算法複雜度分析（上）

爲何須要算法複雜度分析？

首先，這和研究數據結構和算法的目的有關——「快」而「省」的解決問題。那麼如何衡量算法的性能呢？就須要算法複雜度分析。

其次，除了算法複雜度分析，還有一種方法能夠衡量複雜度，那就是「過後統計法」，即直接運行程序，統計須要的時間和空間。可是，這種方法有兩個問題：

1）結果很是依賴於測試環境。好比，用 Core i3 和用 Core i8 運行程序所需的時間是不一樣的；

2）結果受測試規模的影響特別大。好比，對有序數組進行排序的時間比對逆序數組排序的時間短；對於小規模數據而言，插入排序所需時間比快速排序要短。

因此，就須要有一種不用具體測試數據，也能估計算法執行效率的方法，就是算法複雜度分析，包括時間、空間複雜度分析。

大 O 複雜度表示法

大 O 複雜度表示法能夠概括成下面一句話：

全部代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數 n 成正比。

即 T(n) = O(f(n))。其中，f(n) 表示代碼的執行次數之和。大 O 符號（Big O notation）是用於描述函數漸進行爲的數學符號，它表明「order of...」（...階）。

例如，對於代碼：

function foo (n) {
    var i = 0;
    var j = 0;
    for (; i < n; i++) {
        j += i;
    }
}

假設每行代碼的執行時間同樣，爲 unit_time。則第 二、3 行執行時間均爲 1 unit_time，第 四、5 行代碼執行時間均爲 n unit_time，整個函數的執行時間 T(n) = (2n + 2) * unit_time。用大 O 複雜度表示法表示即爲 T(n) = O(2n + 2)。

注意，大 O 時間複雜度並不具體表示代碼真正的執行時間，而是表示代碼執行時間隨數據規模增加的變化趨勢。因此，它也叫漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。

當 n 很大時，不左右增加趨勢的低階、常量、係數都可忽略。因此，上面例子中的時間複雜度爲 O(n)。

時間複雜度分析

時間複雜度分析有下面幾個原則：

1）只關注循環執行次數最多的一段代碼；

2）加法原則：總複雜度等於量級最大的那段代碼的複雜度。用公式表示即爲：T1(n) = O(f(m))，T2(n) = O(g(n))，T1(n) + T2(m) = O(max(f(n), g(m)))；

3）乘法原則：嵌套代碼的複雜度等於嵌套內外代碼複雜度的伺機。用公式表示即爲：T1(n) = O(f(m))，T2(n) = O(g(n))，T1(n) * T2(m) = O(f(n) * g(m))

常見的時間複雜度有如下幾種：

1）常量階：O(1)

2）對數階：O(logn)

3）線性階：O(n)

4）線性對數階：O(nlogn)

5）平方階：O(n ^ 2)

6）指數階：O(2 ^ n)

7）階乘階：O(n!)

其中，1）-5）爲多項式量級；6）、7）爲非多項式量級，所對應的算法問題被稱爲非肯定多項式問題（NP 問題，Non-Deterministic Polynomial）。

空間複雜度分析

空間複雜度全稱爲漸進空間複雜度（asymptostic space complexity）。空間複雜度較爲簡單，常見的空間複雜度爲 O(1)，O(n) 和 O(n ^ 2)。

最後，用幾種複雜度的座標圖做爲結尾：

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首發於微信公衆號《代碼寫完了》