洛谷P2508 [HAOI2008]圓上的整點

題目描述

求一個給定的圓$ (x^2+y^2=r^2) $，在圓周上有多少個點的座標是整數。

輸入格式

\(r\)

輸出格式

整點個數

輸入輸出樣例

輸入

4

輸出

4

說明/提示

\(n\le 2000 000 000\)

思路

題目的所求能夠轉化爲
問題的所求能夠轉化爲\(y^{2}=r^2-x^2\)(其中\(x,y,r\)均爲正整數).
即\(y^2=(r-x)(r+x)\)(其中\(r,x,y\)均爲正整數)
不妨設\((r-x)=d\times u------① (r+x)=d\times v------②(\)其中\(gcd(u,v)=1\))
則有\(y^2=d^2\times u \times v\),由於\(u,v\)互質因此\(u,v\)必定是徹底平方數,因此再設\(u=s^2,v=t^2\)
則有\(y^2=d^2 \times s^2 \times v^2\),即\(y=d \times s \times v\)
\(②-①\)得\(x=\dfrac{t^2-s^2}{2}\times d\)
\(②+①\)得\(2\times r=(t^2+s^2)\times d\)
而後枚舉\(2\times r\)的約數\(d\),枚舉算出\(s\),算出對應\(t\),若\(gcd(t,s)=1\)且\(x,t\)爲整數,帶入求出\(x,y\),若符合題意答案就加二(\(x,y\)知足交換律)
最後的答案爲\((ans+1)\times 4\),(\(+1\)是由於座標軸上有一點,\(\times 4\)是由於\(4\)個象限)
注意:當心乘法運算時爆\(long\) \(long\);

代碼以下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#define int long long
inline int read()
{
   int s=0,w=1;
   char ch=getchar();
   while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
   while(isdigit(ch)) s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
   return s*w;
}
inline int gcd(int a,int b)
{
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int r,ans;
inline void work(int d)
{
    for(int s=1;s*s<=r/d;++s)
    {
        int t=sqrt(r/d-s*s);
        if(gcd(s,t)==1&&s*s+t*t==r/d)
        {
            int x=(s*s-t*t)/2*d;
            int y=d*s*t;
            if(x>0&&y>0&&x*x+y*y==(r/2)*(r/2)) ans+=2;
        }
    }
}
signed main()
{
    r=read()*2;
    for(int i=1;i*i<=r;++i)
    {
        if(r%i==0)
        {
            work(i);
            if(i*i!=r) work(r/i);
        }
    }
    printf("%lld",(1+ans)*4);
    return 0;
}