Gym100365H Peaks 和 CH3401 石頭遊戲

Peaks

求n個排列中有剛好k個峯的方案數，模239

n<=10¹⁵,k<=30

題解

$f(i,j)$ 表示填了 $1~ i$ 有 $j$ 個峯的方案數。

那麼 $2j\cdot f(i,j) \rightarrow f(i+1,j)$，$(i+1-2j)\cdot f(i,j) \rightarrow f(i+1,j+1)$。

因而轉移能夠寫成矩陣形式。考慮係數 $i+1-2j$ 怎麼處理。發現因爲模數很小，因此能夠利用矩陣的週期性。

k和模數的大小提示找規律，事實上當 $k\leq 30$ 時，$f(n,k)=f(n+56882,k)~(\bmod 239)$

CO int mod=239;
int f[56882][31];

int main(){
	int n=read<LL>()%56882,k=read<int>();
	f[1][1]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=k;++j)if(f[i][j]){
			f[i+1][j]=(f[i+1][j]+2*j*f[i][j])%mod;
			f[i+1][j+1]=(f[i+1][j+1]+(i+1-2*j)*f[i][j])%mod;
		}
	printf("%d\n",f[n][k]);
	return 0;
}

<article class="span9"> <header class="page-header"> <h1 class="text-right">3401 石頭遊戲 <small>0x30「數學知識」例題</small></h1> </header> <h3>描述</h3>

<div>石頭遊戲在一個 n 行 m 列 (1≤n,m≤8) 的網格上進行，每一個格子對應一種操做序列，操做序列至多有10種，分別用0~9這10個數字指明。</div>

<div>操做序列是一個長度不超過6且循環執行、每秒執行一個字符的字符串。每秒鐘，全部格子同時執行各自操做序列裏的下一個字符。序列中的每一個字符是如下格式之一：</div>

<ul> <li>數字0~9：表示拿0~9個石頭到該格子。</li> <li>NWSE：表示把這個格子內全部的石頭推到相鄰的格子，N表示上方，W表示左方，S表示下方，E表示右方。</li> <li>D：表示拿走這個格子的全部石頭。</li> </ul>

<div>給定每種操做序列對應的字符串，以及網格中每一個格子對應的操做序列，求石頭遊戲進行了 t 秒以後，石頭最多的格子裏有多少個石頭。在遊戲開始時，網格是空的。</div>

<h3>輸入格式</h3>

<p>第一行4個整數n, m, t, act。<br> 接下來n行，每行m個字符，表示每一個格子對應的操做序列。<br> 最後act行，每行一個字符串，表示從0開始的每一個操做序列。</p>

<h3>輸出格式</h3>

<p>一個整數：遊戲進行了t秒以後，全部方格中最多的格子有多少個石頭。</p>

<h3>樣例輸入</h3>

<pre>1 6 10 3 011112 1E E 0</pre>

<h3>樣例輸出</h3>

<pre>3</pre>

<h3>樣例解釋</h3>

<p>這是另外一個相似於傳送帶的結構。左邊的設備0間隔地產生石頭並向東傳送。設備1向右傳送，直到設備2。10秒後，總共產生了5個石頭，2個在傳送帶上，3個在最右邊。</p>

</article>

分析

因爲$\le 6$的正整數的公倍數是60，因此每60秒操做序列必定會循環。那麼考慮矩陣轉移，預處理每秒轉移矩陣和60秒的轉移矩陣乘積，對$\lfloor \frac{t}{60} \rfloor$作60秒的，$t \bmod 60$作單秒的。爲了新增石頭，增長一個節點來提供。

時間複雜度$O(60^3(\log \lfloor \frac{t}{60} \rfloor+t \bmod 60))$

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
	rg T data=0,w=1;
	rg char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-') w=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
		data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
	return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x){
	return x=read<T>();
}
typedef long long ll;

ll f[70],d[70][70],e[70][70][70];
char b[20][20],s[100];
int n,m,t,act,p,a[20][20],c[20][20];
int num(int i,int j){
	return (i-1)*m+j;
}
void mulself(ll a[70][70],ll b[70][70]){
	static ll w[70][70];
	memset(w,0,sizeof w);
	for(int i=1;i<=p;++i)
		for(int k=1;k<=p;++k) if(a[i][k])
			for(int j=1;j<=p;++j)
				w[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
	memcpy(a,w,sizeof w);
}
void mul(ll a[70],ll b[70][70]){
	static ll w[70];
	memset(w,0,sizeof w);
	for(int i=1;i<=p;++i)
		for(int j=1;j<=p;++j)
			w[i]+=a[j]*b[j][i];
	memcpy(a,w,sizeof w);
}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin),freopen(".out","w",stdout);
	read(n),read(m),read(t),read(act);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%s",s+1);
		for(int j=1;j<=m;++j) a[i][j]=s[j]-'0'+1;
	}
	for(int i=1;i<=act;++i) scanf("%s",b[i]);
	p=n*m+1;
	for(int k=1;k<=60;++k){
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=1;j<=m;++j){
				int x=a[i][j],y=c[i][j];
				if(isdigit(b[x][y])){
					e[k][p][num(i,j)]=b[x][y]-'0';
					e[k][num(i,j)][num(i,j)]=1;
				}
				else if(b[x][y]=='N'&&i>1) e[k][num(i,j)][num(i-1,j)]=1;
				else if(b[x][y]=='W'&&j>1) e[k][num(i,j)][num(i,j-1)]=1;
				else if(b[x][y]=='S'&&i<n) e[k][num(i,j)][num(i+1,j)]=1;
				else if(b[x][y]=='E'&&j<m) e[k][num(i,j)][num(i,j+1)]=1;
				c[i][j]=(y+1)%strlen(b[x]);
			}
		e[k][p][p]=1;
	}
	memcpy(d,e[1],sizeof e[1]);
	for(int k=2;k<=60;++k) mulself(d,e[k]);
	f[p]=1;
	for(int w=t/60;w;w>>=1){
		if(w&1) mul(f,d);
		mulself(d,d);
	}
	for(int w=t%60,i=1;i<=w;++i) mul(f,e[i]);
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<p;++i) ans=std::max(ans,f[i]);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}