二叉樹總結(五)伸展樹、B-樹和B+樹

1、伸展樹

伸展樹(Splay Tree)是一種二叉排序樹，它能在O(log n)內完成插入、查找和刪除操做。

由於，它是一顆二叉排序樹，因此，它擁有二叉查找樹的性質；除此以外，伸展樹還具備的一個特色是：當某個節點被訪問時，伸展樹會經過旋轉使該節點成爲樹根。這樣作的好處是，下次要訪問該節點時，可以迅速的訪問到該節點。可是，它並非單純的把訪問的節點放

到樹根就完了，它還能減小該節點的訪問路徑上的節點的深度。

假設想要對一個二叉查找樹執行一系列的查找操做。爲了使整個查找時間更小，被查頻率高的那些條目就應當常常處於靠近樹根的位置。因而想到設計一個簡單方法，在每次查找以後對樹進行重構，把被查找的條目搬移到離樹根近一些的地方。伸展樹應運而生，它是一種自

調整形式的二叉查找樹，它會沿着從某個節點到樹根之間的路徑，經過一系列的旋轉把這個節點搬移到樹根去。

伸展樹保證從空樹開始的任意連續的m次對樹的操做最多話費花費O(mlogn)時間（n是節點數）；所以，它不存在壞的輸入序列。

自底向上伸展樹

伸展樹包含之字形和一字型兩種情形。

之字形狀況

找到的節點是X時，相似平衡二叉樹中的LR旋轉的狀況，能夠將X變成樹根；

一字型狀況

找到的節點是X時，相似平衡二叉樹中的LL旋轉的狀況，使用兩次LL旋轉時就能夠將X變成樹根；

P(X) : 得到X的父節點，G(X) : 得到X的祖父節點（=P(P(X))）。
Function Buttom-up-splay:
    Do
        If X 是 P(X) 的左子結點 Then
            If P（X）是G（X）的左子結點
                P(X) 繞G(X)右旋
            Endif
            X 繞P(X)右旋
        Else If X 是 P(X) 的右子結點 Then
            If P（X）是G（X）的右子結點
                P(X) 繞G(X)左旋
            Endif 
            X 繞P(X)左旋
        Endif
    While (P(X) != NULL)
EndFunction

自頂向下伸展樹

在自底向上的伸展樹中，咱們須要求一個節點的父節點和祖父節點，所以這種伸展樹難以實現。所以，咱們能夠構建自頂向下的伸展樹。

當咱們沿着樹向下搜索某個節點X的時候，咱們將搜索路徑上的節點及其子樹移走。咱們構建兩棵臨時的樹──左樹和右樹。沒有被移走的節點構成的樹稱做中樹。在伸展操做的過程當中：

1. 當前節點X是中樹的根。
2. 左樹L保存小於X的節點。
3. 右樹R保存大於X的節點。

基本的zig旋轉

相似LL旋轉，將X的子樹放到R樹上。

zig-zag旋轉

兩次LL旋轉，將Z變成樹根，注意，第二次旋轉B的位置是，變成X的右子樹；

以上是左旋轉的狀況，它會把路徑上的節點放到R樹上，若是是右旋轉，則它會把路徑上的節點相似的掛到L樹上。

合併

最後當找到目標節點時，合併L樹、中樹、R樹。

只須要將目標節點當作樹根，L樹當作目標節點的左子樹，目標節點的原左子樹放到L樹的右子樹；同理R樹做爲目標節點的右子樹，原目標節點的右子樹做爲R樹的左子樹。

2、B-樹

定義：

一棵m階B-樹是擁有如下性質的多路查找樹：

1. 非葉子結點的根結點至少擁有兩棵子樹；
2. 每個非根且非葉子的結點含有k－1個關鍵字以及k個子樹，其中⌈m/2⌉≤k≤m；

3. 非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指針個數-1；

4. 非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

5. 非葉子結點的指針：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的子樹，P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹；

6. 全部的葉子結點都在同一層。

B-樹的特性：

1. 關鍵字集合分佈在整顆樹中；
2. 任何一個關鍵字出現且只出如今一個結點中；
3. 搜索有可能在非葉子結點結束；
4. 其搜索性能等價於在關鍵字全集內作一次二分查找；
5. 自動層次控制；

下圖是一顆3階B-樹：

插入

刪除

應用

• B-tree索引是數據庫中存取和查找文件(稱爲記錄或鍵值)的一種方法。
• 硬盤中的結點是B-tree結構的

實現

參考：https://www.roading.org/algorithm/introductiontoalgorithm/b-%E6%A0%91%E7%9A%84c%E5%AE%9E%E7%8E%B0.html

3、B+樹

其定義基本與B-樹同，除了：

1. 非葉子結點的子樹指針與關鍵字個數相同；
2. 非葉子結點的子樹指針P[i]，指向關鍵字值屬於[K[i], K[i+1])的子樹（B-樹是開區間）；
3. 爲全部葉子結點增長一個鏈指針；
4. 全部關鍵字都在葉子結點出現；

B+的搜索與B-樹也基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中（B-樹能夠在非葉子結點命中），其性能也等價於在關鍵字全集作一次二分查找；
B+的特性：

• 全部關鍵字都出如今葉子結點的鏈表中（稠密索引），且鏈表中的關鍵字剛好是有序的；
• 不可能在非葉子結點命中；
• 非葉子結點至關因而葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點至關因而存儲（關鍵字）數據的數據層；
• 更適合文件索引系統；

查找

應用