跟錦數學171217-180630

(171217) (1) 試證: $\dps{\sex{1+\f{1}{n}}^n\nearrow \e\ (n\to\infty),\ \sex{1+\f{1}{n}}^{n+1}\searrow \e\ (n\to\infty)}$; (2) 試證: $\dps{\sex{\f{n+1}{\e}}^n<n!<\e\sex{\f{n+1}{\e}}^{n+1}}$; (3) 試證: $\dps{\vlm{n} \f{\sqrt[n]{n!}}{n}=\f{1}{\e}}$; (4) 試證: $\dps{\vlm{n}\sed{[(n+1)!]^\f{1}{n+1}-(n!)^\f{1}{n}}}$.

 

(171218) [中山大學2018數分]  證實 $\dps{\vsm{n} \f{1}{n^2+1} <\f{1}{2}+\f{\pi}{4}}$.   

 

(171219) [華南理工大學2010數分]  肯定 $\alpha$ 與 $\beta$ 的值使得 $\dps{  \lim_{n\to\infty}\sex{\sqrt{3n^2+4n-2}-\alpha n-\beta}=0  }$.   

 

(171220) [華南理工大學2010數分]  討論函數 $f(x)$, $g(x)$ 在 $x=0$ 處的可導性, 其中 $$\bex  f(x)=\left\{\ba{ll}  -x,&x\mbox{ 爲無理數},\\  x,&x\mbox{ 爲有理數};  \ea\right.   g(x)=\left\{\ba{ll}  -x^2,&x\mbox{ 爲無理數},\\  x^2,&x\mbox{ 爲有理數}.  \ea\right.\eex$$    

 

(171221) [華南理工大學2010數分]  已知 $f(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上連續, 且知足 $0\leq f(x)\leq x,\ x\in [0,\infty)$. 設  $$\bex  a_1\geq 0,\ a_{n+1}=f(a_n),\ n=1,2,3,\cdots.\eex$$  證實:  (1) $\dps{\sed{a_n}}$ 收斂.  (2) 若 $\dps{\lim_{n\to\infty}a_n=l}$, 則 $f(l)=l$.

 

(171222) [華南理工大學2010數分]  判斷下面級數的斂散性:  $\dps{  \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^n)},\ x\geq 0.  }$    

 

(171223) [華南理工大學2010數分]  討論函數 $f(x,y)=(1+\e^y)\cos y-y\e^y$ 的極大值與極小值.    

 

(171224) [華南理工大學2010數分]  計算 $\dps{\iint\limits_S  x^3\rd y\rd z+2y^3\rd z\rd x+3z^3\rd x\rd y}$, 其中 $S$ 爲球面 $\dps{x^2+y^2+z^2=a^2}$ 的外側.     

 

(171225) [中山大學2018數分]  討論級數 $\dps{\sum_{n=2}^\infty \f{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}}$ 的斂散性.   

 

(171226) [中山大學2018數分]  設函數 $f(x)$ 在 $(x_0-1,x_0+1)$ 連續, 在 $(x_0-1,x_0)\cup (x_0,x_0+1)$ 上可導. 又設 $\dps{\lim_{x\to x_0}f'(x)=a}$. 證實: $f'(x_0)$ 存在, 且 $f'(x_0)=a$.   

 

(171227) [中山大學2018數分]  求冪級數 $\dps{\vsm{n}\sex{1+\f{1}{2}+\cdots+\f{1}{n}}x^n}$ 的收斂域.   

 

(171228) [中山大學2018數分]  函數 $\dps{f(x)=x\sin x^\f{1}{4}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上是否一致連續? 試說明理由.   

 

(171229) [中山大學2018數分]  討論函數項級數 $\dps{\sum_{n=2}^\infty\f{x^n}{n\ln n}}$ 在 $[0,1)$ 上的一致收斂性.   

 

(171230) [中山大學2018數分]  設 $f: \bbR\to\bbR$ 連續, $\dps{f_n(x)=\f{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\sex{x+\f{k}{n}}}$, 證實 $f_n(x)$ 在任意區間 $(a,b)$ 上一致收斂. 又問, $f_n(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上也必定一致收斂嗎? 若否, 舉出反例. 

 

(171231) [中山大學2018高代]  設 $A,B$ 爲 $n$ 階方陣, 知足條件 $AB-BA=A$, 判斷 $A$ 是否可逆, 並說明你的理由. 

 

(180101) (1) 設 $n$ 階實對稱矩陣 $A=(a_{ij})$ 正定, 證實 $\det A\leq a_{11}\cdots a_{nn}$; (2) 設 $B,D$ 分別爲 $n$ 階, $m$ 階實方陣, 且實矩陣 $\dps{H=\sexm{ B&C\\ C^T&D}}$ 正定, 證實: $\det H\leq \det B\cdot \det D$.   

 

(180102) [華南理工大學2010數分]  設 $p$ 爲正常數, 函數 $f(x)=\cos\sex{x^p}$. 證實: 當 $0<p\leq1$ 時, $f(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上一致連續.    

 

(180103) [華南理工大學2010數分]  證實 $\dps{\int_a^b \e^{-xy}\rd y=\frac{\e^{-ax}-\e^{-bx}}{x}}$, 並計算積分 $\dps{\int_0^\infty \frac{\e^{-ax}-\e^{-bx}}{x}\rd x\ \sex{b>a>0}}$.   

 

(180104) [華南理工大學2010數分]  令 $\dps{f(x,y)=\left\{\ba{cc}  \frac{\ln(1+xy)}{x},&x\neq 0,\\  y,&x=0.  \ea\right.}$ 證實 $f(x,y)$ 在其定義域內是連續的.    

 

(180105) [華南理工大學2010數分]  求積分 $$\bex I=\iint_D\sex{\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}}\rd x\rd y,\eex$$ 其中 $D$ 由曲線 $\dps{\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}=1}$ 和 $x=c$, $y=c$ 所圍成.   

 

(180106) [華南理工大學2010數分]  設 $f$ 爲定義在 $(a,\infty)$ 上的函數, 在每一有限區間 $(a,b)$ 上有界, 且 $$\bex  \lim_{x\to\infty}\sez{f(x+1)-f(x)}=A.\eex$$  證實: $\dps{\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=A}$.    

 

(180107) [華南理工大學2010數分]  設 $f(x)$, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續. 證實:  $$\bex  \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}  \sum_{i=1}^nf(\xi_i)g(\theta_i)\lap x_i  =\int_a^bf(x)g(x)\rd x,\eex$$  其中  $\lap:\ a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ 爲 $[a,b]$ 的任一分割;  $\xi_i,\theta_i\in [x_i,x_{i+1}]$, $\lap x_i=x_i-x_{i-1}$ $(i=1,2,\cdots, n)$;  $\dps{\lambda\sex{\lap}=\max_{1\leq i\leq n}\sev{\lap x_i}}$.   

 

(180108) [華南理工大學2010高代]  設 $m,n\in \bbN$. 證實: $\dps{\sex{x^m-1,x^n-1}=x^{(m,n)}-1}$.    

 

(180109) [華南理工大學2010高代]  當 $a,b$ 爲什麼值時, 下列線性方程組無解,有惟一解, 有無窮多解? 當方程組有解時, 寫出其所有解.  $$\bex  \left\{\ba{lll}  x+y-z=0,\\  2x+(a+3)y-3z=3,\\  -2x+(a-1)y+bz=-1.  \ea\right.\eex$$   

 

(180110) [華南理工大學2010高代]  設 $V$ 是 $n$ 維線性空間 $(n\geq 3)$, 又設 $X$ 和 $Y$ 是 $V$ 的兩個子空間, 而且 $\dim(X)=n-1$, $\dim(Y)=n-2$.  (1) 證實: $\dim\sex{X\cap Y}=n-2\mbox{ or }n-3$.  (2) 證實: $\dim\sex{X\cap Y}=n-2\lra Y\subset X$.  (3) 舉例說明: 存在知足假設條件的線性空間 $V$ 及其子空間 $X$ 和 $Y$ 使得 $\dim\sex{X\cap Y}=n-2\mbox{ or }n-3$.

 

(180111) [華南理工大學2010高代]  設 $A$ 是 $n$ 階實對稱矩陣, 若 $A$ 的前 $n-1$ 個順序主子式均大於零, 而 $\det(A)=0$. 證實: $n$ 元二次型  $\dps{  f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx  }$  是半正定的, 其中 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$.    

 

(180112) [華南理工大學2010高代]  設 $\scrA $ 是實數域 $\bbR$ 的線性空間 $V$ 的線性變換, $\scrA ^2=\scrE$ (恆等變換). 令  $$\bex  V^+=\sed{x\in V;\ \scrA x=x},\ \ \  V^-=\sed{x\in V;\ \scrA x=-x}.\eex$$  證實: $V=V^+\oplus V^-$.    

 

(180113) [華南理工大學2010高代]  設 $A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 爲非零實 $1\times n$ 矩陣. 求 (1) $\rank(A^TA)$; (2) $A^TA$ 的特徵值與特徵向量.    

 

(180114) [華南理工大學2010高代]  設 $\alpha$ 爲 $n$ 維歐氏空間 $V$ 的非零向量, 對 $\xi\in V$, 定義  $\dps{  \scrA\xi=\xi-\frac{2(\xi,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha, \xi\in V.  }$  (1) 證實: $\scrA$ 是 $V$ 的正交變換.  (2)  記 $W=\span\sed{\alpha}^\perp$, 則 $W$ 是 $(n-1)$ 維子空間, 而且  $\dps{  \scrA\xi=\left\{\ba{ll}  \xi,&\xi\in W,\\  -\xi,&\xi=\alpha.  \ea\right.  }$  (3)  設 $\dim(V)=4$. 令 $\ve_1,\ve_2,\ve_3,\ve_4$ 爲 $V$ 的標準正交基, 並設  $\dps{  \alpha=-\frac{1}{2}\ve_1-\frac{1}{2}\ve_2  -\frac{1}{2}\ve_3+\frac{1}{2}\ve_4.  }$  求 $\scrA$ 在 $\ve_1,\ve_2,\ve_3,\ve_4$ 下的矩陣.    

 

(180115) [華南理工大學2010高代]  在歐氏空間中有兩組向量  $\dps{  \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s;  \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s.  }$  若是  (1) $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 和 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 都是兩兩正交的單位向量;  (2) $\span\sed{\alpha_1,\cdots,\alpha_i}  =\span\sed{\beta_1,\cdots,\beta_i}$,  $\forall\ 1\leq i\leq s$.  證實: $\alpha_i=\pm \beta_i$,  \ $\forall\ 1\leq i\leq n$.    

 

(180116) [華南理工大學2010高代]  設 $A,B$ 都是實對稱矩陣. 證實:  $$\bex  AB=BA\lra  \exists\mbox{ 正交陣 }  Q, \st  Q^{-1}AQ,\ Q^{-1}BQ  \mbox{ 同時爲對角陣}.\eex$$    

 

(180117) [華南理工大學2009數分]  設函數 $f(x)=\varphi(a+bx)-\varphi(a-bx)$, 其中 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某個小鄰域有定義且在該點處可導. 求 $f'(0)$.    

 

(180118) [華南理工大學2009數分]  設 $0<x<y<\pi$. 證實:  $\dps{  x\sin x+2\cos x+\pi x  <y\sin y+2\cos y+\pi y.  }$    

 

(180119) [華南理工大學2009數分]  設 $x>0,\ y>0$. 求 $f(x,y)=x^2y\sex{4-x-y}$ 的極值.    

 

(180120) [華南理工大學2009數分]  設 $\dps{f(x)=\frac{  \int_0^x du\int_0^{u^2}\arctan(1+t)\rd t  }{x(1-\cos x)}}$. 求 $\dps{\lim_{x\to 0}f(x)}$.

 

(180121) [華南理工大學2009數分]  計算 $\dps{\oint_Cx\rd y-y\rd x}$, 其中 $C$ 爲橢圓 $(x+2y)^2+(3x+2y)^2=1$, 方向爲逆時針方向.    

 

(180122) [華南理工大學2009數分]  計算 $\dps{\iint_S (x-y)\rd x\rd y+x(y-z)\rd y\rd z}$, 其中 $S$ 爲柱面 $x^2+y^2=1$ 及平面 $z=0$, $z=3$ 所圍成的空間區域 $\Om$ 的整個邊界, 取外側.    

 

(180123) [華南理工大學2009數分]  設 $f(x)=\sin \sqrt{x}$. 判斷 $f(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上是否一致連續, 並給出證實.    

 

(180124) [華南理工大學2009數分]  計算積分 $\dps{\iint_D\min\sed{x^2y,2}\rd x\rd y}$, 其中  $\dps{  D=\sed{(x,y);\ 0\leq x\leq 4,\ 0\leq y\leq 3}.  }$    

 

(180125) [華南理工大學2009數分]  計算積分 $\dps{I(y)  =\int_0^\infty \e^{-x^2}\sin 2xy\rd x}$.    

 

(180126) [華南理工大學2009數分]  設 $\dps{f(x,y)=\left\{\ba{ll}  \frac{xy^2}{x^2+y^2},&\mbox{當 }x^2+y^2\neq0,\\  0,&\mbox{當 }x^2+y^2=0.  \ea\right.}$ 討論如下性質:   (1) $f$ 的連續性;  (2) $f_x$, $f_y$ 的存在性及連續性;  (3) $f$ 的可微性.    

 

(180127) [華南理工大學2009數分]  設 $x_0=\sqrt{6}$, $\dps{x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}}$, $n\in \bbN$. 判斷級數 $\dps{\sum_{n=0}^\infty \sqrt{3-x_n}}$ 的斂散性.    

 

(180128) [華南理工大學2009數分]  設 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 內有連續的一階導數. 證實: (1) 若 $\dps{\lim_{\sev{x}\to+\infty}f'(x)=\alpha>0}$, 則方程 $f(x)=0$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 內至少有一個實根; (2) 若 $\dps{\lim_{\sev{x}\to+\infty}f(x)=0}$, 則方程 $f'(x)=0$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 內至少有一個實根.    

 

(180129) [華南理工大學2009高代]  設 $f(x)$, $g(x)$ 是 $\bbP[x]$ 中的多項式, 且  $$\bex  g(x)=s^m(x)g_1(x)(m\geq 1),\ \ \  (s(x),g_1(x))=1,\ \ \  s(x)|f(x).\eex$$  證實: 不存在 $f_1(x),r(x)\in \bbP[x]$, 且 $r(x)\neq 0$, $\p \sex{r(x)}<\p \sex{s(x)}$, 使得  $$\bee\label{hnlg09_gd_1:eq}  \frac{f(x)}{g(x)}  =\frac{r(x)}{s^m(x)}  +\frac{f_1(x)}{s^{m-1}(x)g_1(x)}.  \eee$$

 

(180130) [華南理工大學2009高代]  設 $\bbP[x]_n$ 表示數域 $\bbP$ 上全部次數 $<n$ 的多項式及零多項式構成的線性空間. 令多項式  $$\bee\label{hnlg09_gd_2:a}  f_i(x)=(x-a_1)\cdot \cdots \cdot  (x-a_{i-1})  (x-a_{i+1})\cdot \cdots \cdot  (x-a_n),\quad i=1,2,\cdots,n,  \eee$$  其中 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是數域 $\bbP$ 中 $n$ 個互不相同的數.  證實: $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$ 是 $\bbP[x]_n$ 的一組基.  在 \eqref{hnlg09_gd_2:a} 中, 取 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 爲全體 $n$ 次單位根. 求由基 $1,x,\cdots,x^{n-1}$ 到基 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$ 的過渡矩陣.    

 

(180131) [華南理工大學2009高代]  設 $n$ 階方陣 $A$ 知足 $A^2=A$, 且 $\rank(A)=r$. (1) 證實: $\tr(A)=r$. (2) 求 $\det\sex{A+E}$ 的值.

 

(180201) [華南理工大學2009高代]  設 $\ve_1,\ve_2,\ve_3$ 是歐氏空間 $V$ 的一組標準正交基, 設  $$\bex  \alpha_1=\ve_1+\ve_2-\ve_3,\  \alpha_2=\ve_1-\ve_2-\ve_3,\  W=\span\sed{\alpha_1,\alpha_2}.\eex$$  (1) 求 $W$ 的一組標準正交基.  (2) 求 $W^\perp$ 的一組標準正交基.  (3) 求 $\alpha=\ve_2+2\ve_3$ 在 $W$ 中的內射影 (即求 $\beta\in W,\st \alpha=\beta+\gamma,\ \gamma\in W^\perp$), 並求 $\alpha$ 到 $W$ 的距離.    

 

(180202) [華南理工大學2009高代]  設 $\scrA$ 是數域 $P$ 上的 $n$ 維線性空間 $V$ 的線性變換, $f(x),g(x)\in P[x]$. 證實: (1) $f(\scrA)^{-1}(0)  +g(\scrA)^{-1}(0)  \subset \sex{f(\scrA)g(\scrA)}^{-1}(0)$. (2) 當 $\sex{f(x),g(x)}=1$ 時, 有  $\dps{  f(\scrA)^{-1}(0)\oplus g(\scrA)^{-1}(0)  =\sex{f(\scrA)g(\scrA)}^{-1}(0).  }$    

 

(180203) [華南理工大學2009高代]  設 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx$ 爲 $n$ 元二次型. 若矩陣 $A$ 的順序主子式 $\lap_k (k=1,2,\cdots,n)$ 都不爲零. 證實: $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 可通過非退化的線性變換化爲下述標準型  $$\bex  \lambda_1y_1^2  +\lambda_2y_2^2  +\cdots  +\lambda_ny_n^2,\eex$$  這裏 $\dps{\lambda_i=\frac{\lap_i}{\lap_{i-1}},\ i=1,2,\cdots,n}$, 而且 $\lap_0=1$.    

 

(180204) [華南理工大學2009高代]  設 $A,B$ 分別爲數域 $\bbP$ 上的 $m\times n$ 與 $n\times s$ 矩陣, 又設  $$\bex  W=\sed{B\alpha;\ AB\alpha=0,  \ \alpha\in \bbP^{s\times 1}}\subset \bbP^{n\times 1}.\eex$$  證實:  $\dps{  \dim(W)=\rank(B)-\rank(AB).  }$    

 

(180205) [華南理工大學2009高代]  設 $f(x,y)$ 爲定義在數域 $P$ 上的 $n$ 維線性空間 $V$ 上的一個雙線性函數. 證實:  $$\bex  \dps{f(x,y)=x^TAy=\sum_{i,j=1}^na_{ij}x_iy_j}\eex$$  能夠表示成兩個線性函數  $\dps{  f_1(x)=\sum_{i=1}^n b_i x_i,  f_2(y)=\sum_{i=1}^n c_i y_i,  }$  之積的充分必要條件是 $f(X,Y)$ 的度量矩陣 $A$ 的秩 $\leq 1$.    

 

(180206) [浙江大學2010數分]  求極限 $\dps{\lim_{n\to\infty} \sum_{k=n^2}^{(n+1)^2}\frac{1}{\sqrt{k}}}$.    

 

(180207) [浙江大學2010數分]  求積分 $\dps{\iint_{[0,\pi]\times [0,1]}y\sin(xy)\rd x\rd y}$.    

 

(180208) [浙江大學2010數分]  求極限 $\dps{\lim_{x\to 0} \frac{\e^x\sin x -x(1+x)} {\sin^3 x}}$.    

 

(180209) [浙江大學2010數分]  計算 $\dps{ \iint_\Sigma z\rd x\rd y }$ 其中 $\Sigma$ 是三角形 $\dps{\sed{(x,y,z);\ x,y,z\geq 0, \ x+y+z=1}}$, 其法方向與 $(1,1,1)$ 相同.    

 

(180210) [浙江大學2010數分]  求積分 $\dps{\int_0^{2\pi}\sqrt{1+\sin x}\rd x}$.

 

(180211) [浙江大學2010數分] $\dps{\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\rd x}$

 

(180212) [浙江大學2010數分] 設 $a_n=\sin a_{n-1}$, $n\geq 2$, 且 $a_1>0$. 計算 $\dps{ \lim_{n\to \infty}\sqrt{\frac{n}{3}}a_n. }$

 

(180213) [浙江大學2010數分] 設函數 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上連續, $n$爲 奇數. 證: 若 $\dps{ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x^n} =\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x^n} =1. }$ 則方程 $f(x)+x^n=0$ 有實根.

 

(180214) [浙江大學2010數分] 證實 $\dps{ \int_0^\infty \frac{\sin xy}{y}\rd y }$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上一致連續 (其中 $\delta>0$).

 

(180215) [浙江大學2010數分] 設 $f(x)$ 連續. 證實 Possion 公式: $$\hj{ \int_{x^2+y^2+z^2=1} f(ax+by+cz)\rd S=2\pi \int_{-1}^1 f\sex{\sqrt{a^2+b^2+c^2}t}\rd t. }$$

 

(180216) [浙江大學2010數分] 設 $\sed{a_n}_{n\geq 1},\sed{b_n}_{n\geq 1}$ 爲 實數序列, 知足 (1) $\dps{\lim_{n\to+\infty} \sev{b_n}=\infty}$; (2) $\dps{\sed{\frac{1}{\sev{b_n}} \sum_{i=1}^{n-1} \sev{b_{i+1}-b_i}}_{n\geq 1}}$ 有界. 證實: 若 $\dps{ \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-a_n} {b_{n+1}-b_n} }$ 存在, 則 $\dps{ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} }$ 也存在.

 

(180217) [浙江大學2010高代] 設多項式 $\sex{f_1(x),\cdots,f_k(x)}=1$, $A\in \bbP^{n\times n}$, $X\in \bbP^{n\times 1}$. 求證: $$\bex f_i(A)X=0,\ \forall\ 1\leq i\leq k \ra X=0.\eex$$

 

(180218) [浙江大學2010高代] 設 $\dps{ \beta_1=\sex{\ba{cccc} 2\\ 3\\ 3\\ -1 \ea}, \beta_2=\sex{\ba{cccc} 1\\ 1\\ 2\\ 0 \ea}, \beta_3=\sex{\ba{cccc} 0\\ 2\\ -1\\ -1 \ea}, \beta_4=\sex{\ba{cccc} 0\\ -1\\ 2\\ 2 \ea}. }$ 又設 $$\bex \alpha_1=\sex{\ba{cccc} 3\\ 8\\ 3\\ -3 \ea},\quad \alpha_2=\sex{\ba{cccc} 2\\ 5\\ 2\\ -2 \ea},\quad \sex{\ba{cccc} -1\\ 4\\ -4\\ -2 \ea}\eex$$ 爲 $V=\span\sed{\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4}$ 的一組基 $(I)$. (1) 求線性空間 $V$ 的由 $\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4$ 中的一部分向量組成的一組基 $(II)$. (2) 求出由基 $(I)$ 到 基 $(II)$ 的過渡矩陣. (3) 求出 $\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4$ 中除掉基 $(II)$ 的向量外, 剩餘向量 $\beta_i$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 下的座標.

 

(180219) [浙江大學2010高代] 考慮線性方程組 $\dps{ \left\{\ba{rcl} x_1-x_2-x_3+x_4&=&1,\\ x_1+x_2-3x_3+x_4&=&1. \ea\right. }$ (1) 求該方程的解. (2) 求全體解集合向量組的極大無關組.

 

(180220) [浙江大學2010高代] 設 $\scrA$, $\scrB$ 是某數域上的 $n$ 維線性空間上的兩個線性變換, 知足 $ \scrA \scrB =\scrB \scrA$, $ \exists\ N\in \bbZ_+,\st \scrA^N=0. $ 證實: $\dps{\scrA+\scrB \mbox{ 是可逆線性變換} \lra \scrB \mbox{ 是可逆線性變換}. }$

 

(180221) [浙江大學2010高代] 設 $A$ 是 $n$ 階實對稱矩陣. 證實: 存在冪等矩陣 $B_i,\ 1\leq i\leq s$, 使得 $\dps{ A=\sum_{i=1}^s\lambda_iB_i,\ \lambda_i\in \bbR. }$.

 

(180222) [浙江大學2010高代] 用正交變換將矩陣 $\dps{ A=\sex{\ba{ccc} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \ea}}$ 化成對角陣, 並求 $A^3+3A^2+4A+6E$.

 

(180223) [浙江大學2010高代] 設 $f(x)$ 是復係數一元多項式, 且知足 $$\bee\label{zd10_gd_7:eq} n\in \bbZ\ra f(n)\in \bbZ. \eee$$ 證實: $f(x)$ 的係數都是有理數. 舉例說明存在不是整係數的多項式知足 \eqref{zd10_gd_7:eq}.

 

(180224) [浙江大學2010高代] 設 $a,b\in \bbC$, 根據不一樣的 $a,b$, 求 $n$ 階上三角陣 $\dps{ A=\sex{\ba{ccccc} a&b&\cdots&b&b\\ &a&\cdots&b&b\\ &&\ddots&\vdots&\vdots\\ &&&a&b\\ &&&&a \ea} }$ 的最小多項式和 Jordan 標準型.

 

(180225) [浙江大學2010高代] 設 $\alpha_1,\cdots,\alpha_k$ 是歐氏空間中一組兩兩正交的單位向量, 又設 $\alpha\in V$. (1) 證實: Bessel 不等式 $\dps{ \sum_{i=1}^k(\alpha,\alpha_i)^2\leq \sev{\alpha}^2. }$ (2) 證實: 向量 $\dps{\beta =\alpha-\sum_{i=1}^k (\alpha,\alpha_i)\alpha_i}$ 與每一個 $\alpha_i$ 都正交.

 

(180226) [浙江大學2010高代] 設複線性空間 $V$ 有一線性變換 $\scrA$, 且 $\scrA$ 的特徵多項式爲 $\dps{ f(\lambda)=\sex{\lambda-\lambda_1}^{r_1} \sex{\lambda-\lambda_2}^{r_2}. }$ 證實: 根子空間 $V_{\lambda_i}=\Ker\sex{\scrA-\lambda_i \scrE}^{r_i}\ (i=1,2)$ 均爲 $\scrA-$不變子空間.

 

(180227) [浙江大學2009數分] 求 $\dps{\int \frac{1}{a^2\cos^2x+b^2\sin^2x}\rd x\ (ab\neq 0)}$.

 

(180228) [浙江大學2009數分] 求 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x \e^\frac{t^2}{2}\cos t\rd t-x}{(\e^x-1)^2(1-\cos^2x)\arctan x}}$.

 

(180301) [浙江大學2009數分] 求 $\dps{\int_0^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^2}\rd x}$.

 

(180302) [浙江大學2009數分] 求 $\dps{\iint_D (x+y)\sgn(x-y)\rd x\rd y}$, 其中 $\dps{D=[0,1]\times[0,1]}$.

 

(180303) [浙江大學2009數分] 若是 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某領域內可導, 且 $\dps{\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}=\frac{1}{2}}$. 證實 $f(x)$ 在點 $x_0$ 處取極小值.

 

(180304) [浙江大學2009數分] 設 $f(x,y,z)$ 表示從原點到橢球面 $\dps{\varSigma:\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\ (a>0,b>0,c>0)}$ 上點 $p(x,y,z)$ 處的切平面的距離. 求第一型曲面積分 $\dps{\iint_\varSigma\frac{\rd S}{f(x,y,z)}}$.

 

(180305) [浙江大學2009數分] 設 $f(x)$ 在 $\dps{[a,b]}$ 上連續,且 $\dps{\min_{x\in[a,b]}f(x)=1}$. 證實: $\dps{ \lim_{n\to\infty} \sed{ \int_a^b\frac{\rd x}{\sez{f(x)}^n} } ^\frac{1}{n}=1 }$.

 

(180306) [浙江大學2009數分] 設對任意 $a>0$, $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上黎曼可積,且 $\dps{\lim_{x\to\infty} f(x)=C}$. 證實: \[ \lim_{t\to 0^+}t\int_0^{+\infty}\e^{-tx}f(x)\rd x=C. \]

 

(180307) [浙江大學2009數分] 證實 $\dps{f(x)=\frac{\sev{\sin x}}{x}}$ 在 $(0,1)$ 與 $(-1,0)$ 上均一致連續, 但在 $\dps{(-1,0)\cup (0,1)}$ 上不一致連續.

 

(180308) [浙江大學2009數分] 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$上 可導, 導函數 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上單調降低, 且 $f'(b)>0$. 證實: $$\hj{ \sev{\int_a^b\cos f(x)\rd x}\leq \frac{2}{f'(b)}. }$$

 

(180309) [浙江大學2009高代] 設 $\bbP$ 是數域, 在 $n$ 個變元的多項式環 $\bbP[x_1,\cdots,x_n]$ 中引入對第 $k$ 個變元的偏導子, 由下列式子定義: $\dps{ \frac{\p}{\p x^k} \sex{\sum_{i_1\cdots i_n}a_{i_1\cdots i_n} x_1^{i_1}\cdots x_k^{i_k}\cdots x_n^{i_n}} =\sum_{i_1\cdots i_n} i_k a_{i_1\cdots i_n} x_1^{i_1}\cdots x_k^{i_k-1}\cdots x_n^{i_n}, }$ 其中 $a_{i_1\cdots i_n}\in \bbP$. (1) 證實: 在 $\dps{\frac{\p}{\p x^k}}$ 下取零值的多項式集合是 $(n-1)$ 個變元的多項式環 $\bbP[x_1,\cdots,x_{k-1},x_{k+1},\cdots,x_n]$. (2) 設 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 是一個 $m$ 次齊次多項式. 證實: $$\bex \sum_{k=1}^n x_k \frac{\p f}{\p x^k}(x_1,\cdots,x_n) =mf(x_1,\cdots,x_n).\eex$$ 該式稱爲 Euler 恆等式. 反之, 證實: 對任意正整數 $m$, 知足 Euler 恆等式的多項式必爲 $m$ 次齊次多項式.

 

(180310) [浙江大學2009高代] 設 $\dps{A=\sex{\ba{cccc} 2a_1b_1&a_1b_2+a_2b_1&\cdots&a_1b_n+a_nb_1\\ a_2b_1+a_1b_2&2a_2b_2&\cdots&a_2b_n+a_nb_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_nb_1+a_1b_n&a_nb_2+a_2b_n&\cdots&2a_nb_n \ea}}$. 計算 $\det(A)$.

 

(180311) [浙江大學2009高代] 設 $\dps{A=\sex{\ba{ccccc} 1&-1&0&-1&-2\\ -1&2&1&3&6\\ 0&1&1&2&4\\ 0&-1&-1&1&2 \ea}}$. 記 $\bbR^{5\times 2}$ 爲實數域 $\bbR$ 上全部 $5\times 2$ 階矩陣組成的線性空間. 再設 $\dps{ W=\sed{B\in \bbR^{5\times 2};\ AB=0}. }$ 證實: $W$ 是 $\bbR^{5\times 2}$ 的子空間, 並求出它在 $\bbR$ 上的維數.

 

(180312) [浙江大學2009高代] 設 $\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta$ 是實數. 給出一個次數不超過 $2$ 的實係數多項式 $f(x)$ 使得知足 $$\bee\label{zd09_gd_4:eq} f(-1)=\alpha,\ f(1)=\beta,\ f(3)=\gamma,\ f(0)=\delta \eee$$ 的充要條件.

 

(180313) [浙江大學2009高代] 設 $x,y\in \bbR\bs\sed{0}$, $\scrA,\scrB$ 是實數域上某個 $n$ 維線性空間上的兩個線性變換, 知足 $\scrA \scrB=x\ \scrA+y\ \scrB$. 證實: $\scrA \scrB=\scrB \scrA$.

 

(180314) [浙江大學2009高代] 設 $A$ 是一個 $n$ 階實對稱矩陣. 證實: 存在某個充分大的實數 $\alpha$, 使得 $\bbR^n$ 關於運算 $$\bex \sex{\alpha,\beta}=\alpha^T(A+\alpha E)\beta,\ \alpha\in \bbR^n,\ \beta\in \bbR^n\eex$$ 構成一個歐氏空間.

 

(180315) [浙江大學2009高代] 設 $A$ 是 $n$ 階複方陣, 零是 $A$ 的 $k$ 重特徵值. 證實: $\rank(A^k)=n-k$.

 

(180316) [浙江大學2009高代] 用正交變換將矩陣 $\dps{ A=\sex{\ba{ccc} -1&3&-3\\ 3&-1&-3\\ -3&-3&5 \ea}}$ 化成對角陣, 並求 $A^3+3A^2+4A+6E$.

 

(180317) [浙江大學2009高代] 對 $n$ 維歐氏空間 $V$ 上的線性變換 $\scrA$, 若存在固定的單位向量 $\eta\in V$, 使對 $\alpha\in V$, 有 $$\bex \scrA(\alpha)=\alpha-2(\alpha,\eta)\eta,\eex$$ 則稱 $\scrA$ 是 $V$ 上的鏡面反射, $\scrA$ 在標準正交基下的矩陣稱爲鏡面反射矩陣. 證實: $n$ 階實方陣 $A$ 是鏡面反射矩陣當且僅當存在單位向量 $\omega\in \bbR^n$, 使得 $A=E-2\omega \omega^T$.

 

(180318) 設 $A$ 是 $n$ 階複方陣. (1) 證實: $A$ 的最小多項式等於 $A$ 的特徵矩陣 $\lambda E-A$ 的最高次不變因子. (2) 求 $\dps{A=\sex{\ba{ccc} -1&-2&6\\ -1&0&3\\ -1&-1&4 \ea}}$ 的最小多項式.

 

(180319) [南京師範大學2004實變函數複試試題] 設 $E=[0,1]$, $F$ 是 Cantor 集, $\dps{ f(x)=\seddm{ \e^x,&x\in [0,1/2)\bs F\\ \cos \pi x,&x\in [1/2,1]\bs F\\ \e^{x^2},&x\in F } }$, 試求 $\dps{\int_E f(x)\rd x}$.

 

(180320) [南京師範大學2004實變函數複試試題] 求極限 $\dps{\vlm{n}\int_{[0,1]} \f{nx}{1+n^2x^2}\e^{\sin x}\rd x}$.

 

(180321) [南京師範大學2004實變函數複試試題] 設 $A$ 是無限集, $B$ 爲至多可數集, 則 $A\cup B$ 與 $A$ 對等.

 

(180322) [南京師範大學2004實變函數複試試題] 試證: (1) $A$ 爲任意集, 則 $$\bex m^*A=\inf\sed{mG;\ A\subset G,\ G\mbox{ 爲開集}};\eex$$ (2) $A$ 爲任意集, 則存在可測集 $B$, 使得 $B\supset A$, 且 $m^*A=mB$.

 

(180323) [南京師範大學2004實變函數複試試題] 設 $E$ 可測, $f$ 在 $E$ 上有定義, 且知足: $\forall\ \ve>0$, 存在 $E$ 的可測子集 $E_\ve$, 使得 $f$ 在 $E_\ve$ 上可測, 且 $m(E\bs E_\ve)<\ve$, 則 $f$ 在 $E$ 上可測.

 

(180324) [南京師範大學2004實變函數複試試題] 設 $\sed{f_n}$ 爲可測集 $E$ 上的可測函數列, 且 $\dps{\vsm{n}\int_E|f_n(x)|\rd x<\infty}$, 試證: (1) $\dps{\vlm{n}f_n(x)=0,\ae}$ 於 $E$; (2) $\dps{\vsm{n}f_n(x)}$ 爲 $E$ 上的可測函數, 且 $\dps{\int_E \vsm{n}f_n(x)\rd x =\vsm{n}\int_E f_n(x)\rd x}$.

 

(180325) [南京師範大學2016實變函數複試試題] (1). 敘述可測集 $E\subset \bbR^n$ 上可測函數的定義, 並討論函數 $f(x)$ 與 $|f(x)|$ 可測性之間的關係. (2). 證實 $\bbR^n$ 中的任意開集必可表成可數個閉集之並.

 

(180326) [南京師範大學2016實變函數複試試題] 證實對任意 $p>0$, $\dps{\vlm{n}\int_0^\infty \f{\ln^p(x+n)}{n}\e^{-x}\cos x\rd x=0}$.

 

(180327) [南京師範大學2016實變函數複試試題] 設在 $E$ 上 $f_n\ra f$, 則存在子列 $\sed{f_{n_k}}$ 在 $E$ 上 $\ae$ 收斂於 $f$.

 

(180328) [南京師範大學2016實變函數複試試題] 設 $f(x)$ 是 $E$ 上的函數, 對任意 $\del>0$, 存在閉子集 $E_\del\subset E$, 使得 $f(x)$ 在 $E_\del$ 上連續, 且 $m(E\bs E_\del)<\del$. 證實: $f$ 是 $E$ 上 $\ae$ 有限的可測函數.

 

(180329) [南京師範大學2016實變函數複試試題] 設 $f_n(x)$ 爲可測集 $E$ 上 $\ae$ 有限的可測函數列 ($mE>0$), 而 $f_n(x)$ 在 $E$ 上 $\ae$ 收斂, 證實存在常數 $C$ 及正測度集 $E_0\subset E$ 使得在 $E_0$ 上, 對任意 $n$, 有 $|f_n(x)|\leq C$.

 

(180330) [南京師範大學2016實變函數複試試題] 設 $mE<+\infty$, $f_n(x),f(x)$ 在 $E$ 上均 $\cal$ 可積, 則 $\dps{ \vlm{n}\int_E |f_n(x)-f(x)|\rd x=0 }$ 當且僅當 (1). $f_n\ra f$; (2). 對任給 $\ve>0$, 存在 $\del>0$, 使對一切 $A\subset E$, $mA<\del$, 有 $\dps{\int_A|f_n(x)|\rd x<\ve}$.

 

(180331) [南京師範大學2016常微分方程複試試題] 設函數 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上連續且有界, 證實: 方程 $\dps{\f{\rd y}{\rd x}+y=f(x)}$ 的全部解均在 $[0,+\infty)$ 上有界. 

 

 

(180401) [南京師範大學2016常微分方程複試試題] 證實: 對任意的 $x_0$ 及知足條件 $0<y_0<1$ 的 $y_0$, 方程 $$\bex \f{\rd y}{\rd x} =\f{y(y-1)}{1+x^2+y^2}\eex$$ 的知足條件 $y(x_0)=y_0$ 的解 $y=y(x)$ 的存在區間是 $(-\infty,+\infty)$.

 

(180402) [南京師範大學2016常微分方程複試試題] 在方程 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 中, $p(x)$ 和 $q(x)$ 在區間 $I$ 上連續且 $p(x)\neq 0$. $\varphi(x)$ 和 $\phi(x)$ 是它的兩個解, $W(x)$ 是它們的 Wronsky 行列式. (1). 試敘述 Liouville 公式; (2). 若 $\varphi(x)$ 和 $\phi(x)$ 線性無關, 證實: $W(x)$ 是區間 $I$ 上的嚴格單調函數.

 

(180403) [南京師範大學2016常微分方程複試試題] (1). 設初值問題 $\dps{ \seddm{ \f{\rd X}{\rd t}=f(t,X)\\ X(t_0)=X_0 } }$ (其中 $X_0\in\bbR^n, f(t,0)\equiv 0$) 的解爲 $X=\varphi(t,t_0,X_0)$, 敘述此問題零解穩定和漸近穩定的概念. (2). 給定方程 $\dps{\f{\rd^2x}{\rd t^2} +f(x)=0}$, 其中 $f(x)$ 是連續函數且知足 $f(0)=0$, 當 $x\neq 0$ 時, $xf(x)>0,\ (-k<x<k)$. 試將其化爲一階微分方程組, 並用形如 $\dps{V(x,y)=\f{1}{2}y^2+\int_0^x f(s)\rd s}$ 的 Lyapunov 函數討論方程組零解的穩定性.

 

(180404) [南京師範大學2016常微分方程複試試題] (1). 敘述初值問題 $\dps{\seddm{ \f{\rd y}{\rd x}=f(x,y)\\ y(x_0)=y_0}}$ 解的存在與惟一性定理. (2). 簡述此定理存在性的證實. (3). 敘述 Bellman 不等式並利用此不等式證實解的惟一性.

 

(180405) [南京師範大學2016常微分方程複試試題] 求方程組 $\dps{ \seddm{ \f{\rd x}{\rd t}&=x&-&y&-&z\\ \f{\rd y}{\rd t}&=x&+&y&&\\ \f{\rd z}{\rd t}&=3x&&&+&z } }$ 的通解.

 

(180406) [浙江省2017高數競賽(數學類)] 求極限 $\dps{\vlmc{x}{0}\f{\e^{x^2}-\sqrt{\cos 2x}\cos x}{x-\ln (1+x)}}$.

 

(180407) [浙江省2017高數競賽(數學類)] 求不定積分 $\dps{\int x[3+\ln (1+x^2)]\arctan x\rd x}$.

 

(180408) [浙江省2017高數競賽(數學類)] 求級數 $\dps{\vsm{n}\f{x^n}{n(n+1)}}$ 的和.

 

(180409) [浙江省2017高數競賽(數學類)] 設 $f(x)$ 連續且 $\dps{f(x)=3x+\int_0^x (t-x)^2f(t)\rd t}$, 求 $f^{(2017)}(0)$ 的值.

 

(180410) [浙江省2017高數競賽(數學類)] 設 $f(x)=\sin (\pi x^2)$, 求 $\dps{\vlm{x}x \sez{f\sex{x+\f{1}{x}}-f(x)}}$.

 

(180411) [浙江省2017高數競賽(數學類)] 已知 $f(x)$ 連續且 $f(x+2)-f(x)=\sin x$, $\dps{\int_0^2 f(x)\rd x=0}$, 求積分 $\dps{\int_1^3 f(x)\rd x}$.

 

(180412) [浙江省2017高數競賽(數學類)] 計算曲線積分 $\dps{\int_L \f{(x-1)\rd y-y\rd x}{(x-1)^2+y^2}}$, 其中 $L$ 是從 $(-2,0)$ 到 $(2,0)$ 的上半橢圓 $\dps{\f{x^2}{4}+y^2=1}$.

 

(180413) [浙江省2017高數競賽(數學類)] 設 $f$ 在 $[0,1]$ 上連續可導, 證實: $\dps{ \max f(x)-\min f(x)\leq \sqrt{\int_0^1 [f'(x)]^2\rd x}. }$

 

(180414) [浙江省2017高數競賽(數學類)] 設 $g$ 在 $[0,+\infty)$ 上連續, 且 $\dps{\vlmp{x}g(x)=\infty}$, 證實: $f(x)=xg(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上不一致連續.

 

(180415) [浙江省2017高數競賽(工科類)] 求曲線 $C:\ y=x^2$ 與直線 $L:\ y=x$ 所圍圖形繞直線 $L$ 旋轉所成旋轉體的體積.

 

(180416) [浙江省2017高數競賽(工科類)] 計算 $\dps{\iint_D |xy|\rd x\rd y}$, $\dps{D=\sed{(x,y);\f{x^2}{a^2}+\f{y^2}{b^2}\leq 1}}$.

 

(180417) [浙江省2017高數競賽(工科類)] 證實: $(\cos x)^p\leq \cos(px)$, $\dps{x\in \sez{0,\f{\pi}{2}},\ 0<p<1}$.

 

(180418) [浙江省2017高數競賽(工科類)] 設 $f$ 在 $[0,1]$ 上連續可導, $f(0)=0$. 證實: $\dps{ |f(x)|\leq \sqrt{\int_0^1 [f'(x)]^2\rd x}. }$

 

(180419) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] $a\neq b$, 則 $\dps{\vlmc{x}{0}\f{\e^{bx}-\e^{ax}}{\sin bx-\sin ax}=}$____.

 

(180420) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 設函數 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上連續, 並設 $\dps{ \int_0^1 f(x)\rd x=2}$, 則 $\dps{\int_0^1 \rd x\int_x^1 f(x)f(y)\rd y=}$____.

 

(180421) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] $f(x)$ 在區間 $(-\infty,+\infty)$ 上連續, 且對任意給定的實數 $\al$, 有 $\dps{g(x)=\int_x^{\al+3x}f(t)\rd t}$ 爲常值函數, 則函數 $f(x)$ 的表達式爲_____.

 

(180422) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 曲線 $\dps{y=f(x)=\f{2}{1+x^{2n}}}$, 記其在點 $(1,1)$ 處的切線與 $x$ 軸交點爲 $(x_n,0)$, 則 $\dps{\vlm{n}x_n=}$_____.

 

(180423) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 設函數 $\dps{f(x)=\seddm{ \f{2-2\cos x}{x^2},&x\neq 0\\ 1,&x=0 }}$, 則 $f''(0)=$_____.

 

(180424) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 點的鄰域內有定義, 且 $\dps{\vlmc{h}{0}\f{f(x_0+2h)-f(x_0+h)}{h}=2}$, 則 $f(x)$ 在 $x_0$ 點 (   ) A. 不連續    B. $f'(x_0)=2$    C. 連續, 不可導    D. 條件不足, 沒法肯定連續性和可導性

 

(180425) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 設函數 $f(x)$ 在區間 $(-\infty,+\infty)$ 上有連續的導數, 且知足 $\dps{\vlmp{x}[f(x)+f'(x)]=1}$, 則 (   ) A. $\dps{\vlmp{x}f'(x)=0}$    B. $\dps{\vlmp{x}f'(x)}$ 不能判斷    C. $\dps{\vlmp{x}f(x)}$ 不能判斷    D. 以上都不正確

 

(180426) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 考慮下列關於數列的描述: $1^o$ 對於數列 $\sed{a_n}$, 若是 $\sed{a_{2n}}$ 和 $\sed{a_{2n-1}}$ 都是收斂的, 則該數列必定是收斂的; $2^o$ 數列 $\sed{a_n}$, 若是數列 $\sed{a_{n+1}-a_n}$ 收斂於 $0$, 則數列 $\sed{a_n}$ 是收斂的; $3^o$ $\sed{a_n}$ 的極限爲 $0$ 和數列 $\sed{|a_n|}$ 的極限爲 $0$ 是等價的; $4^o$ 數列 $\sed{a_n}$ 收斂, 數列 $\sed{b_n}$ 有界, 則數列 $\sed{a_nb_n}$ 是收斂的. 其中正確的結論個數爲 (   ) A. $1$    B. $2$    C. $3$    D. $4$

 

(180427) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 已知函數 $f(x,y)=\e^y(x^2+y-2x)$, 則它在點 $(1,0)$ 處取 (   ) A. 極小值 $-1$    B. 極大值 $-1$    C. 不取極值    D. 取極大值 $1$

 

(180428) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 設函數 $\dps{f(x)=\f{2+\e^\f{1}{x}}{1+\e^\f{2}{x}}+\f{\tan x}{|x|}}$, 則 $x=0$ 是函數 $f(x)$ 的 (   ). A. 無窮間斷點    B. 跳躍間斷點    C. 可去間斷點    D. 以上都不正確

 

(180429) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 設函數 $\dps{z=f(x,y),\ \f{\p^2f}{\p x^2}=6x,\ \f{\p f}{\p x}(0,y)=y,\ f(0,y)=1+y^2}$, 求函數 $f(x,y)$.

 

(180430) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 證實 $\dps{ \int_0^{2017} \f{1}{x}\sed{ 1-\sex{1-\f{x}{2017}}^{2017} }\rd x=1+\f{1}{2}+\f{1}{3}+\cdots+\f{1}{2017}. }$

 

(180501) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 設 $f(x)$ 爲 $[a,b]$ 上取正值的連續函數, $D$ 爲 $a\leq x\leq b,\ a\leq y\leq b$. 證實: $$\bex \iint_D \f{f(x)}{f(y)}\rd \sigma\geq (b-a)^2.\eex$$

 

(180502) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 函數 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上連續, 在 $x=0$ 處可導, 且 $f(0)=0$, $f'(0)=8$, 求極限 $\dps{ \vlmc{t}{0^+}\f{1}{\e^{\sin^4t}-1}\int_0^T\rd x \int_x^1 f(xy)\rd y. }$

 

(180503) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 函數 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有連續的二階導數, 且 $f(a)=f(b)=0$, $\dps{M=\max_{x\in [a,b]}|f''(x)|}$. 求證: $\dps{ \sev{\int_a^b f(x)\rd x}\leq \f{M}{12}{(b-a)^3}. }$

 

(180504) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 設函數 $f(x,y)$ 在 $D:\sed{(x,y);x^2+y^2\leq 1}$ 上由連續的偏導數, 且在邊界 $x^2+y^2=1$ 上知足 $f(x,y)=0$. 求極限 $\dps{ \vlmc{\ve}{0^+}\iint_{D_\ve}\f{x\f{\p f}{\p x}+y\f{\p f}{\p y}}{x^2+y^2}\rd x\rd y, }$ 其中 $D_\ve$ 爲 $\ve^2\leq x^2+y^2\leq 1$.

 

(180505) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 函數 $f(x,y)$ 在區間 $\dps{\sez{0,\f{3}{2}}}$ 上連續, 在 $\dps{\sex{0,\f{3}{2}}}$ 上可導, 且在該區間上知足 $|f'(x)|\leq |f(x)|$ 以及 $f(0)=0$. 求證: $f(x)\equiv 0$.

 

(180506) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 計算曲線積分 $\dps{I=\oint_C\f{xy^2\rd x-yx^2\rd y}{(x^2+y^2)^2}}$, 其中 $C$ 爲正向曲線 $2x^2+3y^2=1$.

 

(180507) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 設函數 $\dps{f(x,y)=\seddm{ \e^{(x+y+z)^2},&x^2+y^2+z^2\leq 1\\ 0,&x^2+y^2+z^2>0 }}$, $\vSa$ 爲曲面 $x+y+z=t$, 求 $\dps{I=\iint_\vSa f(x,y,z)\rd S}$.

 

(180508) [天津市2017大學生數學競賽(理工類)] 設 $a_1>0$, $\dps{a_{n+1}=\f{2}{1+a_n^2},\ n=1,2,3,\cdots}$. 討論數列 $\sed{a_n}$ 的收斂性.

 

(180509) [華東師範大學2017數學競賽] 試問: 在 $\bbR^3$ 中, $(3x+y)(y+2z)=3x+2y+2z$ 是柱面方程麼? 如果, 請求出它的母線方向向量.

 

(180510) [華東師範大學2017數學競賽] 設 $A,B$ 是 $n$ 階矩陣, 證實: (1) 若 $AB=BA=0$, $\r(A^2)=\r(A)$, 則 $\r(A+B)=\r (A)+\r(B)$; (2) 若 $AB=BA=0$, 則存在正整數 $m$, 使得 $\r(A^m+B^m)=\r(A^m)+\r(B^m)$.

 

(180511) [華東師範大學2017數學競賽] 設 $A$ 是 $n$ 階實矩陣, $A^2=A$, 若對於任意的列向量 $x\in\bbR^n$, 恆有 $x^TA^TAx\leq x^Tx$ 成立, 證實: $A^T=A$.

 

(180512) [華東師範大學2017數學競賽] 設 $\dps{a_n=\int_0^1 x^n(1-x)^n\rd x,\ n=1,2,\cdots}$. (1) 求 $a_n$; (2) 證實: $\dps{\vlm{n}4^na_n=0}$; (3) 證實: 存在正整數數列 $\sed{n_k}$, $n_1<n_2<n_3<\cdots$, 使得級數 $\dps{\vsm{k}4^{n_k}a_{n_k}}$ 收斂.

 

(180513) [華東師範大學2017數學競賽] 設 $f(x)\in C(-\infty,+\infty)$, 且對 $\forall\ x\neq y$, $f(x)\neq f(y)$. 若對 $\forall\ x\in (-\infty,+\infty), f(2x-f(x))=x$. (1) 求證: $\sed{f_n(x)}_{n=1}^\infty$ 是等差數列, 其中 $f_n(x)=\underbrace{f\circ \cdots \circ f}_n(x)$; (2) 設 $\sed{f_n(x)}_{n=1}^\infty$ 的公差是 $d(x)$, 證實: $d(x)$ 是常值函數.

 

(180514) [華東師範大學2017數學競賽] 設函數列 $\sed{u_n(x)}$, $u_n(x)\in C[a,b]$, $n=1,2,\cdots$. 若 $\dps{S(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x),\ x\in [a,b]}$. 證實: $S(x)$ 在 $[a,b]$ 上有最小值.

 

(180515) [華東師範大學2017數學競賽] 設 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有連續的一階導數, 且對 $\forall\ x,y\in (-\infty,+\infty)$, $x<y$, 有 $\dps{f(y)-f(x)=f'\sex{\f{x+y}{2}}(y-x)}$. 求證: $f(x)$ 是一條拋物線 (直線, 常值函數).

 

(180516) [北京大學2017數分] 證實 $\dps{\vlm{n}\int_0^\f{\pi}{2} \f{\sin^nx}{\sqrt{\pi-2x}}\rd x=0}$.

 

(180517) [北京大學2017數分] 證實 $\dps{\vsm{n}\f{1}{1+nx^2}\sin \f{x}{n^\al}}$ 在任何有限區間上一致收斂的充要條件是 $\dps{\al>\f{1}{2}}$.

 

(180518) [北京大學2017數分] 設 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收斂. 證實: $\dps{\lim_{s\to 0^+}\vsm{n}a_nn^{-s} =\vsm{n}a_n}$.

 

(180519) [北京大學2017數分] 設 $I$ 是區間, 稱 $\gm(t)=(x(t),y(t)),\ t\in I$ 是 $\bbR^2$ 上 $C^1$ 向量場 $(P(x,y),Q(x,y))$ 的積分曲線, 若 $x'(t)=P(\gm(t))$, $y'(t)=Q(\gm(t))$, $\forall\ t\in I$. 設 $P_x+Q_y$ 在 $\bbR^2$ 上到處非零, 證實向量場 $(P,Q)$ 的積分曲線不可能封閉 (單點情形除外).

 

(180520) [北京大學2017數分] 假設 $\dps{x_0=1,\ x_n=x_{n-1}+\cos x_{n-1}\ (n=1,2,\cdots)}$. 證實: 當 $n\to\infty$ 時, $\dps{x_n-\f{\pi}{2}=o\sex{\f{1}{n^n}}}$.

 

(180521) [北京大學2017數分] 假設 $f\in C[0,1]$, $\dps{\lim_{x\to 0^+}\f{f(x)-f(0)}{x}=\al<\be=\lim_{x\to 1^-}\f{f(x)-f(1)}{x-1}}$. 證實: $\forall\ \lm\in (\al,\be),\ \exists\ x_1,x_2\in [0,1]$ 使得 $\dps{\lm=\f{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}$.

 

(180522) [北京大學2017數分] 設 $f$ 是 $(0,+\infty)$ 上的凹 (或凸) 函數且 $\dps{\lim_{x\to +\infty} f(x)}$ 存在有限, 則 $\dps{\lim_{x\to +\infty} xf'(x)=0}$ (僅在 $f$ 可導的點考慮極限過程).

 

(180523) [北京大學2017數分] 設 $\phi\in C^3(\bbR^3)$, $\phi$ 及其各個偏導數 $\p_i\phi\ (i=1,2,3)$ 在點 $x_0\in\bbR^3$ 處取值都是 $0$. $x_0$ 的 $\del$ 鄰域記爲 $U_\del\ (\del>0)$. 若是 $(\p_{ij}^2\phi(x_0))_{3\times 3}$ 是嚴格正定的, 則當 $\del$ 充分小時, 證實以下極限存在並求之: $$\bex \lim_{t\to+\infty}t^\f{3}{2}\iiint_{U_\del} e^{-t\phi(x_1,x_2,x_3)}\rd x_1\rd x_2\rd x_3.\eex$$

 

(180524) [北京大學2017數分] 將 $(0,\pi)$ 上常值函數 $f(x)=1$ 進行週期 $2\pi$ 奇延拓並展成正弦級數: $$\hj{ f(x)\sim \f{4}{\pi}\vsm{n}\f{1}{2n-1}\sin (2n-1)x. }$$ 該 Fourier 級數的前 $n$ 項和記爲 $S_n(x)$, 則 $\forall\ x\in (0,\pi)$, $\dps{S_n(x)=\f{2}{\pi}\int_0^x \f{\sin 2nt}{\sin t}\rd t}$, 且 $\dps{\vlm{n}S_n(x)=1}$. 證實: $S_n(x)$ 的最大值點是 $\dps{\f{\pi}{2n}}$ 且 $\dps{\vlm{n}S_n\sex{\f{\pi}{2n}}=\f{2}{\pi}\int_0^\pi\f{\sin t}{t}\rd t}$.

 

(180525) [湖南大學2014數分] 用極限定義證實若 $\dps{\vlm{n}a_n=a}$, 則 $\dps{\vlm{n}\f{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a}$.

 

(180526) [湖南大學2014數分] (1). 設 $\dps{\lim_{x\to 0}\f{\ln\sex{1+\f{f(x)}{\sin 3x}}}{2^x-1}=2}$, 求 $\dps{\lim_{x\to 0}\f{f(x)}{x^2}}$. (2). 設 $f(x)$ 有一階連續導數, 且 $f(0)=0$, $f'(0)=2$, 求 $\dps{\lim_{x\to 0}[1+f(x)]^\f{1}{\ln (1+x)}}$.

 

(180527) [湖南大學2014數分] 已知 $f(x)$ 有三階導數, 且 $g(x)=|x-1|^3f(x)$. 試證: 當 $f(1)=0$ 時, $g(x)$ 在 $x=1$ 處有三階導數, 但當 $f(1)\neq 0$ 時, $g(x)$ 在 $x=1$ 處無三階導數.

 

(180528) [湖南大學2014數分] 設 $f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界可積, 且 $\dps{h=\f{1}{n}}$, 證實: $$\bex \int_0^1 f(x)\rd x =\sum_{k=1}^n f(kh)\cdot h -\f{h}{2}[f(1)-f(0)]+o\sex{\f{1}{n}}.\eex$$

 

(180529) [湖南大學2014數分] 設 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二階導數連續, $f(0)=f(1)=0$, 而且 $x\in (0,1)$ 時, $|f''(x)|\leq A$. 求證: $$\bex |f'(x)|\leq\f{a}{2},\ \forall\ x\in (0,1).\eex$$

 

(180530) [湖南大學2014數分] 計算第一型曲面積分 $\dps{\iint_S \f{1}{x^2+y^2+z^2}\rd S}$, 其中 $\dps{ S=\sed{(x,y,z);x^2+y^2=1,\ 0\leq z\leq 1}. }$

 

(180531) [湖南大學2014數分] 設 $f_0(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, $g(x,y)$ 在閉區間 $\dps{ D=\sed{(x,y);\ a\leq x\leq b,\ a\leq y\leq b} }$ 上連續, 對任何 $x\in [a,b]$, 令 $\dps{ f_n(x)=\int_0^x g(x,y)f_{n-1}(y)\rd y,\ n=1,2,3,\cdots. }$ 證實: 函數列 $\sed{f_n(x)}$ 在 $[a,b]$ 上一致收斂於零. 

 

(180601) [湖南大學2014數分] 求橢球 $\dps{\f{x^2}{a^2}+\f{y^2}{b^2}+\f{z^2}{c^2}=1}$ 在第一卦限中的切平面與三個座標平面所圍成四面體的最小體積 $V$.

 

(180602) [廈門大學2017高代] $n$ 階行列式 $\dps{\sevm{ 0&0&\cdots&0&1\\ 0&0&\cdots&1&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&1&\cdots&0&0\\ 1&0&\cdots&0&0}=}$ (   ).

 

(180603) [廈門大學2017高代] 將 $\dps{\sexm{ 2&1&3\\ 0&5&2\\ -2&4&1 }}$ 表示爲對稱矩陣和反對稱矩陣的和 (   ).

 

(180604) [廈門大學2017高代] 若矩陣 $A=(\al_1,\al_2,\al_3,\al_4)$ 通過行初等變換化爲 $\dps{\sexm{1&0&0&-3\\ 0&0&2&4\\ 0&-1&0&5\\ 0&0&0&0}}$, 那麼向量組 $\al_1,\al_2,\al_3,\al_4$ 的無關組是 (   ),\ 其他向量由此極大無關組線性表出的表達式爲 (   ).

 

(180605) [廈門大學2017高代] 設 $n$ 階方陣 $A$ 的秩爲 $n-1$, 且 $a_{11}$ 的代數餘子式 $A_{11}\neq 0$, 則線性方程組 $AX=0$ 的通解是 (   ).

 

(180606) [廈門大學2017高代] 設 $p(x)$ 是數域 $\bbF$ 上首一的不可約多項式, $f(x),g(x)\in\bbF[x]$, 若 $p(x)\mid f(x)g(x)$, 但 $p(x)$ 不整除 $f(x)$, 則 $(p(x),g(x))=$ (   ).

 

(180607) [廈門大學2017高代] 設 $\sed{\xi_1,\xi_2,\xi_3}$, $\sed{\eta_1,\eta_2}$ 分別是 $V$ 和 $U$ 的一組基, $\phi$ 是 $V$ 到 $U$ 的線性映射, 知足 $\phi(\xi_1)=\eta_1+2\eta_2$, $\phi(\xi_2)=\eta_2$, $\phi(\xi_3)=\eta_1+2\eta_2$, 則 $\dim \ker \phi=$ (   ), $\ker\phi=$ (   ).

 

(180608) [廈門大學2017高代] 設 $A$ 是 $n$ 階實對稱陣, 則在複數域上 $A$ 與 $-A$ (   ) (選填: `` 必'', ``未必'') 合同, 在實數域上 $A$ 與 $-A$ (   ) (選填: ``必'', ``未必'') 合同.

 

(180609) [廈門大學2017高代] $2$ 階實對稱正交陣全體按正交類似分類, 可分紅 (   ) 類, 每類的正交類似標準型是 (   ).

 

(180610) [廈門大學2017高代] 已知 $3$ 階非零矩陣 $B$ 的每一個列向量都是齊次線性方程組 $\seddm{ x_1+2x_2-2x_3=0\\ 2x_1-x_2+\lm x_3=0\\ 3x_1+x_2-x_3=0 }$ 的解向量. (1) 求 $\lm$ 的值; (2) 求行列式 $\det B$. 

 

(180611) [廈門大學2017高代] 設 $\dps{A=\sexm{ 1&0&0\\ 0&-2&0\\ 1&0&1 }}$, $A^*BA=2BA-8E$, 計算 $B$.

 

(180612) [廈門大學2017高代] 設 $f(x),g(x)$ 是非零多項式, 證實 $(f(x),g(x))=1$ 的充要條件是對任意 $h(x)\in\bbF[x]$, 都有 $(h(x)f(x),g(x))=(h(x),g(x))$.

 

(180613) [廈門大學2017高代] 設 $A$ 是 $n$ 階正定矩陣, $\al$ 是 $n$ 維非零實向量, 令 $B=A\al\al^T$, 其中 $\al^T$ 表示 $\al$ 的轉置. 試求 $B$ 的全部特徵值和相應的特徵子空間, 並給出特徵值子空間的基和維數.

 

(180614) [廈門大學2017高代] 設 $V_1$ 和 $V_2$ 是 $n$ 維線性空間 $V$ 的真子空間. 證實: $V=V_1\oplus V_2$ 的充要條件是存在 $V$ 上的冪等變換 $\sigma$, 使得 $\im\sigma=V_1$, $\ker \sigma=V_2$.

 

(180615) [廈門大學2017高代] 設 $W$ 是 $\bbF^{n\times n}$ 中形如 $AB-BA$ 的矩陣生成的子空間, 求 $\dim W$ 並證實.

 

(180616) [廈門大學2017高代] 求證 $\bbC$ 上兩個 $n$ 階方陣 $A,B$ 類似的充分必要條件是, 對於任意的複數 $a$ 和任意正整數 $k$, 均有 $$\bex \r(aE-A)^k=\r(aE-B)^k.\eex$$

 

(180617) [中山大學2017數分] 求 $\dps{\vlmp{x}\sex{\cos \f{1}{x}}^{x^2}}$.

 

(180618) [中山大學2017數分] 求 $\dps{\vlmp{n}\sum_{k=1}^n \f{1}{n}\sin\f{k\pi}{n}}$.

 

(180619) [中山大學2017數分] 求 $\dps{\iint_{x^2+y^2<1}\e^{-x^2-y^2}\rd x\rd y}$.

 

(180620) [中山大學2017數分] 求 $\dps{\int_0^2\rd y\int_{y/2}^1 x^3\cos(x^5)\rd x}$.

 

(180621) [中山大學2017數分] $\dps{\oint_C y\rd x+z\rd y+x\rd z}$, 其中 $C$ 爲球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 與平面 $x+y+z=0$ 的交線.

 

(180622) [中山大學2017數分] 求級數 $\dps{\vsm{n}\f{(2n-1)^2}{n!}x^{2n-1}}$ 的和函數.

 

(180623) [中山大學2017數分] 判斷下列函數是否在 $(0,+\infty)$ 上一致連續, 並說明理由: (1) $f(x)=\sqrt{x}\ln x$; (2) $f(x)=x\ln x$.

 

(180624) [中山大學2017數分] 若是 $u_n>0,\ n=1,2,\cdots$ 爲單調遞增數列. 證實: 級數 $\dps{\vsm{n}\sex{1-\f{u_n}{u_{n+1}}}}$ 當 $u_n$ 有界時收斂, 而當 $u_n$ 無界時發散.

 

(180625) [中山大學2017數分] 求證: 方程 $\e^x=ax^2+bx+c$ 的根不超過三個.

 

(180626) [中山大學2017數分] $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, 在 $(a,b)$ 上右導數存在, 且 $f(a)=f(b)$. 求證: 存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $f'_+(\xi)\leq 0$.

 

(180627) [中山大學2017數分] 判別廣義積分 $\dps{\int_0^\infty \f{\ln (1+x)}{x^p}\rd x}$ 的收斂性, 並說明理由.

 

(180628) [中山大學2017數分] 討論函數項級數 $\dps{\vsm{n}\f{x^2}{(1+x^2)^n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的一致收斂性.

 

(180629) [中山大學2017數分] 把函數 $\dps{f(x)=\sex{x-\pi}^2}$ 在 $(0,\pi)$ 上展開成餘弦級數, 並求級數 $\dps{\vsm{n}\f{1}{n^2}}$ 的和.

 

(180630) [中山大學2017數分] 計算 $\dps{\iint_S (z^2+x)\rd y\rd z -z\rd x\rd y}$, 其中 $S$ 爲曲面 $\dps{z=\f{x^2+y^2}{2},\ 0\leq z\leq 2}$ 下側.