四種規劃-數學建模

1.線性規劃　　-->Liner Programming(LP)

　　1）目標函數+約束條件（均爲線性函數）

　　　　a.目標函數

　　　　b.約束條件：等式約束和不等式約束

　　2）化爲標準Matlab形式(min,<=)

　　　　[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS)

clear all;
c=[2;3;-5];
A=[-2,5,-1;1,3,1];
b=[-10;12];
Aeq=[1,1,1];
beq=7;
x=linprog(-c,A,b,Aeq,beq,zeros(1,3));
value=c'*x;

　　3）能夠轉化爲線性規劃的問題

　　　　a.　　min |x1|+|x2|+...+|xn|　　s.t.　　Ax<=b　　目標函數不是線性函數，但能夠經過u,v轉換化爲線性規劃問題

　　　　b.運輸問題（產銷平衡）

　　　　c.指派問題（指派n我的作n項工做）　　-->若第i我的去作第j件工做，xij=1,不然xij=0;(0-1規劃問題)

　　　　　　　匈牙利算法：將係數矩陣進行變換

　　4）對偶理論

　　　　a.將等式約束轉化爲不等式約束

　　　　b.根據對偶理論已知對偶問題的最優解來求解原問題的最優解

　　5）靈敏度分析和參數線性規劃

　　6）投資的收益和風險問題

　　　　a.模型假設：整體風險用投資項目中風險最大的一個來度量；n中資產投資項目相互獨立

　　　　b.模型創建：創建風險目標函數和收益目標函數，收益目標函數中忽略交易定額的影響

　　　　c.將多目標規劃模型轉化爲單目標規劃模型（1.將其中一個目標函數界定爲約束條件；2.經過權重將多目標函數化爲單目標函數）

　　　　d.Matlab編程進行模型求解

　　　　e.以界定最大風險值爲a將風險目標函數化爲約束條件爲例：從a=0開始，以步長爲0.001進行循環搜索最佳風險度

clc,clear
a=0;
hold on
while a<0.05　　%界定最大風險度爲0.05
    c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];　　%收益目標函數係數矩陣
    A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];　　%風險係數矩陣，zeros(4,1)爲銀行存款無風險，diag將向量轉化爲對角矩陣
    b=a*ones(4,1);
    Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];
    beq=1;
    LB=zeros(5,1);
    [x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);
    Q=-Q;
    plot(a,Q,'*r');
    a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')

　　　　f.結果分析

2.整數規劃

　　1）分支定界法　　-->先求解線性規劃問題獲得最優解，分支，定界，剪枝

　　2）割平面法

　　3）隱枚舉法　　-->試探出一個可行解，增長一個新的約束條件，窮舉法求解（不知足新建約束的無需計算）

　　4）匈牙利法　　-->對係數矩陣進行變換獲得一個每行每列都含0元素的矩陣

　　5）蒙特卡洛法　　-->隨機取樣

　　6）0-1變量問題

　　　　a.相互排斥的計劃（投資場所的選定）

　　　　b.相互排斥的約束

3.非線性規劃

　　1）x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,LB,UB,NONLCON,options)

clc,clear
options=optimset('largescale','off');
[x,y]=fmincon('ques02_fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'ques02_fun2',options);
function f=ques02_fun1(x);
f=sum(x.^2)+8;
function [g,h]=ques02_fun2(x);
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
    x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];
h=[-x(1)-x(2)^2+2
    x(2)+2*x(3)^2-3];

　　2)迭代求解非線性規劃　　-->步長t和方向p

　　3）凸規劃　　-->目標函數與約束條件爲凸函數，則其可行域爲凸集，且局部最優解即爲全劇最優解

　　4）無約束問題

　　　　a.一維搜索法　　-->沿着某一已知方向求目標函數的極小點

　　　　b.斐波那契法　　-->根據斐波那契數列肯定探索點（對稱）

　　　　c.0.618法　　-->探索點區間縮短率固定爲0.618

　　　　d.二次插值法　　-->區間連續時，考慮用多項式插值進行一維搜索，不斷用低次多項式來近似目標函數

　　　　e.梯度法　　　　-->降低的方向沿負梯度方向（降低速度最快），終止條件爲梯度爲0或小於某一閾值

　　　　　　minf(x)=x1^2+25*x2^2

clc,clear
x=[2;2];          %初始值
[f0,g]=ques04_fun(x);
while norm(g)>0.000001  %norm求向量g的2範數  
    p=-g/norm(g);    %p爲降低的方向
    t=1.0;    %初始t爲1
    f=ques04_fun(x+t*p);   %找到是目標函數最小的t 
    while f>f0
        t=t/2;
        f=ques04_fun(x+t*p);
    end
    x=x+t*p;
    [f0,g]=ques04_fun(x);
end
x,f0
function [f,df]=ques04_fun(x);
f=x(1)^2+25*x(2)^2;     %目標函數
df=[2*x(1)       %梯度函數     
    50*x(2)];     

　　　　f.牛頓法　　-->降低的方向爲p^k=-[▽^2f(x^k)]^(-1)▽f(x^k),收斂速度快，但維數較高時計算量大（須要求解二階導數矩陣及其逆）

clc,clear
x=[2;2];
[f0,g1,g2]=ques05_fun(x);
while norm(g1)>0.00001
    p=-inv(g2)*g1;
    p=p/norm(p);
    t=1.0;
    f=ques05_fun(x+p*t);
    while f>f0
        t=t/2;
        f=ques05_fun(x+p*t);
    end
    x=x+t*p;
    [f0,g1,g2]=ques05_fun(x);
end
x,f0
function [f,df,d2f]=ques05_fun(x);
f=x(1)^4+25*x(2)^4+x(1)^2*x(2)^2;
df=[4*x(1)^3+2*x(1)*x(2)^2
    100*x(2)^3+x(1)^2*2*x(2)];
d2f=[12*x(1)^2+2*x(2)^2,4*x(1)*x(2)
    4*x(1)*x(2),300*x(2)^2+2*x(1)^2];

　　　　g.變尺度法　　　　-->構造一個矩陣H來逼近二階導矩陣的逆矩陣，H0爲單位矩陣，以後按式18獲得

　　　　h.直接法　　　　-->目標函數不可導或難以解析

　　　　i.Matlab解無約束極值問題　　-->fminunc　　fminsearch

　　　　　　[x,fval]=fminunc(fun,x0,options,p1,p2,...)　　->fun爲一個m文件，返回值爲（目標函數，一階導數陣，二階導數陣），p1,p2爲傳遞給fun的參數

clc,clear
options=optimset('GradObj','on');
[x,fvl]=fminunc('ques06_fun',rand(1,2),options)
function [f,g]=ques06_fun(x);
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;
g=[-200*(x(2)-x(1)^2)*2*x(1)-2*(1-x(1))
    200*(x(2)-x(1)^2)];

　　5）約束極值問題

　　　　a.二次規劃　　-->目標函數爲二次函數，約束條件線性

　　　　　　Matlab解法：[x,fval]=quadprog(h,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,options)　　-->min1/2x'Hx+f'x　　,H爲二次項係數矩陣，f爲一次項係數

clc,clear
H=[4,-4;-4,8];
f=[-6;-3];
A=[1,1;4,1];
b=[3,9];
[x,value]=quadprog(H,f,A,b,[],[],zeros(2,1))

　　　　b.罰函數法　　-->將約束條件轉化爲適當的罰函數構造增廣目標函數，轉化爲無約束非線性規劃問題　　SUMT

　　6)Matlab優化工具箱：　　fminbnd(單變量非線性函數在區間上）　　fseminf(半無窮約束）　　fminimax(目標函數爲最大最小值型）　　fmincon-->能夠使用梯度降低法，見例13

4.動態規劃　　　　-->求解以時間劃分階段的動態過程的優化問題

　　1）基本概念：階段、狀態X、決策U、策略P（決策集合）、狀態轉移方程T、指標函數V（衡量過程優劣的數量指標，和、積、最大、最小）、最優策略（使指標函數達到最優值的策略）、最優軌線