數學：Dijkstra算法

 

一.最短路徑的最優子結構性質

   該性質描述爲：若是P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是從頂點i到j的最短路徑，k和s是這條路徑上的一箇中間頂點，那麼P(k,s)一定是從k到s的最短路徑。下面證實該性質的正確性。

   假設P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是從頂點i到j的最短路徑，則有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是從k到s的最短距離，那麼一定存在另外一條從k到s的最短路徑P'(k,s)，那麼P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。則與P(i,j)是從i到j的最短路徑相矛盾。所以該性質得證。

 

二. Dijkstra算法

    Dijkstra(迪傑斯特拉)算法是典型的最短路徑路由算法，用於計算一個節點到其餘全部節點的最短路徑。主要特色是以起始點爲中心向外層層擴展，直到擴展到終點爲止。Dijkstra算法能得出最短路徑的最優解，但因爲它遍歷計算的節點不少，因此效率低。

 

先給出一個無向圖

用Dijkstra算法找出以A爲起點的單源最短路徑步驟以下

 

三. 代碼

Java

static int[] testDijkstra(int n,int v,int[] dist,int[] prev,int[][] c){
  
  int maxnum = 100;
  int maxint = 999999;
  
  boolean[] s = new boolean[maxnum];    // 判斷是否已存入該點到S集合中
  for(int i=1; i<=n; ++i)
  {
   dist[i] = c[v][i];
   s[i] = false;     // 初始都未用過該點
   if(dist[i] == maxint)
    prev[i] = 0;
   else
    prev[i] = v;
  }
  dist[v] = 0;
  s[v] = true;
  
  // 依次將未放入S集合的結點中，取dist[]最小值的結點，放入結合S中
  // 一旦S包含了全部V中頂點，dist就記錄了從源點到全部其餘頂點之間的最短路徑長度
          // 注意是從第二個節點開始，第一個爲源點
  for(int i=2; i<=n; ++i)
  {
   int tmp = maxint;
   int u = v;
   // 找出當前未使用的點j的dist[j]最小值
   for(int j=1; j<=n; ++j)
    if((!s[j]) && dist[j]<tmp)
    {
     u = j;              // u保存當前鄰接點中距離最小的點的號碼
     tmp = dist[j];
    }
   s[u] = true;    // 表示u點已存入S集合中
  
   // 更新dist
   for(int j=1; j<=n; ++j)
    if((!s[j]) && c[u][j]<maxint)
    {
     int newdist = dist[u] + c[u][j];
     if(newdist < dist[j])
     {
      dist[j] = newdist;
      prev[j] = u;
     }
    }
  }
  
  return dist;
 }