求n*m網格內矩形的數目

一個n*m的網格，求這個網格中矩形的數目。

好比如下2*2網格，總共有9個矩形：4個1*1的矩形，4個1*2的矩形，1個2*2的矩形

 

算法1：動態規劃，假設dp[i][j]表示以第 i 行第 j 列的格子爲右下角頂點的矩形數目，那麼dp[i][j] = 1 + dp[i-1][j] + dp[i][j-1] – dp[i-1][j-1] , 這裏的1表示i ,j 位置的格子自身構成1*1的矩形，之因此減去dp[i-1][j-1], 由於dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 都包含了dp[i-1][j-1]。計算時注意i = 1 和 j = 1的邊界條件。最後把全部dp[i][j]加起來就是咱們所求的答案。以3*3網格舉例，爲了計算方便，紅色爲設置的邊界值，黑色的纔是最後須要加起來的值（結果爲36）

 

 

int rectNum(int row, int column)
{
    vector<vector<int> >dp(row+1, vector<int>(column+1, 1));
    int res = 0;
    dp[0][0] = 2;
    for(int i = 1; i <= row; i++)
        for(int j = 1; j <= column; j++)
        {
            dp[i][j] = 1 + dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1];
            res += dp[i][j];
        }
    return res;
}

 

算法2：咱們假設網格是1行m列的，那麼總的矩形數目 = m(1*1的矩形) + m-1(1*2的矩形) + m-2(1*3的矩形) +…+1(1*m的矩形) = m*(m+1)/2，同理n行1列總的矩形數目是n*(n+1)/2. 對於n*m的網格，咱們能夠先肯定好選取的行數（即肯定矩形的高），公共有n*(n+1)/2種選法，選好之後就能夠壓縮成1行m列的網格來考慮了，所以總共n*(n+1)/2*m*(m+1)/2個矩形。（注意最後結果是否溢出int範圍）                 本文地址

int rectNum(int row, int column)
{
    return row*(row+1)*column*(column+1)/4;
}

 

算法2還能夠這樣理解：兩個對角點就能夠肯定一個矩形。對於一個n*m的網格，總共有（n+1）*（m+1）個頂點，所以第一個頂點有(n+1)*(m+1)種選取方法，選取好第一個頂點後，第二個頂點就有一些限制了，它不能和第一個頂點在同一條直線上，所以第二個頂點有n*m種選取方法；所以選取兩個頂點總共有(n+1)*(m+1)*n*m種選取方法，考慮到矩形ABCD，選取AC、CA、BD、DB都表示同一個矩形，即這些選取方法中，包含的每一個矩形都重複了四次，所以總共有(n+1)*(m+1)*n*m/4個矩形。

 

能夠在hduoj 2524上測試算法的正確性

 

【版權聲明】轉載請註明出處：http://www.cnblogs.com/TenosDoIt/p/3740141.html