方差分析中均值比較的方法

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最近看文獻時，多數實驗結果用到方差分析，但選的方法不一樣，主要有LSD，SNK-q,TukeyHSD法等，從百度廣庫裏找了一篇文章，大概介紹這幾種方法，具體公式不列了，軟件均可以計算。這幾種方法主要用於方差分析後，對均數間進行兩兩比較。

均數間的兩兩比較根據研究設計的不一樣分爲兩種類型 ： 一種常見於探索性研究，在研究設計階段並不明確哪些組別之間的對比是更爲關注的，也不明確哪些組別問的關係已有定論、無需再探究，經方差分析結果提示 「 歸納而言各組均數不相同」後，對每一對樣本均數都進行比較，從中尋找有統計學意義的差別： 另外一種是在設計階段根據研究目的或專業知識所決定的某些均數問的比較．常見於證明性研究中多個處理組與對照組、施加處理後的不一樣時間點與處理前比較。最初的設計方案不一樣．對應選擇的檢驗方法也不一樣． 下面分述兩種不一樣設計均數兩兩比較的方法選擇。

1. 事先計劃好的某對或某幾對均數間的比較

適用於證明性研究。在設計時就設定了要比較的組別，其餘組別間沒必要做比較。經常使用的方法有： Dunnett-t 檢驗 、LSD-t 檢驗 (Fisher ’s least significant difference t test) 。這兩種方法無論方差分析的結果如何——即使對於 P稍大於檢驗水平α進行所關心組別間的比較。

1.1 LSD-t檢驗即最小顯著法

是Fisher於1935年提出的， 多用於檢驗某一對或某幾對在專業上有特殊探索價值的均數間的兩兩比較,而且在多組均數的方差分析沒有推翻無效假設H0時也能夠應用。該方法實質上就是 t檢驗， 檢驗水準無需做任何修正,只是在標準誤的計算上充分利用了樣本信息，爲全部的均數統一估計出一個更爲穩健的標準誤， 所以它通常用於事先就已經明確所要實施對比的具體組別的多重比較。因爲該方法本質思想與 t 檢驗相同， 因此只適用於兩個相互獨立的樣本均數的比較。LSD法單次比較的檢驗水準仍爲α ， 所以能夠認爲該方法是最爲靈敏的兩兩比較方法.另外一 方面,因爲LSD法側重於減小第Ⅱ類錯誤， 勢必致使此法在突出組間差別的同時,有增大I類錯誤的傾向。

1.2 Dunnett-t（新復極差法）檢驗

Duncan 1955年在Newman及Keuls的復極差法(muhiple range method)基礎上提出，該方法與Tukey法相相似。適用於n-1個試驗組與一個對照組均數差異的多重比較，多用於證明性研究。 Dunnett-t統計量的計算公式與LSD-t檢驗徹底相同。

實驗組和對照組的樣本均數和樣本含量。需特別指出的是Dunnett—t檢驗有專門的界值表，不一樣於t檢驗的界值表 。

通常認爲，比較組數k≥3時，任何兩個樣本的平均數比較會牽連到其它平均數的對比關係，而使比較數不再是兩個相互獨立的樣本均數的比較．這是LSD-t沒法克服的缺點。Dunnett—t針對這一問題提出．在同一顯著水平上兩個均數的最小顯著差數隨着這二個平均數在多個平均數中所佔的極差大小而不一樣，根據不一樣平均數間的對比關係來調整相應的顯著差異(critical range)的大小。

2. 多個均數的兩兩過後比較

適用於探索性研究，即各處理組兩兩問的對比關係都要回答，通常要將各組均數進行兩兩組合，分進行檢驗。經常使用的方法有：SNK-q(Student-Newman-Keuls q)法、Duncan法、Tukey法和Scheffe法。值得注意的是，這幾種方法對數據有具體的要求和限制。而文獻中我最多見的是Tukey法與SNK-q法，。

2.1 SNK-q檢驗

對於SNK-q檢驗，檢驗的統計量是q，因此又稱爲q檢驗。SNK-q檢驗的原理是根據所包含不一樣數目的平均數的極差調整各自的顯著性水準，限制了實驗的偏差．保證在作全部比較時，不易犯第1類錯誤。

2.2 Tukey法

Tukey法(Tukey’S Honestly Significant Diference Tukey’s HSD)的原理與SNK-q檢驗基本相同，可是，該方法要求各比較組樣本含量相同 ，它將全部對比組中I類錯誤最大者控制在α以內。

研究顯示：這種方法有較高的檢驗效能(與LSD法比較)，具備很好的穩定性，適用於大多數場合下的兩兩比較，計算簡便。可是，Tukey法是基於比較組所有參與比較這一假設下進行的，所以在只比較指定的某幾組整體均數時並不適用，建議選擇Dunnett法或者是Bonferroni方法，由於這兩種方法會給出較高效能的檢驗結果。

2.3 Scheffe法

與通常的多重比較不一樣，Scheffe法的實質是對多組均數間的線性組合是否爲0進行假設檢驗，多用於對比組樣本含量不等的資料。在單因素的多重比較問題中，除了要逐對比較因素水平的平均效應以外，有時還有可能要比較因素水平平均效應的線性組合。例如將有基本相同的因素水平平均效應的幾個組，構成一個綜合組。所以可能檢驗這樣的假設：

顯然，前面討論的參數的兩兩比較屬於一類特殊的對比。Scheffe法能夠同時檢驗全部可能的對比，即同時檢驗任何一組對比。Scheffe法的優勢是能夠檢驗任意的線性對比。在這方面，Tukey法不如Scheffe法。可是在單純做逐對因素效應均值的比較時,Schefe法的效率不如Tukey法高。也就是說，Schefe法更易於將顯著的差別斷定爲不顯著(Tukey法認爲)。在實際場合，當單純做逐對均值

比較時，建議用Tukey法；而當要作多個通常的線性對比檢驗時。就要用Scheffe法。

Scheffe法檢驗實質上對F值進行了簡單的校訂，將比較的組數歸入考慮的範疇，該方法的檢驗統計量表明瞭最大可能的累積I類錯誤的機率。遺憾的是，因爲控制I類錯誤時的「矯枉過正」．會最終致使較大的Ⅱ類錯誤的機率。

3. 探索性研究和證明性研究均適用的檢驗方法

3.1 Bonferroni t檢驗

基本思想是：若是三個樣本均數經ANOVA檢驗差別有統計學意義(α=0．05)，需對每兩個均數進行比較，共需比較的次數爲3次,因爲每進行一次比較犯I類錯誤的機率是α=0．05，那麼比較3次至少有一次犯I類錯誤的機率就是：α’=1-0.95³≈0.1426>0.05。所以，要使屢次比較犯I類錯誤的機率不大於原檢驗水準α，現有的檢驗水準應該進行調整，用α’=α/m做爲檢驗水準的調整值，兩兩比較得出的P值與其進行比較。該方法的思想適用於全部的兩兩比較，而且該方法的適用範圍很廣，不只僅限於方差分析，例如相關係數的檢驗和卡方檢驗也適用。Bonferroni t檢驗的方法和思想容易理解，操做簡便，可是嚴格地控制了I類錯誤的同時增大了Ⅱ類錯誤的發生機率，在結論的給出方面是一種比較保守的方法。

3.2 Sidak檢驗

該方法經過Sidak校訂下降每次兩兩比較的I類錯誤機率，以達到最終整個比較的I類錯誤發生率不超過α的目的。

Bonferroni t檢驗與Sidak檢驗類似，Bon.ferroni t檢驗是檢驗的近似計算，可是因爲Bonferroni t檢驗在計算上容易實現，因此應用較廣。相比較而言，Bonferroni t檢驗在給出推斷結論時更爲審慎。不容易獲得拒絕零假設的結果。兩種檢驗在對比組數增長、比較組不獨立時，推斷結論更趨保守。

以上方法都必須在知足方差齊性的前提條件時才能夠應用，另外還有一些方法是在不知足方差齊性時多重比較的方法：Tamhane’s T2,Dunnetts’s T3, Games-Howell, Games-Howell。

3.3Tamhane’s T2

是一種基於t檢驗原理的兩兩比較方法。該方法比較保守。

3.4Dunnetts’s T3

則是以最大的t值(studentized maximum modulus)爲基礎的。

3.5Games-Howell檢驗方法

是比較寬大的一種兩兩比較方法。Games-Howell 方法將方差不齊的組數做爲一個影響因素歸入考慮範疇。嚴重的方差不齊和樣本含量太小都會使I類錯誤的機率增長。Games-Howell檢驗基於Welch’s對t檢驗的自由度進行校訂，並使用了學生化極差做爲統計量。該檢驗適用於樣本含量小且方差不齊(輕度方差不齊例外)時的狀況。該方法是方差不齊時的一種較好的方法。

3.6Dunnett’s

是一種基於學生化極差的適用於方差不齊狀況時兩兩比較的方法。

下圖是進行方差分析的流程圖