染色法求解「微信羣覆蓋」，沒收穫你錘我！

題目：求微信羣覆蓋

微信有不少羣，現進行以下抽象：
(1) 每一個微信羣由一個惟一的gid標識；
(2) 微信羣內每一個用戶由一個惟一的uid標識；
(3) 一個用戶能夠加入多個羣；
(4) 羣能夠抽象成一個由不重複uid組成的集合，例如：
g1{u1, u2, u3}
g2{u1, u4, u5}
能夠看到，用戶u1加入了g1與g2兩個羣。
畫外音，注意：
gid和uid都是uint64；
集合內沒有重複元素；

假設微信有M個羣(M爲億級別)，每一個羣內平均有N個用戶(N爲十級別).

如今要進行以下操做：
(1) 若是兩個微信羣中有相同的用戶，則將兩個微信羣合併，並生成一個新微信羣；
例如，上面的g1和g2就會合併成新的羣：
g3{u1, u2, u3, u4, u5}；
畫外音：集合g1中包含u1，集合g2中包含u1，合併後的微信羣g3也只包含一個u1。
(2) 不斷的進行上述操做，直到剩下全部的微信羣都不含相同的用戶爲止；
將上述操做稱：求羣的覆蓋。

設計算法，求羣的覆蓋，並說明算法時間與空間複雜度。
畫外音：58同城2013年校招筆試題。

前文《暴力法求解「微信羣覆蓋」》，經過如下四個步驟，實施了求解：
(1) 先初始化M個集合，用集合來表示微信羣gid與用戶uid的關係；
(2) 找到哪兩個集合須要合併；
(3) 對有重複元素的集合，進行集合合併；
(4) 迭代步驟二和步驟三，遍歷全部集合對，有相同元素的持續合併，直到算法結束；

但總的來講，暴力法效率很是低，《暴力法求解「微信羣覆蓋」》同時提出了幾個優化方向，今天重點討論第一個優化方向：能不能一次合併多個集合？

暴力法中，判斷兩個集合set<i>和set<j>是否須要合併，思路是：遍歷set<i>中的全部element，看在set<j>中是否存在，若是存在，說明存在交集，則須要合併。

哪些集合可以一次性合併？

當某些集合中包含同一個元素時，能夠一次性合併。

怎麼一次性發現，哪些集合包含同一個元素，併合並去重呢？

回顧一下工做中的相似需求：
M個文件，每一個文件包含N個用戶名，或者N個手機號，如何合併去重？
最多見的玩法是：
cat file_1 file_2 … file_M | sort | uniq > result

這裏的思路是什麼？
(1) 把M*N個用戶名/手機號輸出；
(2) sort排序，排序以後相同的元素會相鄰；
(3) uniq去重，相鄰元素若是相同只保留一個；

「排序以後相同的元素會相鄰」，就是一次性找出全部可合併集合的關鍵，這是染色法的核心。

舉一個栗子：
假設有6個微信羣，每一個微信羣有若干個用戶：
s1={1,0,5} s2={3,1} s3={2,9}
s4={4,6} s5={4,7} s6={1,8}
假設使用樹形set來表示集合。

首先，給同一個集合中的全部元素染上相同的顏色，表示來自同一個集合。

而後，對全部的元素進行排序，會發現：

• 相同的元素必定相鄰，而且必定來自不一樣的集合
• 同一個顏色的元素被打散了

這些相鄰且相同的元素，來自哪個集合，這些集合就是須要合併的，如上圖：

• 粉色的1來自集合s1，紫色的1來自集合s2，黃色的1來自集合s6，因此s1s2s6須要合併
• 藍色的4來自集合s4，青色的4來自集合s5，因此s4s5須要合併

不用像暴力法遍歷全部的集合對，而是一個排序動做，就能找到全部須要合併的集合。
畫外音：暴力法一次處理2個集合，染色法一次能夠合併N個集合。

集合合併的過程，能夠想象爲，相同相鄰元素所在集合，染成第一個元素的顏色：

• 紫色和黃色，染成粉色
• 青色，染成藍色

最終，剩餘三種顏色，也就是三個集合：
s1={0,1,3,5,8}
s3={2,9}
s4={4,6,7}

神奇不神奇！！！

染色法有意思麼？但仍有兩個遺留問題：
(1) 粉色1，紫色1，黃色1，三個元素如何找到這三個元素所在的集合s1s2s6呢？
(2) s1s2s6三個集合如何快速合併？
畫外音：假設總元素個數n=MN，若是使用樹形set，合併的複雜度爲O(nlg(n))，即O(MNlg(M*N))。

或許有朋友會問，怎麼來排序？
《拜託，面試別再問我基數排序了！》
《拜託，面試別再問我計數排序了！》
《拜託，面試別再問我桶排序了！》
以前介紹了三種，時間複雜度是線性的排序算法。本例中，基數排序和桶排序都是很是不錯的選擇。

仍是那句話，思路比結論更重要，進一步的優化，且聽下回分解。

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