關於排列組合

排列：

從\(n\)我的中選出\(m\)我的來排隊，他的作法是\(A_{n}^{m}\)
第一個位置能夠放\(n\)箇中的一個，第二個位置能夠放\(n-1\)箇中的一個......第\(m\)的位置能夠放\(n-m+1\)箇中的一個
因此可得：\(A_{n}^{m}=\frac{n!}{n-m!}\)

組合：

上面的問題咱們能夠分兩步來看
1.選出\(m\)我的
2.這\(m\)我的排隊
因此\(A_{n}^{m}=X*A_{m}^{m}\)
這個X就是從\(n\)我的中選出\(m\)我的來的方案數
因此\(X=C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)

組合數的性質最多見的兩個是
\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\)
\(C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1}\)

區別：

排列是有序的就是說方案\(2,1,4\)和\(1,4,2\)是不一樣的
而組合是無序的即方案\(1,2,4\)和方案\(4,2,1\)是相同的

例：

求\(1*2*3+2*3*4+......+8*9*10\)

咱們首先觀察一下，咱們的排列公式\(A_{n}^{m}\)就是從\(n\)開始往前乘\(m\)個數因此咱們能夠獲得在第一個加號以前的乘法的答案其實就是\(A_{3}^{3}\)同理咱們能夠獲得第二個加號以前的是\(A_{4}^{3}\).....一直能夠算到最後一個加號以後是\(A_{10}^{3}\)
根據咱們推倒組合數的式子咱們能夠把\(A_3^3\)轉化成\(C_3^3A_3^3\)同理後邊的也所有能夠轉換
咱們再把\(A_3^3\)提出括號裏就是\(C_3^3+C_4^3+......+C_{10}^3\)
根據組合數的第二個性質咱們能夠合併前兩項由於咱們知道\(C_3^3==C_4^4\)因此直接換下來前兩項就變成了\(C_5^4\)他又能夠與後邊的\(C_5^3\)合併一直合併直到最後是\(A_3^3C_{11}^4\)
再根據定義什麼的算出來就行了

謝謝收看，祝身體健康！