paper 153：Delaunay三角剖分算法--get 這個小技術吧！

直接摘自百度百科，但願你們能根據下面的介紹稍微理順思路，按需使用，加油！

解釋一下：點集的三角剖分（Triangulation），對數值分析（好比有限元分析）以及圖形學來講，都是極爲重要的一項預處理技術。尤爲是Delaunay三角剖分，因爲其獨特性，關於點集的不少種幾何圖都和Delaunay三角剖分相關，如Voronoi圖，EMST樹，Gabriel圖等。Delaunay三角剖分有最大化最小角，「最接近於規則化的「的三角網和惟一性（任意四點不能共圓）兩個特色。

 

Delaunay三角剖分算法定義

 

【定義】三角剖分 ^[1]  ：假設V是二維實數域上的有限點集，邊e是由點集中的點做爲端點構成的封閉線段, E爲e的集合。那麼該點集V的一個三角剖分T=(V,E)是一個平面圖G，該平面圖知足條件：

1.除了 端點，平面圖中的邊不包含點集中的任何點。

2.沒有相交邊。

3.平面圖中全部的面都是三角面，且全部三角面的合集是散點集V的 凸包。

在實際中運用的最多的三角剖分是Delaunay三角剖分，它是一種特殊的 三角剖分。先從Delaunay邊提及：

【定義】Delaunay邊：假設E中的一條邊e（兩個端點爲a,b），e

若知足下列條件，則稱之爲Delaunay邊：存在一個圓通過a,b兩點，圓內(注意是圓內，圓上最多三點共圓)不含點集V中任何其餘的點，這一特性又稱空圓特性。

【定義】Delaunay三角剖分：若是點集V的一個三角剖分T只包含Delaunay邊，那麼該三角剖分稱爲Delaunay三角剖分。

優化處理:

理論上爲了構造Delaunay 三角網 ^[2]  ，Lawson提出的局部優化過程LOP(Local Optimization Procedure)，通常三角網通過LOP處理，便可確保成爲Delaunay三角網，其基本作法以下所示：

1.將兩個具備共同邊的三角形合成一個多邊形。

2.以最大空圓準則做檢查，看其第四個頂點是否在三角形的 外接圓以內。

3.若是在，修正對角線即將對角線對調，即完成局部優化過程的處理。

LOP處理過程以下圖所示：

Delaunay剖分的算法

Delaunay剖分是一種三角剖分的標準，實現它有多種算法。

Delaunay三角剖分算法準則特性

 準則:

要知足Delaunay三角剖分的定義，必須符合兩個重要的準則：

一、空圓特性：Delaunay 三角網是惟一的（任意四點不能共圓），在Delaunay三角形網中任一三角形的外接圓範圍內不會有其它點存在。以下圖所示：

二、最大化最小角特性：在 散點集可能造成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所造成的三角形的最小角最大。從這個意義上講，Delaunay三角網是「最接近於規則化的「的三角網。具體的說是指在兩個相鄰的三角形構成 凸四邊形的對角線，在 相互交換後，六個內角的最小角再也不增大。以下圖所示：

特性:

如下是Delaunay剖分所具有的優異特性：

1.最接近：以最近的三點造成三角形，且各 線段(三角形的邊)皆不相交。

2.惟一性：不論從區域何處開始構建，最終都將獲得一致的結果。

3.最優性：任意兩個相鄰三角形造成的 凸四邊形的對角線若是能夠互換的話，那麼兩個三角形六個內角中最小的角度不會變大。

4.最規則：若是將 三角網中的每一個三角形的最小角進行升序排列，則Delaunay三角網的排列獲得的數值最大。

5.區域性：新增、刪除、移動某一個頂點時只會影響臨近的三角形。

6.具備 凸多邊形的外殼：三角網最外層的邊界造成一個凸多邊形的外殼。 

Delaunay三角剖分算法計算方法

 

a)Lawson算法

逐點插入的Lawson算法 ^[3]  是Lawson在1977年提出的，該算法思路簡單，易於編程實現。基本原理爲：首先創建一個大的三角形或多邊形，把全部數據點包圍起來，向其中插入一點，該點與包含它的三角形三個頂點相連，造成三個新的三角形，而後逐個對它們進行空外接圓檢測，同時用Lawson設計的局部優化過程LOP進行優化，即經過交換對角線的方法來保證所造成的 三角網爲Delaunay三角網。

上述基於 散點的構網算法理論嚴密、惟一性好，網格知足空圓特性，較爲理想。由其逐點插入的構網過程可知，遇到非Delaunay邊時，經過刪除調整，能夠構造造成新的Delaunay邊。在完成構網後，增長新點時，無需對全部的點進行從新構網，只需對新點的影響三角形範圍進行局部聯網，且局部聯網的方法簡單易行。一樣，點的刪除、移動也可快速動態地進行。但在實際應用當中，這種構網算法當點集較大時構網速度也較慢，若是點集範圍是非凸區域或者存在內環，則會產生非法三角形。

 

如左圖所示：當離散點集構成圓環時，Lawson算法產生的非法三角形 　　 　

離散點集合

Lawson算法產生的三角剖分

　　

正確的三角剖分

b)Bowyer-Watson算法(推薦)

Watson算法的基本步驟是：

一、構造一個超級三角形，包含全部散點，放入三角形鏈表。

二、將點集中的散點依次插入，在三角形鏈表中找出外接圓包含插入點的三角形（稱爲該點的影響三角形），刪除影響三角形的公共邊，將插入點同影響三角形的所有頂點鏈接起來，完成一個點在Delaunay三角形鏈表中的插入。

三、根據優化準則對局部新造成的三角形優化。將造成的三角形放入Delaunay三角形鏈表。

四、循環執行上述第2步，直到全部散點插入完畢。

這一算法的關鍵的第2步圖示以下：