9.4 關係的閉包

#9.4 關係的閉包

###閉包的定義: <font size=3>

關係R對於性質P的閉包，是加入最小數量的序偶，使得R剛好符合性質P所獲得的集合
R的閉包R₁具備以下3個特色:
①. R₁ 包含 R
②. R₁具備性質P
③. 若是R₂具備性質P且R₂包含R， 那麼R₂包含R₁

###就R的有向圖而言:

1. 找其自反閉包(reflexive closure)

添加循環/閉環

1. 找其對稱閉包(symmetric closure)

沿相反方向添加弧線(箭頭)

1. 找其傳遞閉包(transitive closure)

若是a到b連通， 那麼就添加從a到b的弧線(箭頭)

<font color=#00ffff>自反閉包(reflexive closure)</font>
定理:R是定義在A上的關係，那麼R的自反閉包r(R) = R∪△
如何得到？

①. 在R的有向圖的全部頂點上添加閉環
②. 令R的鄰接矩陣的對角線上全爲1

<font color=#00ffff>對稱閉包(symmetric closure)</font>

定理①:R是定義在A上的關係，那麼R的對稱閉包s(R) = R∪R^-1
NOTE: R^-1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}
NOTE: R^-1的鄰接矩陣是R的鄰接矩陣的轉置，
即: M_R^T = M_R^-1

定理②:R是對稱的，當且僅當 R = R^-1
NOTE:在對稱關係的有向圖中，用無向的邊來代替弧線(箭頭)

##路徑(Paths)

假設R爲定義在A上的關係，則R從a到b，長度爲n的路徑可表示爲以a爲起始點，b爲終點的一個有限序列π:
a, x₁, x₂, ..., x_n-1, b;
其中,知足:a R x₁, x₁ R x₂, ..., x_n-1 R b

例:

####一些重要定義:

• 環(cycle):

一條起始點和終點爲相同頂點的路徑稱爲:環(cycle)

• Rⁿ:

x Rⁿ y表示，在R中存在一條或多條從x到y的路徑

• 連通關係(connectivity relation) R^*

R^*包含的序偶對(a, b)， 其中在R中至少存在一條從a到b的路徑

例:

####一些重要定理:

1. 若是R是定義在A上的關係，那麼有:
   其中，⊙表示矩陣布爾乘法

證實:

1. 當n>=2時，有:

證實:科學概括法(略)

##連通關係(The connectivity relation)

<font size=4 color=#00ffff>準備</font>

• 路徑的合成

令:
π₁: a, x₁, x₂, … , x_n-1, b
π₂: b, y₁, y₂, … , y_m-1, c
則π₁與π₂合成後的路徑爲:
π₂ o π₁:a, x₁, x₂, … , x_n-1, b, y₁, y₂, … , y_m-, c

NOTE THE ORDER!!!(注意順序)

• 傳遞閉包(Transitive closure)

①. 關係R的傳遞閉包是包含R的最小的傳遞關係。

②. R是傳遞的， 當且僅當，對於任何的n，均有Rⁿ ⊆ R(結論來自9.1)

③. 若是傳遞閉包存在一條從x到y的路徑，那麼必定有從x直接到y的弧線(箭頭)

• 傳遞閉包裏有用的一些結論：

①. If A ⊆ B and C ⊆ B, then (A∪C) ⊆ B.

②. If R ⊆ S and T ⊆ U then (RoT) ⊆ (SoU).

推論: If R ⊆ S then Rⁿ ⊆ Sⁿ

③. 若是R是傳遞的，那麼Rⁿ也是傳遞的 只需證實:(Rⁿ)² = (R²)ⁿ ⊂ Rⁿ

④. 若是對於j>k, 有R^k = R^j， 那麼對於某些n>=j, 有R^j+m = Rⁿ
除了R^j以外，咱們沒法獲得任何新的關係

• 一個重要定理:

R爲定義在A上的一個關係，那麼R的閉包就等於R^*

PROOF：咱們必須證實,R^∞

1). 是一個傳遞關係
2). 包含R
3). 是包含R的最小的傳遞關係

Proof of Part 1):

假設(x, y)和(y, z)都在R^*中，只需證(x, z)也在R^*中
由R^*定義知，必定存在m，n，使得(x, y)和(y, z)分別在R^m和Rⁿ中
又由複合定理，知：(x, z) ∈ RⁿoR^m = R^m+n ⊆ R^*
所以，R^*是傳遞的

Proof of Part 2):

顯然.

Proof of Part 3):

###最重要的結論:

• 若是集合A的維數 = n，即|A|=n， 那麼對於定義在A上的關係R，有:

• 等價命題:對於k<=n<=m,有1)和2)同時成立

• 1). R^m ⊆ R^k
• 2). (a, b) ⊆ R^m → (a, b) ⊆ R^k

證實其實就是去掉環，此處略

##沃舍爾算法(Warshall’s Algorithm)

須要知道:內部頂點(Interior vertices)

###大體方法:

①. 將n個節點賦予順序爲{a₁, a₂,…, a_n}, 並定義W_k = [t_ij]表示存在從第i個節點到第j個節點且僅經過內部節點{a₁, a₂,…, a_k}這k個節點(這些節點可選可不選，但除此以外的節點都不能選)的路徑連通，並記爲「1」， 不然記爲「0」
②. W₀ = 初始鄰接矩陣M_R
③. 利用W_k-1來計算W_k
④. 得連通矩陣M_R^* = W_n

###計算具體W_k的作法:

對於W_k中的t_ab
①. 若是W_k-1的s_ab == ‘1’，即僅利用{a₁, a₂,…, a_k-1}這k-1個點(固然包括第a和第b個頂點)就能使a連通到b，那麼W_k的t_ab直接 = ‘1’
②. 若是W_k-1的s_ab == ‘0’， 那麼要使僅用{a₁, a₂,…, a_k}這n個點從a連通到b， 則:
只需存在一個m(1 <= m <= k-1)，使得在W_k-1中，有：s_am == 「1」而且s_mb == 「1」(在W_k-1中，節點a到m連通，節點m到b連通， 那麼在W_k中，節點a到b連通)

例：

核心代碼：

for(int k = 1; k <= N; k++)
{
	for(int i = 1; i <= N; i++)
	{
		for(int j = 1; j <= N; j++)
		{
			if(W[k-1][i][j]=='1')
			{
				W[k][i][j] = 1;
			}
			else if(W[k-1][i][k]=='1'&&W[k-1][k][j]=='1')
			{
				W[k][i][j] = 1;
			}
		}
	}	
}

時間複雜度:O(n^3)
空間複雜度:O(n^3)

其實因爲W[k]只與W[k-1]有關，能夠只用二維數組來表示W[k-1]，而後更新W[k]的時候直接覆蓋到這個數組便可將空間複雜度壓縮成O(n^2)

實戰:Cow Contest

思路:只需求以這些牛組成有向圖的傳遞閉包(用連通矩陣表示)，再判斷每一個節點的入度+出度是否等於n-1，來判斷每頭牛可否確認排名

AC代碼:

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int n, m, a, b; //n頭牛， m個關係
    scanf("%d %d",&n,&m);
    int W[n+1][n+1];
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            W[i][j] = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        scanf("%d %d",&a,&b);
        W[a][b] = 1;  //初始賦值W[0]
    }
    //這裏即只需用一個二維數組表示W[k-1]，而後將W[k]覆蓋到W[k-1]這個二維數組上，使得空間複雜度爲:O(n^2)
    for(int k = 1; k <= n; k++)
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                //if(W[i][j]==1) // 表明第一種狀況，徹底能夠省去
                //  W[i][j] = 1;
                if(W[i][j]==0)  //表明第二種狀況
                {
                    if(W[i][k]==1&&W[k][j]==1)
                        W[i][j] = 1;
                }
            }
        }
    }
    int sumdu = 0, ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)  //判斷每一個點的入度和出度之和是否爲n-1
    {
        sumdu = 0;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(W[i][j]==1||W[j][i]==1)
                sumdu++;
        }
        if(sumdu==n-1)
            ans++;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

##OTHERS

###解決最短路徑問題有幾個經常使用的算法:

• ①. dijkstra算法,最經典的單源最短路徑算法
• ②. bellman-ford算法,容許負權邊的單源最短路徑算法
• ③. spfa,實際上是bellman-ford+隊列優化,其實和bfs的關係更密一點
• ④. floyd算法,經典的多源最短路徑算法

而Warshall算法和flody算法最具殊途同歸之妙:

flody算法:<font color=#00ffff>用W_k的t_ab表示點a到點b只用{a₁, a₂,…, a_k}這k個點和a與b所能達到的最短路徑值，和Warshall算法同樣，用W[k-1]來計算W[k],而W_n即爲全部兩點之間(即多源)最短路徑的答案</font>

• flody算法是用來求圖的多源最短路徑的算法，複雜度也爲O(n^3)
• 將連通的邊權定爲有限值(如1)，不連通的邊權定爲∞，即可以用flody算法求全部點的連通性(如i, j兩個節點的最短路徑爲有限值即連通)
• Warshall算法和flody算法都能用動態規劃的想法來理解：動態規劃深入理解flody
• 爲何 Dijkstra 不能提出 floyd 算法？由於他的名字是 ijk 而不是 kij