有趣的 zkw 線段樹（超全詳解）

時間  2019-11-17
標籤 有趣 zkw 線段 詳解 简体版
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zkw segment-tree 真是太棒了（真的重口味）！寫篇博客記念入門node

 

emmm...首先咱們來介紹一下 zkw 線段樹這個東西（俗稱 "重口味" ，與 KMP 相似，咳咳...）ios



zkw 線段樹的介紹

其實 zkw 線段樹和普通線段樹區別沒多大（區別可大了去了！）git

emmm...起碼它們的思想是一致的，都是節點維護區間信息嘛。數組

只不過...普通線段樹的維護和查詢是遞歸式，而 zkw線段樹是循環式的...ide

可是不要覺得 zkw線段樹只是靠循環加速上位的！ui

zkw線段樹能支持很是多強（luan）如（qi）閃（ba）電（zao）的操做（最後例題講）。lua

 

 

 

 zkw 線段樹 與普通線段樹 的比較

 

emmm...這裏你看着 普通線段樹 的節點比 zkw線段樹 的小對吧，但其實二者差很少，（由於線段樹是要開4倍空間的啊，這裏只是沒有畫出用不到的節點罷了），spa

 

 

zkw 線段樹的形態

其實上圖...仍是沒法體現zkw 線段樹的具體形態的，（可是相信聰明的你必定看懂了因此我就不講了）.net

emmm...因而乎仍是上圖解釋一切3d

 

 

zkw 線段樹的創建

 

首先你要寫個循環，讓 m 這個值（也就是非葉子節點）大於 n （也就是總葉子結點數），以此保證 這棵樹的葉子 可以容納你要維護的 n 個值

而後你要從 m 倒推 到 1 號節點（注意是 m 倒推回 1 ，保證維護每一個節點時該節點的孩子都已經被維護完畢），讓每一個節點維護它左右孩子的信息。

 

 

代碼實現

這裏咱們假設要維護的信息有：區間和，區間最小值，區間最大值 。 下同

inline void build(int n){
//  維護這麼多信息都只須要這麼幾行，可見維護信息單一時代碼應該會短的不像話（壓行過的話大概三四行）
    for(m=1;m<=n;m<<=1);
    for(int i=m+1;i<=m+n;++i)
        sum[i]=mn[i]=mx[i]=read();
    for(int i=m-1;i;--i)
        sum[i]=a[i<<1]+a[i<<1|1],
        mn[i]=min(mn[i<<1],mn[i<<1|1]),
        mx[i]=max(mx[i<<1],mx[i<<1|1]);
}


可是，這裏對 mn 和 mx 的處理是在無修改操做的基礎上實行的，因此這樣寫並不支持修改操做。

 

那麼咱們能夠這樣寫：

inline void build(){
    for(m=1;m<=n;m<<=1);
    for(int i=m+1;i<=m+n;++i)
        sum[i]=mn[i]=mx[i]=read();
    for(int i=m-1;i;--i){
        sum[i]=sum[i<<1]+sum[i<<1|1];
        
        mn[i]=min(mn[i<<1],mn[i<<1|1]),
        mn[i<<1]-=mn[i],mn[i<<1|1]-=mn[i];
        
        mx[i]=max(mx[i<<1],mx[i<<1|1]),
        mx[i<<1]-=mx[i],mx[i<<1|1]-=mx[i];
    }
}

PS：如下的操做（單點、區間更新，單點、區間查詢）所附的代碼，都基於可修改的版本

 

 

zkw 線段樹的更新

單點更新

這個單點更新仍是比較好解決的，你只要找到更新的節點所在的葉子結點，而後修改後一直向父節點更新便可。

（這個。。。就不用上圖了吧...你腦補一下就差很少了）

 

代碼實現

這裏咱們假設將一個節點的值增長 v （修改的話...就記錄一下原數組，而後算差值就行了吧？）

inline void update_node(int x,int v,int A=0){
    x+=m,mx[x]+=v,mn[x]+=v;for(;x>1;x>>=1){
        sum[x]+=v;
        A=min(mn[x],mn[x^1]);
        mn[x]-=A,mn[x^1]-=A,mn[x>>1]+=A;
        A=max(mx[x],mx[x^1]),
        mx[x]-=A,mx[x^1]-=A,mx[x>>1]+=A;
    }
}

 

 

 

區間更新

這個東西...有點麻煩（你得稍微感性理解）。

就是說...你每次要更新一段區間的時候，你要讓左端點 -1 ，右端點 +1 。

而後你在更新權值的時候要判斷 左端點當前所處的節點是不是它父節點的左孩子，

是的話就讓該節點的兄弟（也就是它父節點的右孩子）獲得更新，不然不作處理，

而後左節點再向右移一位（也就是跳到了父節點），重複迭代以上步驟。

那麼右端點呢？其實也就是和左端點反着來了而已。

還有一點，循環的終止條件？這個簡單，就是當左右端點所處的節點是兄弟節點的時候結束循環。

相似的，你更新一個節點時 一樣能夠用這種方法維護（只不過這樣就更麻煩了啊）。

這樣咱們能夠看到要被更新的區間都已經被染成黃色了。可是，zkw 沒有下傳標記啊！

那麼咱們查詢的區間若是在染成黃色的節點的下部（也就是黃色節點的子樹內）該怎麼辦？

咱們能夠這樣...這樣...沒錯！標記永久化！

由於咱們已經將一個節點的標記永久化了，那麼在該節點被訪問到的時候，只要將當前查詢到的、包含在該節點所管轄區間範圍內的  區間長度乘上標記值，累加入答案便可。

（具體實現得看代碼）

 

 

區間更新的特殊狀況

 

同窗們有沒有注意到一種區間查詢的特殊狀況？沒錯，就是右區間+1後到達下一層的特殊狀況

就以上圖爲例，假設維護區間爲 1 ~ 7 ，如今對 2 ~ 7 進行區間加操做，那麼  t = 7+1 = 8 ，因而 t 就到達了不存在的第 5 層！

如今你想的必定是這種狀況該怎麼避免這種狀況（其實很簡單，你在建樹肯定 m 的值的時候，將判斷條件改爲 " m<=n+1 " 就好了）

但我如今要證實這種狀況不須要避免也不會出問題（基本上...吧？）

 

 

 

咱們能夠看到，s 和 t 在跳到 0 和 1 時知足了終止條件，而且須要更新的節點都獲得了更新，並且，其實 t 就沒有更新過節點...

 

 

代碼實現

這裏咱們假設要將一段區間的每一個數加上 v ，而後維護的信息同上

inline void update_part(int s,int t,int v){
    int A=0,lc=0,rc=0,len=1; 
    for(s+=m-1,t+=m+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,len<<=1){ //在這裏的 add 就是標記數組了
        if(s&1^1) add[s^1]+=v,lc+=len, mn[s^1]+=v,mx[s^1]+=v;
        if(t&1)    add[t^1]+=v,rc+=len, mn[t^1]+=v,mx[t^1]+=v;
        
        sum[s>>1]+=v*lc, sum[t>>1]+=v*rc;
        
        A=min(mn[s],mn[s^1]),mn[s]-=A,mn[s^1]-=A,mn[s>>1]+=A,
        A=min(mn[t],mn[t^1]),mn[t]-=A,mn[t^1]-=A,mn[t>>1]+=A;
        
        A=max(mx[s],mx[s^1]),mx[s]-=A,mx[s^1]-=A,mx[s>>1]+=A,
        A=max(mx[t],mx[t^1]),mx[t]-=A,mx[t^1]-=A,mx[t>>1]+=A;
    }
    for(lc+=rc;s>1;s>>=1){
        sum[s>>1]+=v*lc;
        A=min(mn[s],mn[s^1]),mn[s]-=A,mn[s^1]-=A,mn[s>>1]+=A,
        A=max(mx[s],mx[s^1]),mx[s]-=A,mx[s^1]-=A,mx[s>>1]+=A;
    }
}

這裏的 lc 和 rc 的所表明的含義須要講一下

lc 表明左端點所處的節點下有多少長度的區間在更新區間內, rc 同理 ，通俗一點地說，就是 s 和 t 所分別走過的節點中包含的更新過的區間的總長

 

 

 

 

zkw線段樹的查詢

 

單點查詢

這個沒什麼好說的吧，你從葉子結點一直跳父節點，把途中節點的 mn （或者 mx ）權值累加，最後獲得的就是答案

 

代碼實現

inline int query_node(int x,int ans=0){
    for(x+=m;x;x>>=1) ans+=mn[s];
    return ans;
}

 

 

 

區間查詢

什麼？zkw線段樹的區間查詢？我不會啊。     

那麼這裏的區間查詢...其實有點難說啊！要不就直接上代碼得了？咳咳...

這個其實和上面的區間更新的思路差很少，可能要講的就是標記累加的問題了吧。

那麼 lc 和 rc 以前已經講過了，就是 s 節點和 t 節點分別走過的節點中所包含的更新區間的長度。

那麼 add 這個數組啊...啊...啊...這個數組啊，它...要不咱們直接看代碼吧？

它好在哪裏啊？好難說啊...其實它就是記錄了你每次大塊累加區間時的副產品啊，相似於線段樹的懶標記。

可是和普通線段樹不同的是，線段樹的查詢是自上而下查詢（順便釋放標記）而後又自下而上的遞歸回去的，

而 zkw 的查詢是直接自下而上的，因而它沒法釋放標記，因而它就在遇到某個打過懶標記的節點時，將當前查詢到的區間長度乘上標記值，累加入答案。

（因此這仍是懶標記啊！不上圖了自行腦補。emmm...算了吧那仍是上一張圖好了）

 

代碼實現

inline int query_sum(int s,int t){
    int lc=0,rc=0,len=1,ans=0;
    for(s+=m-1,t+=m+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,len<<=1){
        if(s&1^1) ans+=sum[s^1]+len*add[s^1],lc+=len;
        if(t&1) ans+=sum[t^1]+len*add[t^1],rc+=len;
        
        if(add[s>>1]) ans+=add[s>>1]*lc;
        if(add[t>>1]) ans+=add[t>>1]*rc; 
    }
    for(lc+=rc,s>>=1;s;s>>=1)
        if(add[s]) ans+=add[s]*lc;
    return ans;
}

inline int query_min(int s,int t,int L=0,int R=0,int ans=0){
    if(s==t) return query_node(s);  // 單點要特判, 下同
    for(s+=m,t+=m;s^t^1;s>>=1,t>>=1){ // 這裏 s 和 t 直接加上 m
        L+=mn[s],R+=mn[t];
        if(s&1^1) L=min(L,mn[s^1]);
        if(t&1) R=min(R,mn[t^1]);
    }
    for(ans=min(L,R),s>>=1;s;s>>=1) ans+=mn[s];
    return ans;
}

inline int query_max(int s,int t,int L=0,int R=0,int ans=0){
    if(s==t) return query_node(s);
    for(s+=m,t+=m;s^t^1;s>>=1,t>>=1){
        L+=mx[s],R+=mx[t];
        if(s&1^1) L=max(L,mx[s^1]);
        if(t&1) R=max(R,mx[t^1]);
    }
    for(ans=max(L,R),s>>=1;s;s>>=1) ans+=mx[s];
    return ans;
}

這裏詢問時 s 和 t 不能 -1 或 +1 ，否則會查詢到旁邊不相干的節點。

而後 s == t 的狀況要特判一下，防止 s 和 t 一直都不是兄弟，陷入死循環。

 

 

 

zkw 的代碼實現（模板）

 

徹底代碼

 

  1 //by Judge
  2 #include<cstdio>
  3 #include<iostream>
  4 using namespace std;
  5 const int M=1e5+111;
  6 //#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
  7 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
  8 inline int read(){
  9     int x=0,f=1; char c=getchar();
 10     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
 11     for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
 12 }
 13 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
 14 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
 15 inline void print(int x){
 16     if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
 17     while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
 18     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
 19 }
 20 int n,m,q;
 21 int sum[M<<2],mn[M<<2],mx[M<<2],add[M<<2];
 22 inline void build(){
 23     for(m=1;m<=n;m<<=1);
 24     for(int i=m+1;i<=m+n;++i)
 25         sum[i]=mn[i]=mx[i]=read();
 26     for(int i=m-1;i;--i){
 27         sum[i]=sum[i<<1]+sum[i<<1|1];
 28         mn[i]=min(mn[i<<1],mn[i<<1|1]),
 29         mn[i<<1]-=mn[i],mn[i<<1|1]-=mn[i];
 30         mx[i]=max(mx[i<<1],mx[i<<1|1]),
 31         mx[i<<1]-=mx[i],mx[i<<1|1]-=mx[i];
 32     }
 33 }
 34 inline void update_node(int x,int v,int A=0){
 35     x+=m,mx[x]+=v,mn[x]+=v,sum[x]+=v;
 36     for(;x>1;x>>=1){
 37         sum[x]+=v;
 38         A=min(mn[x],mn[x^1]);
 39         mn[x]-=A,mn[x^1]-=A,mn[x>>1]+=A;
 40         A=max(mx[x],mx[x^1]),
 41         mx[x]-=A,mx[x^1]-=A,mx[x>>1]+=A;
 42     }
 43 }
 44 inline void update_part(int s,int t,int v){
 45     int A=0,lc=0,rc=0,len=1;
 46     for(s+=m-1,t+=m+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,len<<=1){
 47         if(s&1^1) add[s^1]+=v,lc+=len, mn[s^1]+=v,mx[s^1]+=v;
 48         if(t&1)    add[t^1]+=v,rc+=len, mn[t^1]+=v,mx[t^1]+=v;
 49         sum[s>>1]+=v*lc, sum[t>>1]+=v*rc;
 50         A=min(mn[s],mn[s^1]),mn[s]-=A,mn[s^1]-=A,mn[s>>1]+=A,
 51         A=min(mn[t],mn[t^1]),mn[t]-=A,mn[t^1]-=A,mn[t>>1]+=A;
 52         A=max(mx[s],mx[s^1]),mx[s]-=A,mx[s^1]-=A,mx[s>>1]+=A,
 53         A=max(mx[t],mx[t^1]),mx[t]-=A,mx[t^1]-=A,mx[t>>1]+=A;
 54     }
 55     for(lc+=rc;s;s>>=1){
 56         sum[s>>1]+=v*lc;
 57         A=min(mn[s],mn[s^1]),mn[s]-=A,mn[s^1]-=A,mn[s>>1]+=A,
 58         A=max(mx[s],mx[s^1]),mx[s]-=A,mx[s^1]-=A,mx[s>>1]+=A;
 59     }
 60 }
 61 inline int query_node(int x,int ans=0){
 62     for(x+=m;x;x>>=1) ans+=mn[x]; return ans;
 63 }
 64 inline int query_sum(int s,int t){
 65     int lc=0,rc=0,len=1,ans=0;
 66     for(s+=m-1,t+=m+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,len<<=1){
 67         if(s&1^1) ans+=sum[s^1]+len*add[s^1],lc+=len;
 68         if(t&1) ans+=sum[t^1]+len*add[t^1],rc+=len;
 69         if(add[s>>1]) ans+=add[s>>1]*lc;
 70         if(add[t>>1]) ans+=add[t>>1]*rc; 
 71     }
 72     for(lc+=rc,s>>=1;s;s>>=1) if(add[s]) ans+=add[s]*lc;
 73     return ans;
 74 }
 75 inline int query_min(int s,int t,int L=0,int R=0,int ans=0){
 76     if(s==t) return query_node(s);
 77     for(s+=m,t+=m;s^t^1;s>>=1,t>>=1){
 78         L+=mn[s],R+=mn[t];
 79         if(s&1^1) L=min(L,mn[s^1]);
 80         if(t&1) R=min(R,mn[t^1]);
 81     }
 82     for(ans=min(L,R),s>>=1;s;s>>=1) ans+=mn[s];
 83     return ans;
 84 }
 85 inline int query_max(int s,int t,int L=0,int R=0,int ans=0){
 86     if(s==t) return query_node(s);
 87     for(s+=m,t+=m;s^t^1;s>>=1,t>>=1){
 88         L+=mx[s],R+=mx[t];
 89         if(s&1^1) L=max(L,mx[s^1]);
 90         if(t&1) R=max(R,mx[t^1]);
 91     }
 92     for(ans=max(L,R),s>>=1;s;s>>=1) ans+=mx[s];
 93     return ans;
 94 }
 95 
 96 signed main(){
 97     
 98     
 99     
100     
101     
102     return 0;
103 }
View Code

 

 

 

板子題？這個真沒有...（不過你能夠拿普通線段樹的板子題等練手）

默默放上線段樹板子題的連接... 

　　1. 線段樹 1 

　　2. 線段樹 2

代碼

1.

 1 //by Judge
 2 #include<cstdio>
 3 #include<iostream>
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 const int M=1e5+111;
 7 //#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 8 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
 9 inline ll read(){
10     ll x=0,f=1; char c=getchar();
11     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
12     for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
13 }
14 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
15 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
16 inline void print(ll x){
17     if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
18     while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
19     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
20 }
21 ll n,m,q;
22 ll sum[M<<2],add[M<<2];
23 inline void build(){
24     for(m=1;m<=n;m<<=1);
25     for(int i=m+1;i<=m+n;++i) sum[i]=read();
26     for(int i=m-1;i;--i) sum[i]=sum[i<<1]+sum[i<<1|1];
27 }
28 inline void update_part(int s,int t,ll v){
29     ll A=0,lc=0,rc=0,len=1;
30     for(s+=m-1,t+=m+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,len<<=1){
31         if(s&1^1) add[s^1]+=v,lc+=len;
32         if(t&1)    add[t^1]+=v,rc+=len;
33         sum[s>>1]+=v*lc,sum[t>>1]+=v*rc;
34     } for(lc+=rc,s>>=1;s;s>>=1) sum[s]+=v*lc; 
35 }
36 inline ll query_sum(int s,int t){
37     ll lc=0,rc=0,len=1,ans=0;
38     for(s+=m-1,t+=m+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,len<<=1){
39         if(s&1^1) ans+=sum[s^1]+len*add[s^1],lc+=len;
40         if(t&1) ans+=sum[t^1]+len*add[t^1],rc+=len;
41         if(add[s>>1]) ans+=add[s>>1]*lc;
42         if(add[t>>1]) ans+=add[t>>1]*rc; 
43     } for(lc+=rc,s>>=1;s;s>>=1) if(add[s]) ans+=add[s]*lc;
44     return ans;
45 }
46 signed main(){
47     n=read(),q=read(),build();
48     int opt,x,y; ll k;
49     while(q--){
50         opt=read(),x=read(),y=read();
51         if(opt&1) k=read(),update_part(x,y,k);
52         else print(query_sum(x,y));
53     } Ot(); return 0;
54 }
View Code

 

2.

emmm...實在是太晚啦（實際上是沒有研究過區間乘），因此就...您就自個兒研究吧~~~

 

 

推薦例題

 

題目：  無聊的數列

 

其實這道題用普通線段樹 + 懶標記也能夠作 （你能夠試試？）

可是用了 zkw 以後...那個代碼量的差異，我都不想說什麼...（誒？貌似普通線段樹用了標記永久化以後差很少也是這個碼量？）

 

代碼

 1 //by Judge
 2 #include<cstdio>
 3 #include<iostream>
 4 using namespace std;
 5 const int M=1<<20;
 6 int n,m,q,opt,L,R,k,d;
 7 int a[M],lt[M],dt[M];
 8 //#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 9 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
10 inline int read(){
11     int x=0,f=1; char c=getchar();
12     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
13     for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
14 }
15 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
16 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
17 inline void print(int x){
18     if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
19     while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
20     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n'; Ot();
21 }
22 inline void build(){
23     for(int i=m;i;--i) lt[i]=lt[i<<1];
24 }
25 inline void update(int L,int R,int k,int d){ //update 仍是蠻常規的
26     for(int l=L+m-1,r=R+m+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1){
27         if(l&1^1) a[l^1]+=k+(lt[l^1]-L)*d,dt[l^1]+=d;
28         if(r&1) a[r^1]+=k+(lt[r^1]-L)*d,dt[r^1]+=d;
29     }
30 }
31 inline int query(int p,int res){ //query 感性理解一下：非葉子節點存儲的是附加值，也就是操做 1 當中加入的等差數列
32     for(int i=m+p;i;i>>=1) res+=a[i]+(p-lt[i])*dt[i];
33     return res;
34 }
35 int main(){
36     n=read(),q=read(); for(m=1;m<=n;m<<=1); printf("%d\n",m);
37     for(int i=1;i<=n;++i) a[m+i]=read(),lt[m+i]=i;
38     build();
39     while(q--){
40         opt=read();
41         if(opt&1) L=read(),R=read(),k=read(),d=read(),update(L,R,k,d);
42         else k=read(),print(query(k,0));
43     } Ot(); return 0;
44 }
View Code

 

 

 

 

 

 

最後推薦一下：  某位大佬的 blog （寫的也蠻詳細的但沒我詳細，emmm...可是他那片博客裏的區間求最值是錯的，坑！）

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