\) 次操做，每次修改一個數，而後回答一下。

　　題解：在一次單調修改後，後綴 \(sum_x\)都會變更，不利於維護。很容易想到分塊的操做。
　　\(sum_i\) 割裂成 「大於\(0\)」和「小於\(0\)」 兩維（如下簡稱 \(x\) 和 \(y\) ）的前綴和，就能夠看作一個點了。由於 \(A\) 和 \(B\) 變更也很頻繁，沒有規律，咱們能夠把 \(A\) 和 \(B\) 當作變量去查詢。
　　具體地，對數列分 \(\sqrt N\) 塊。每塊無視以前的前綴和，從頭算出 \(sum_x\) 和 \(sum_y\)。對於詢問，本質是求 \((B,A)\) 和 \((sum_x,sum_y)\) 的最大點積值（其中前者在第一象限，後者在第四象限）。考慮點積的幾何意義，咱們只需對點集\(sum\)，在第四象限維護出一個凸殼便可。詢問時，作一個垂直於 \((B,A)\) 的直線，從無窮遠處移動過來，碰到的第一個點即爲答案點。
　　上述要維護的東西能夠用二分+點積作到。
　　每次回答時，枚舉每個塊分別問一下。以前塊對後面塊的影響，至關於把凸殼平移了一段距離。其實最優勢依然不變。
　　每次修改時，暴力重建對應塊的凸殼便可。複雜度爲 \(O(Q \sqrt N \log N)\)。