【APIO2016】【UOJ205】【LOJ2568】煙花表演 可合併堆

題目大意

　　有一棵樹，每條邊都有一個邊權，如今你要修改邊權，使得修改後根到全部葉子的距離相等。

　　要求全部邊權非負。

　　修改的代價爲$\lvert$每條邊修改前的邊權$-$修改後的邊權$\rvert$之和。

　　$n+m\leq 300000$

題解

　　容易發現，設 $f(x)$ 爲根到全部葉子的距離爲 $x$ 時的最小代價，那麼 $f(x)$是一個下凸函數，而且每一段都是線性的。

　　考慮一個點 $u$ 從兒子 $v$ 轉移過來。這個過程分兩步：

　　把 $v$ 的凸包加上 $u\to v$ 這條邊：

　　　要從 $f(x)$ 轉移到 $f'(x)$

　　　假設原來 $f(x)$ 的最小值是在 $[l,r]$ 時取到的，那麼：

　　　　$x\leq l$：$f'(x)=f(x)+w$：最優方案是把這條邊的長度減到 $0$（由於邊權不能是負數）

　　　　$l\leq x\leq l+w$：$f'(x)=f(l)+w-(x-l)$：把這條邊的代價減掉$w-(x-l)$

　　　　$l+w\leq x\leq r+w$：$f'(x)=f(l)$：這條邊的代價不須要變

　　　　$x\geq r+w$：$f'(x)=f(l)+(x-R)-w$：把這條邊的代價減掉$(x-r)-w$

　　　那麼就是把 $[l,r]$ 這段往右平移，把 $[0,l]$ 這段往上平移，加入一段斜率爲 $1$ 的直線和一段斜率爲 $-1$的直線。

　　　考慮怎麼維護這個凸包。

　　　能夠發現相鄰兩段的斜率之差爲 $1$，因此只須要維護凸包上相鄰兩個線段交點的橫座標便可。

　　　還能夠發現凸包最右邊那條直線的斜率就是這個點的兒子個數。

　　　因此直接把最右邊兒子個數 $-1$ 條個交點彈掉就能找到 $[l,r]$ 了。

　　把兩個凸包合併：

　　　直接把全部交點相加就行了。

　　那麼要怎麼計算答案呢？

　　先找到 $[l,r]$，而後對於左邊的每個交點 $v$，它的貢獻就是 $-v$。

　　直接相加就行了。

　　能夠用可合併堆實現，複雜度爲 $O((n+m)\log (n+m))$

　　可是我懶。

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
	int s=0,c,b=0;
	while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');
	if(c=='-')
	{
		c=getchar();
		b=1;
	}
	do
	{
		s=s*10+c-'0';
	}
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
	return b?-s:s;
}
void put(int x)
{
	if(!x)
	{
		putchar('0');
		return;
	}
	static int c[20];
	int t=0;
	while(x)
	{
		c[++t]=x%10;
		x/=10;
	}
	while(t)
		putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
	if(b<a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
	if(b>a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int n,m;
ll w[300010];
int f[300010];
int d[300010];
priority_queue<ll> q[300010];
int main()
{
	open("loj2568");
	scanf("%d%d",&n,&m);
	ll ans=0;
	for(int i=2;i<=n+m;i++)
	{
		scanf("%d%lld",&f[i],&w[i]);
		ans+=w[i];
		d[f[i]]++;
	}
	for(int i=n+m;i>=2;i--)
	{
		ll l=0,r=0;
		if(i<=n)
		{
			while(--d[i])
				q[i].pop();
			l=q[i].top();
			q[i].pop();
			r=q[i].top();
			q[i].pop();
		}
		q[i].push(l+w[i]);
		q[i].push(r+w[i]);
		if(q[i].size()>q[f[i]].size())
			q[i].swap(q[f[i]]);
		while(!q[i].empty())
			q[f[i]].push(q[i].top()),q[i].pop();
	}
	while(d[1]--)
		q[1].pop();
	while(!q[1].empty())
		ans-=q[1].top(),q[1].pop();
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}