感覺異或的神奇

時間 2019-12-24

標籤感覺異或神奇简体版

原文原文鏈接

什麼是異或？

Wikipedia的解釋： html

在邏輯學中，邏輯算符異或（exclusive or）是對兩個運算元的一種邏輯析取類型，符號爲 XOR 或 EOR 或 ⊕（編程語言中經常使用^）。但與通常的邏輯或不一樣，異或算符的值爲真僅當兩個運算元中恰有一個的值爲真，而另一個的值爲非真。轉化爲命題，就是：「二者的值不一樣。」或「有且僅有一個爲真。」面試

定義：算法

1 ⊕ 1 = 0 編程

0 ⊕ 0 = 0 數組

1 ⊕ 0 = 1 app

0 ⊕ 1 = 1 編程語言

真值表：函數

Y	B = 0	B = 1
A = 0	0	1
A = 1	1	0

表達式：學習

Y = A’ · B + A · B’ ui

解釋：我使用·做爲與，我使用+做爲或，我使用'做爲否(原本應該使用頭上一橫，可是太難編輯了，就使用了'）；

異或有什麼特性？

根據定義咱們很容易得到異或兩個特性：

恆等律：X ⊕ 0 = X歸零律：X ⊕ X = 0

而後咱們使用真值表能夠證實：

（1）交換律

123	A ⊕ B = A' · B + A · B'B ⊕ A = B' · A + B · A'

由於·與和+或兩個操做知足交換律，因此：

A ⊕ B = B ⊕ A

（2）結合律

12345678910111213

(A ⊕ B) ⊕ C= (A' · B + A · B') ⊕ C= (A' · B + A · B')' · C + (A' · B + A · B') · C '= ((A' · B)' · (A · B')')· C + A' · B · C ' + A · B' · C '= ((A + B') · (A' + B))· C + A' · B · C ' + A · B' · C '= (A · B + A' · B') · C + A' · B · C ' + A · B' · C '= A · B · C + A' · B' · C + A' · B · C ' + A · B' · C '

你可使用一樣推導方法得出（請容許我偷懶一下，數學公式敲起來不容易 +_+）：

123	A ⊕ (B ⊕ C)= A · B · C + A' · B' · C + A' · B · C ' + A · B' · C '

證實過程當中使用了以下幾個方法（·與+或'否）：

·與+或交換律：

123	A · B = B · AA + B = B + A

·與+或結合律：

123	(A · B) · C = A · (B · C)(A + B) + C = A + (B + C)

·與+或分配律：

123	A · (B + C)= A · B + A · CA + B · C = (A + B) · (A + C)

摩爾定理：

123	(A · B)' = A' + B'(A + B)' = A' · B'

結論：

交換律：A ⊕ B = B ⊕ A結合律：A ⊕ (B ⊕ C) = (A ⊕ B) ⊕ C

有了歸零率和結合律，咱們就能夠輕鬆證實：

自反：A ⊕ B ⊕ B = A ⊕ 0 = A

可能這些特性會很順其天然的理解，可是若是你在解決問題的時候，你可能會忘記異或的這些特性，因此適當的應用可讓咱們加深對異或的理解；

1234	A ⊕ 1 = A';A ⊕ 0 = A;A ⊕ A = 0;A ⊕ A' = 1;

異或有什麼神奇之處（應用）？

說明：如下的的異或所有使用符號^

可能你已經被亂七八糟的公式和演算搞的有點煩了，不就是很簡單的異或運算嗎？還解釋的那麼複雜，嘿嘿，不要着急，打好了基礎，你就站在了巨人的肩膀，讓咱們開始異或的神奇之旅吧；

（1）快速比較兩個值

先讓咱們來一個簡單的問題；判斷兩個int數字a，b是否相等，你確定會想到判斷a - b == 0，可是若是判斷a ^ b == 0效率將會更高，可是爲何效率高呢？就把這個給你當家庭做業吧，考慮下減法是如何實現的；讓咱們看看ipv6中的比較；

staticinlineintipv6_addr_equal(conststructin6_addr*a1,conststructin6_addr*a2){return(((a1->s6_addr32[0]^a2->s6_addr32[0])|(a1->s6_addr32[1]^a2->s6_addr32[1])|(a1->s6_addr32[2]^a2->s6_addr32[2])|(a1->s6_addr32[3]^a2->s6_addr32[3]))==0);}

（2）在彙編語言中常常用於將變量置零：xor a，a；

（3）咱們可使用異或來使某些特定的位翻轉，由於不論是0或者是1與1作異或將獲得原值的相反值；

0 ^ 1 = 1

1 ^ 1 = 0

例如：翻轉10100001的第6位，答案：能夠將該數與00100000進行按位異或運算;10100001 ^ 00100000 = 10000001

咱們給出一段經常使用的代碼：

123	unsignedinta,b,mask=1<<6;a=0xB1;// 10100001b=a^mask;/* flip the 6th bit */

（4）咱們使用異或來判斷一個二進制數中1的數量是奇數仍是偶數

例如：求10100001中1的數量是奇數仍是偶數；答案：1 ^ 0 ^ 1 ^ 0 ^ 0 ^ 0 ^ 0 ^ 1 = 1,結果爲1就是奇數個1，結果爲0就是偶數個1；應用：這條性質可用於奇偶校驗（Parity Check），好比在串口通訊過程當中，每一個字節的數據都計算一個校驗位，數據和校驗位一塊兒發送出去，這樣接收方能夠根據校驗位粗略地判斷接收到的數據是否有誤

（5）校驗和恢復

校驗和恢復主要利用的了異或的特性：IF a ^ b = c THEN a ^ c = b應用：一個很好的應用實例是RAID5，使用3塊磁盤（A、B、C）組成RAID5陣列，當用戶寫數據時，將數據分紅兩部分，分別寫到磁盤A和磁盤B，A ^ B的結果寫到磁盤C；當讀取A的數據時，經過B ^ C能夠對A的數據作校驗，當A盤出錯時，經過B ^ C也能夠恢復A盤的數據。

RAID5的實現比上述的描述複雜多了，可是原理就是使用異或，有興趣的同窗看下RAID5

（6）經典題目：不使用其餘空間，交換兩個值

123	a=a^b;b=a^b;//a ^ b ^ b = a ^ 0 = a;a=a^b;

這個題目就不用解釋了吧，太大衆題目了，哈哈，可是很是好的使用的了異或的特性；

（7）面試題：互換二進制數的奇偶位；

題目：寫一個宏定義，實現的功能是將一個int型的數的奇偶位互換，例如6的2進製爲00000110，(從右向左)第一位與第二位互換，第三位與第四位互換，其他都是0不須要交換，獲得00001001，輸出應該爲9；

思路：咱們能夠把咱們的問題分爲三步（難道這也是分治法嗎 -。-），第一步，根據原值的偶數位獲取到目標值的奇數位，並把不須要的位清零；第二步，根據原值的奇數位獲取到目標值的偶數位，並把不須要的位清零；第三步：把上述兩個殘缺的目標值合併成一個完整的目標值；

代碼爲：

123456789

//假設 int 佔兩個字節，16位；#include#includeusingnamespacestd;#define N(n) ((n<<1)&(0xAAAA))|((n>>1)&(0x5555))voidmain(){intk=N(6);cout<<k<<endl;}

解釋：1.爲簡化說明，咱們以4位二進制碼爲例，0xAAAA 咱們用 1010 代替；0x5555 咱們用 0101 代替；2.(n<<1)&(1010) 把n先左移1位，再與1010作與運算，只保留移位以後的偶數位的值，奇數位全爲0，其實是隻保留了n的奇數位的值，並把它們交換到了偶數位上。好比 n = 0110 , n<<1 = 1100, (n<<1) & 1010 = 1000 ;3.(n>>1)&(0101)把n右移一位，再與 0101 作與運算，只保留移位以後的奇數位的值，偶數位全爲0，實際是隻保留n 的偶數位的值，並把它們交換到對應的奇數位上。n = 0110； n>>1 = 0011； (n>>1) & 0101 = 0001；4.最後作或運算（相加），獲得1001。

（7）最最常出現的面試題：一個整型數組裏除了N個數字以外，其餘的數字都出現了兩次，找出這N個數字；

好比，從{1, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 4, 5}中找出單個的數字： 1

讓咱們從最簡單的，找一個數字開始；

題目：（LeetCode 中經過率最高的一道題）Single Number: Given an array of integers, every element appears twice except for one. Find that single one.Note:Your algorithm should have a linear runtime complexity. Could you implement it without using extra memory?思路：拿到這個題目，本能的你會使用排序（數字文字咱們經常須要排序），排序後能夠來判斷是否數字成對出現，思路很明顯，可是排序的算法上限是 O(nlogn)，不符合題目要求；

學習了強大的異或，咱們能夠輕鬆的使用它的特性來完成這道題目：（1）A ^ A = 0;（2）異或知足交換律、結合律；全部假設有數組：A B C B C D A使用異或：

A^B^C^B^C^D^A=A^A^B^B^C^C^D=0^0^0^D=0^D=D

是否是很神奇？時間複雜度爲O(n)，固然是線性的，空間複雜度O(1)；

代碼：

1234567891011121314

classSolution{public:intsingleNumber(intA[],intn){//特殊狀況1,2 if(n<=0)return-1;if(n==1)returnA[0];intresult=0;for(inti=0;i<n;i++){result=result^A[i];}returnresult;}};

接下來讓咱們增長一些難度：

題目：一個整型數組裏除了兩個數字以外，其餘的數字都出現了兩次。請寫程序找出這兩個只出現一次的數字？

思路：第一步：確定仍是像咱們上面的解法同樣，全部數進行異或，不過最終獲得的結果是 a 和 b（假設 a 和 b 是落單的數字）兩個值的異或結果 aXORb，沒有直接獲得 a 和 b 的值；

第二步：想辦法獲得 a 或者 b，假設 aXORb 爲 00001001（F確定不爲0），根君 aXORb 的值咱們發現，值爲1的位（好比從右向左第一位）表示在此位上 a 和 b 的值不一樣；因此，根據這個特色，咱們找出來全部第一位爲1的數進行異或，獲得的就是 a 或者 b；

第三步：aXORb = a ^ b，假設咱們已經找到了 a，根據異或特性，咱們知道，b = aXORb ^ a；這樣咱們就能夠找出 b；因此咱們只須要循環兩次；

這樣咱們的時間複雜度是 O(n)，空間複雜度是 O(1)代碼：

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

#include#includeusingnamespacestd;intgetFirstOneBit(intnum)//輸出 num 的低位中的第一個 1 的位置 {returnnum&~(num-1);// num 與 -num 相與找到}voidfindTwo(int*array,intlength){intaXORb=0;intfirstOneBit=0;inta=0;intb=0;for(inti=0;i<length;i++){aXORb^=array[i];}assert(aXORb!=0);//保證題目要求，有兩個single的數字firstOneBit=getFirstOneBit(aXORb);for(inti=0;i<length;++i){if(array[i]&firstOneBit){a^=array[i];}}b=aXORb^a;cout<<"a: "<<a<<endl;cout<<"b: "<<b<<endl;}intmain(){intarray1[]={2,5,8,2,5,8,6,7};findTwo(array1,8);return0;}

接下來讓咱們再增長一些難度：

題目：一個整型數組裏除了三個數字以外，其餘的數字都出現了兩次。請寫程序找出這兩個只出現一次的數字？

思路：

第一步：確定仍是像咱們上面的解法同樣，全部數進行異或，不過最終獲得的結果是 a、b 和 c（假設 a、b 和 c 是落單的數字）三個值的異或結果 aXORbXORc，沒有直接獲得 a、b 和 c 的值；

第二步：想辦法獲得 a、b 和 c 中的一個，讓偶們把問題簡化一下；

假設一個數組中有3個不一樣的數字 a、b 和 c，已知 aXORbXORc = a ^ b ^ c ，求 a、b 和 c 。

思路：1. 根據題目aXORbXORc ^ a = b ^ c;aXORbXORc ^ b = a ^ c;aXORbXORc ^ c = a ^ b;由於：(b ^ c) ^ (a ^ c) ^ (a ^ b) = 0;因此：(aXORbXORc ^ a) ^ (aXORbXORc ^ b) ^ (aXORbXORc ^ c) = 0;

下一步是關鍵：假設 X ^ Y ^ Z = 0，則 X Y Z 三個數的低位第一位爲1的位置兩個相同，一個不一樣；好比 X: 00001000, Y: 00000100, Z: 00001100Y和Z的低位第一位都是00000100， X的低位第一位是00001000；這一步可使用倒推法證實：已知：三個數的低位第一位爲1的位置有三種狀況，一種就是全相同，一種就是兩個不一樣，一個不一樣，一種就是三個不一樣；（1）若是是全相同，則 X ^ Y ^ Z != 0 (1 ^ 1 ^ 1 = 1)，與前提X ^ Y ^ Z = 0矛盾，不成立；（2）若是三個不一樣，則 X ^ Y ^ Z != 0 (1 ^ 0 ^ 0 = 1)，與前提X ^ Y ^ Z = 0矛盾，不成立；因此結果是：兩個不一樣，一個不一樣
(aXORbXORc ^ a) ^ (aXORbXORc ^ b) ^ (aXORbXORc ^ c) = 0; 因此三個數(aXORbXORc ^ a)、(aXORbXORc ^ b) 和 (aXORbXORc ^ c) 的低位第一位爲1的位置兩個相同，一個不一樣；那麼咱們獲取到這三個數的低位第一位爲1的位置後，進行異或並取低位第一位爲1的位置，就能夠找到三個中「一個不一樣」的低位第一位爲1的位置，假設這個值爲 firstOneBit。
遍歷這三個數(aXORbXORc ^ a)、(aXORbXORc ^ b) 和 (aXORbXORc ^ c)，若是發現某個數異或 aXORbXORc 等於 firstOneBit，這個數就是「一個不一樣」的那個數；
找到了一個數，剩下的兩個數，咱們就能夠經過上面的方法找出來；

第三步：完成了第二步的簡化題，咱們回到咱們的問題，咱們的問題比簡化的問題多了一個成對的干擾數據，咱們可使用異或要去除干擾數據（記住，咱們這個題目都是用異或i去除干擾數據的）；

這樣咱們的時間複雜度仍是 O(n)，空間複雜度是 O(1)

代碼以下：

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061

#include#includeusingnamespacestd;intgetFirstOneBit(intnum)//輸出 num 的低位中的第一個 1 的位置 {returnnum&~(num-1);// num 與 -num 相與找到}voidfindTwo(int*array,intlength){intaXORb=0;intfirstOneBit=0;inta=0;intb=0;for(inti=0;i<length;i++){aXORb^=array[i];}assert(aXORb!=0);//保證題目要求，有兩個single的數字firstOneBit=getFirstOneBit(aXORb);for(inti=0;i<length;++i){if(array[i]&firstOneBit){a^=array[i];}}b=aXORb^a;cout<<"a: "<<a<<endl;cout<<"b: "<<b<<endl;}intfindOne(int*array,intlength){intaXORbXORc=0;intc=0;intfirstOneBit=0;for(inti=0;i<length;++i){aXORbXORc^=array[i];}for(inti=0;i<length;++i){firstOneBit^=getFirstOneBit(aXORbXORc^array[i]);//使用異或會排除掉不相干的元素}// firstOneBit = getFirstOneBit(a ^ b) ^ getFirstOneBit(a ^ c) ^ getFirstOneBit(b ^ c);firstOneBit=getFirstOneBit(firstOneBit);//獲取到最低位下面要用for(inti=0;i<length;++i){if(getFirstOneBit(aXORbXORc^array[i])==firstOneBit){c^=array[i];//使用異或會排除掉不相干的元素}}cout<<"c: "<<c<<endl;returnc;}intmain(){intarray1[]={2,5,8,2,5,8,6,7,1};intc=findOne(array1,9);intarray2[]={2,5,8,2,5,8,6,7,1,c};//爲了更好重用函數，我從新定義了一個數組讓你們理解findTwo(array2,10);return0;}