如何計算二進制數的取值範圍

簡單的說，計算機就是晶體管、電路板組裝起來對的電子設備，不管是圖形圖像的渲染、網絡遠程共享，仍是大數據計算，歸根結底都是 0 與 1 的信號處理。信息存儲和邏輯計算的元數據，只能是 0 與 1，可是它們在不一樣介質裏的物理表現方式倒是不同的，如三極管的斷電與通電、CPU的低電平與高電平、磁盤的電荷左右方向。明確了0與1的物理表現方式後，設定基數爲2，進位規則是「逢二進一」，借位規則是「借一當二」，因此稱爲二進制。

迴歸正題，如何計算二進制數的取值範圍呢？好比，Java中的 int 數據類型是32位，那麼 int 所能表現的範圍是多少呢？

設想有 8 條電路，每條電路有低電平和高電平兩種狀態。根據數學排列組合，有 8 個 2 相乘，即 2^8，可以表示 256 種不一樣的信號。假設表示區間爲 0~255，最大數即爲 2^8 -1 = 256 -1 = 255，減去 1 的緣由是由於第一個數用來表示 0，因此可表示的總數減 1 就等於最大數，那麼 32 條電路可以表示的最大數爲 （2^32-1）= 4,294,967,295。平時所說的 32 位機器，就可以同時處理字長爲 32 位的電路信號。

如何表示負數呢？上面的 8 條電路，最左側的一條表示正負，0 表示正數，1 表示負數，該位爲符號位，不參與數值運算表示。8 條電路，實際的數值部分只有 7 位，那麼最大值用二進制表示即爲 0111 1111 即 127。

你也能夠換種思惟去理解，數值部分有 7 位，根據數學排列組合，有 7 個 2 相乘，即 2^7 ，可以表示 128 種信號。加上第一位符號位的 0 或 1，可以表示 128 x 2 = 256 種信號。包括正數 128 個、負數 128 個，範圍即 0 ～ 12七、-128 ～ -1，表示範圍因有正負之分而改變爲 -128 ～127。

二進制整數最終都是以補碼形式出現的。正數的補碼與原碼、反碼是同樣的，而負數的補碼是反碼加 1 的結果。這樣使減法運算能夠使用加法器實現，符號位也參與運算。須要注意的是，負數的原碼、反碼、補碼的符號位始終是 1，只有數值部分參與原碼到反碼、原碼到補碼的轉換運算。

回到原來的問題，Java中的 int 數據類型是 32 位，那麼 int 所能表現的範圍是多少呢？

數值部分所能表示的範圍個數是 2^31，算上符號位的 0 或 1，即正數範圍 0 ～ 2^31-1，負數範圍爲 -2^31 ～ -1，合計爲 -2^31 ～ 2^31-1。

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參考資料

《碼出高效：Java開發手冊》