【劍指Offer】6三、數據流中的中位數

  題目描述：

  如何獲得一個數據流中的中位數？若是從數據流中讀出奇數個數值，那麼中位數就是全部數值排序以後位於中間的數值。若是從數據流中讀出偶數個數值，那麼中位數就是全部數值排序以後中間兩個數的平均值。咱們使用Insert()方法讀取數據流，使用GetMedian()方法獲取當前讀取數據的中位數。

  解題思路：

  首先要正確理解此題的含義，數據是從一個數據流中讀出來的，所以數據的數目隨着時間的變化而增長。對於從數據流中讀出來的數據，固然要用一個數據容器來保存，也就是當有新的數據從流中讀出時，須要插入數據容器中進行保存。那麼咱們須要考慮的主要問題就是選用什麼樣的數據結構來保存。

  方法一：用數組保存數據。數組是最簡單的數據容器，若是數組沒有排序，在其中找中位數可使用類比快速排序的partition函數，則插入數據須要的時間複雜度是O(1)，找中位數須要的複雜度是O(n)。除此以外，咱們還能夠想到用直接插入排序的思想，在每到來一個數據時，將其插入到合適的位置，這樣可使數組有序，這種方法使得插入數據的時間複雜度變爲O(n)，由於可能致使n個數移動，而排序的數組找中位數很簡單，只須要O(1)的時間複雜度。

  方法二：用鏈表保存數據。用排序的鏈表保存從流中的數據，每讀出一個數據，須要O(n)的時間找到其插入的位置，而後能夠定義兩個指針指向中間的結點，能夠在O(1)的時間內找到中位數，和排序的數組差很少。

  方法三：用二叉搜索樹保存數據。在二叉搜索樹種插入一個數據的時間複雜度是O(logn)，爲了獲得中位數，能夠在每一個結點增長一個表示子樹結點個數的字段，就能夠在O(logn)的時間內找到中位數，可是二叉搜索樹極度不平衡時，會退化爲鏈表，最差狀況仍須要O(n)的複雜度。

  方法四：用AVL樹保存數據。因爲二叉搜索樹的退化，咱們很天然能夠想到用AVL樹來克服這個問題，並作一個修改，使平衡因子爲左右子樹的結點數之差，則這樣能夠在O(logn)的時間複雜度插入數據，並在O(1)的時間內找到中位數，可是問題在於AVL樹的實現比較複雜。

  方法五：最大堆和最小堆。咱們注意到當數據保存到容器中時，能夠分爲兩部分，左邊一部分的數據要比右邊一部分的數據小。以下圖所示，P1是左邊最大的數，P2是右邊最小的數，即便左右兩部分數據不是有序的，咱們也有一個結論就是：左邊最大的數小於右邊最小的數。

  所以，咱們能夠有以下的思路： 用一個最大堆實現左邊的數據存儲，用一個最小堆實現右邊的數據存儲，向堆中插入一個數據的時間是O(logn)，而中位數就是堆頂的數據，只須要O(1)的時間就可獲得。

  而在具體實現上，首先要保證數據平均分配到兩個堆中，兩個堆中的數據數目之差不超過1，爲了實現平均分配，能夠在數據的總數目是偶數時，將數據插入最小堆，不然插入最大堆。

  此外，還要保證全部最大堆中的數據要小於最小堆中的數據。因此，新傳入的數據要和最大堆中最大值或者最小堆中的最小值比較。當總數目是偶數時，咱們會插入最小堆，可是在這以前，咱們須要判斷這個數據和最大堆中的最大值哪一個更大，若是最大值中的最大值比較大，那麼將這個數據插入最大堆，並把最大堆中的最大值彈出插入最小堆。因爲最終插入到最小堆的是原最大堆中最大的，因此保證了最小堆中全部的數據都大於最大堆中的數據。

  總結：

  編程實現（Java）：

import java.util.*;
public class Solution {
    /*
    思路：最大堆和最小堆
    */
    PriorityQueue<Integer> minHeap=new PriorityQueue<>();
    PriorityQueue<Integer> maxHeap=new PriorityQueue<>(new Comparator<Integer>(){
        public int compare(Integer o1,Integer o2){
            return o2-o1;
        }
    });
    int count=0;
    public void Insert(Integer num) {
        count++;
        if(count%2==0){   //偶數，插入最小堆
            if(!maxHeap.isEmpty() && num<maxHeap.peek()){ //若是num小於最大堆，那麼先插入最大堆
                maxHeap.add(num);
                num=maxHeap.poll();
            }
            minHeap.add(num);
        }else{ //奇數，插入最大堆
            if(!minHeap.isEmpty() && num>minHeap.peek()){
                minHeap.add(num);
                num=minHeap.poll();
            }
             maxHeap.add(num);
        }
    }

    public Double GetMedian() {
        if(minHeap.size()==maxHeap.size())
            return (minHeap.peek()+maxHeap.peek())/2.0;
        else if(maxHeap.size()>minHeap.size())
            return maxHeap.peek()/1.0;
        else
            return minHeap.peek()/1.0;
    }

}