線段樹（毒瘤）總結

咱們在這篇博客裏將具體介紹一種超級毒瘤超級高效的算法
線段樹

概念引入

首先來認識一下線段樹
什麼是線段樹呢：
線段樹是一種二叉樹，也就是對於一個線段，咱們會用一個二叉樹來表示。好比說一個長度爲6的線段，咱們能夠表示成這樣

這個圖是什麼意思呢？

• 將這個作成一個樹的結構 每一個根節點存儲左右兩個節點的權值之和
  舉個栗子:最上邊的線段表示1～6的和 而他的左兒子表示1～3的和 右兒子表示4～6的和
• 而後他左兒子的左兒子又表示1～2的和 左兒子的右兒子表示3的權值
• 所以 節點i的權值=i左兒子的權值+i右兒子的權值
• 因此咱們能夠獲得 tree[rt].sum = tree[l].sum + tree[r].sum
• 根據這個原理 咱們就能夠進行遞歸建樹了

struct node{
      int l,r,sum;//l表示左兒子 r表示右兒子  sum表示當前節點存儲的權值
}tree[maxn*4];

void build(int i,int l,int r){
	tree[i].l = l;tree[i].r = r;
	if(l == r){
		tree[i].sum = a[l];//a數組存儲給出的數組初始值
		return;
	}
	int mid = (l+r)/2;
	build(i*2,l,mid);
	build(i*2+1,mid+1,r);
	tree[i].sum = tree[i*2].sum+tree[i*2+1].sum;
	return;
}

這就是線段樹的建樹方法 若是你要問爲何咱們要花好幾倍的內存去建樹來完成一個數組就能完成的事情 那就是由於咱們須要讓這個超級大的數組去幹一些比較困難的事情
那什麼是比較困難的事情呢 讓咱們進入下個專題

簡單的操做

單點修改 區間查詢

• 舉個例子 咱們要求出區間1～5的和
• 顯然能夠 for(int i = 1;i<=5;++i){ans+=a[i]};
• 可是咱們仍然要使用線段樹來進行操做
• 首先看區間的位置
  當前處在根節點 存儲的左邊界是1 右邊界是6
  根節點的左兒子的左邊界是1 右邊界是3 右兒子的左邊界是4 右邊界是6
  左兒子的區間徹底被該區間包括 因此咱們直接返回左兒子的權值
  右兒子的左邊界在目標區間右邊界的左邊 因此咱們繼續遞歸搜索右邊界
  如今最新的左兒子爲4～5 徹底包括在目標區間之中 直接返回權值 右兒子6與該區間毫無關係 返回0
  如今咱們就能夠把返回的值加起來了 3+2=5
• 有人可能會吐槽了 用一個數組能解決的問題 爲何要搞的這麼複雜
• 可是有的時候雖然數組很方便 可是他並不能知足咱們的需求 ，O(n)的效率 ，有時候是沒法令出題人快樂的， 這個時候就須要用到線段樹了 O(\(log_n\))

所以用代碼怎麼實現呢 也很簡單
先讓咱們總結一下線段樹的查詢方式：

• 若是當前區間徹底被包括在目標區間之中，直接返回當前區間的權值
• 若是當前區間與目標區間毫無關係 直接返回 0
• 若是當前區間與目標區間有交叉 繼續遞歸搜索左兒子和右兒子
  那咱們就能夠有這樣的代碼實現形式

int search(int rt,int l,int r){
	if(tree[rt].r < l ||tree[rt].l > r)return 0;
	if(tree[rt].l >= l && tree[rt].r <= r)return tree[rt].sum;
	int ans = 0;
	if(tree[rt*2].r >= l)ans += search(2*rt,l,r);
	if(tree[rt*2+1].l <= r)ans += search(2*rt+1,l,r);
	return ans;
}

 那單點修改呢  這個相對就簡單許多了 * 給出一個位置x 一個值k * 若是咱們要修改x位置的數 讓他加上一個數k 咱們就讓樹去遞歸尋找這個位置 ```cpp void add(int rt,int x,int k){ if(tree[rt].l == tree[rt].r){//到達葉子節點 說明找到該位置 tree[rt].sum += k; return; } if(x <= tree[rt*2].r)add(rt*2,x,k); // 遞歸搜索左兒子 else add(rt*2+1,x,k);//遞歸搜索右兒子 tree[rt].sum = tree[rt*2].sum + tree[rt*2+1].sum;//從新將權值加和 return; } ```

區間修改單點查詢

區間修改和單點查詢的方法有不少
爲了一會對pushdown的講解 咱們這裏說一種比較便於下面理解的方法


區間修改和區間查詢很像

• 不過區間查詢的 」若是當前區間徹底包括在目標區間就返回當前區間的值「要改成將當前區間打上k標記
• 舉個例子： 咱們要把一個區間全部的數加上k
• 那就去遞歸搜索線段樹 若是發現某個線段樹的區間徹底包括在目標區間中 那就將這個區間打上k標記
• 可是咱們這裏的建樹就要有所不一樣了
• 由於咱們的全部節點的初始值都會爲0(爲了便於記錄標記k)

void build(int l,int r,int rt){
    tree[rt].num=0;
    tree[rt].l=l;
    tree[rt].r=r;
    if(l==r)
        return ;
    int mid=(r+l)/2;
    build(l,mid,rt*2);
    build(mid+1,r,rt*2+1);
}

void add(int rt,int l,int r,int k){
    if(tree[rt].l>=l && tree[rt].r<=r){
        tree[rt].num+=k;
        return ;
    }
    if(tree[rt*2].r>=l)
       add(rt*2,l,r,k);
    if(tree[rt*2+1].l<=r)
       add(rt*2+1,l,r,k);
}

單點查詢能夠去尋找這個節點 路上遇到的全部標記都要累加起來 最後再加上這個節點的初始值 用代碼實現大概是這個樣子 ```cpp void search(int rt,int dis){ ans+=tree[rt].num; if(tree[rt].l==tree[rt].r) return ; if(dis<=tree[rt*2].r) search(rt*2,dis); if(dis>=tree[rt*2+1].l) search(rt*2+1,dis); } //主函數中 printf("%d\n",ans+a[x]);//a[x]爲目標位置的初始值 ```
建議將上面的板子打熟再向下繼續觀看

區間修改與區間查詢（pushdown and lazy）

前方高難
看到這樣的題你或許會想 不就是上邊那兩種放在一塊兒嗎
可是若是你真的這樣寫完了代碼你會發現 WA
爲何呢


先來回想一下剛纔的操做：將區間加上標記 最終查詢的時候去從上往下找 將標記累加最後再加上初始值


可是這樣真的能夠嗎？


答案是否認的 緣由很簡單：若是你要求1～3區間的和 而你剛剛將3～5的區間加上標記 由於1～3並不包含3～5的標記 因此咱們計算後的結果並非加k以後的和 而是初始值的和


那如何解決這個問題呢？ 也很簡單:只要將咱們的標記k下放到i的兒子不就行了嗎


因此咱們的算法雛形就出來了（這也是線段樹最毒瘤並且難調最具備魅力的地方）

• 首先咱們在結構體中多定義一個變量lazy 用於記錄標記 每次有加的操做的時候咱們就加到lazy上
• 而後就是下放操做pushdown 用於將lazy下放到i的兒子節點中
• 因此經過簡單的推理和概括咱們仍然有如下性質：
    1. 若是當前區間徹底被包含在目標區間中 則這個區間的權值 tree[rt].sum += k*(tree[rt].r - tree[rt].l + 1)
    2. 若是當前區間與目標區間有交集可是並無被徹底覆蓋 就下放懶惰標記
    3. 下放以後分別對左兒子和右兒子進行相同的操做
• 最後仍然是按照tree[rt].sum = tree[rt2].sum + tree[rt2+1].sum向上更新
  所以代碼實現就是

void pushdown(long long rt){
	if(tree[rt].lazy != 0){//若是當前區間已經被標記
		tree[rt*2].lazy += tree[rt].lazy;//下放到左兒子
		tree[rt*2+1].lazy += tree[rt].lazy;//下放到右兒子
		long long mid = (tree[rt].l + tree[rt].r)/2;
		tree[rt*2].sum += tree[rt].lazy*(mid - tree[rt*2].l + 1);//更新左兒子的值
		tree[rt*2+1].sum += tree[rt].lazy*(tree[rt*2+1].r - mid);//更新右兒子的值
		tree[rt].lazy = 0;//清空當前節點的懶惰標記
	}
	return;
}

void add(long long rt,long long l,long long r,long long k){
	if(tree[rt].l >= l && tree[rt].r <= r){//若是當前區間徹底包含在目標區間直接更新而且標記懶惰標記
		tree[rt].sum += k*(tree[rt].r-tree[rt].l+1);//更新當前區間的權值
		tree[rt].lazy += k;//增長懶惰標記
		return;
	}
	pushdown(rt);//下放懶惰標記
	if(tree[rt*2].r >= l)add(rt*2,l,r,k);//遞歸更新左兒子
	if(tree[rt*2+1].l <= r)add(rt*2+1,l,r,k);//遞歸更新右兒子
	tree[rt].sum = tree[rt*2].sum+tree[rt*2+1].sum;//更新當前節點的權值
	return;
}

區間查詢的時候和以前幾乎同樣 不一樣的是要進行懶惰標記的下放以後在累加

long long search(long long rt,long long l,long long r){
	if(tree[rt].l >= l && tree[rt].r <= r)return tree[rt].sum;//若是當前區間徹底包含在目標區間內 直接返回當前區間的權值
	if(tree[rt].r < l || tree[rt].l > r)return 0;//若是當前區間和目標區間徹底沒有關係 直接返回0
	pushdown(rt);//下放懶惰標記
	long long s = 0;
	if(tree[rt*2].r >= l)s += search(rt*2,l,r);
	if(tree[rt*2+1].l <= r)s += search(rt*2+1,l,r);
	return s;//最後返回這個區間的和
}

線段樹模型大概就是這個樣子(線段樹仍是比較受出題人青睞的難道是由於難調？？)
附上練習攻略：
簡單線段樹建議用洛谷P3374【模板】樹狀數組1
        洛谷P3368【模板】樹狀數組2練習板子
若是簡單線段樹沒有問題了請食用進階線段樹
通關攻略：洛谷P3372【模板】線段樹1
        洛谷P3373【模板】線段樹2
        洛谷P6242【模板】線段樹3

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