構造數列中的常見變形總結[中階和高階輔導]

類型Ⅰ：

形如\(a_{n+1}=p\cdot a_n+q\)，\(p，q\)爲常數，即\(a_{n+1}=f(a_n)\)，構造變形方向：

其一：\(a_{n+1}+k=p(a_n+k)\)，構造\(\{a_n+k\}\)爲等比數列，\(k=\frac{q}{p-1}\)；

其二：先獲得\(a_n=p\cdot a_{n-1}+q\)，兩式作差，獲得

\(a_{n+1}-a_n=p(a_n-a_{n-1})\)，構造\(\{a_n-a_{n-1}\}\)爲等比數列；

類型Ⅱ：

形如\(a_{n+1}=2\cdot a_n+3n+2\)，即\(a_{n+1}=f(n，a_n)\)，構造變形方向：

假設\(a_{n+1}+A(n+1)+B=2(a_n+An+B)\)，解得\(A=3\)，\(B=5\)，

即\(a_{n+1}+3(n+1)+5=2(a_n+3n+5)\)，構造\(\{a_n+3n+5\}\)爲等比數列；

類型Ⅲ：

形如\(a_{n+1}=2\cdot a_n+3n^2+4n+2\)，即\(a_{n+1}=f(n，a_n)\)，(高三僅僅瞭解)構造變形方向：

假設\(a_{n+1}+A(n+1)^2+B(n+1)+C=2(a_n+An^2+Bn+C)\)，解得\(A=3\)，\(B=10\)，\(C=15\)

即\(a_{n+1}+3(n+1)^2+10(n+1)+15=2(a_n+3n^2+10n+15)\)，構造\(\{a_n+3n^2+10n+15\}\)爲等比數列；

類型Ⅳ：

形如\(a_{n+2}=3 a_{n+1}-2a_n\)，即\(a_{n+2}=f(a_{n+1}，a_n)\)，一次式，構造變形方向：

假設\(a_{n+2}+pa_{n+1}=k(a_{n+1}+pa_n)\)，解得\(\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{p=-1}\end{array}\right.\)，\(\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{p=-2}\end{array}\right.\)，

當 \(\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{p=-1}\end{array}\right.\)時，即\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)\)，構造\(\{a_{n+1}-a_n\}\)爲等比數列；

當\(\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{p=-2}\end{array}\right.\)時，即\(a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n\)，構造\(\{a_{n+1}-2a_n\}\)爲等差數列；

類型Ⅴ：

形如\(a_{n+1}=\cfrac{a_n}{na_n+1}\)，或\(a_{n+1}=f(a_n)\)，分式函數，構造變形方向：

兩邊同時取倒數，獲得\(\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{1}{a_n}+n\)，即\(b_{n+1}-b_n=f(n)\)型，累加法

類型Ⅵ：

形如\(a_{n+1}=2\cdot a_n+3^n\)，或\(a_{n+1}=f(n，a_n)\)，並不是關於\(n\)的多項式函數，構造變形方向：

兩邊同時除以\(3^{n+1}\)，則獲得\(\cfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\cfrac{2}{3}\cdot \cfrac{a_n}{3^n}+\cfrac{1}{3}\)，即\(b_{n+1}=pb_n+q\)型，

再如\(a_{n+1}=\cfrac{1}{2}a_n+\cfrac{1}{2^{n-1}}\)，兩邊同乘以\(2^{n+1}\)，

獲得\(2^{n+1}\cdot a_{n+1}=2^n\cdot a_n+4\)，即轉化爲\(b_{n+1}-b_n=d\)型；

類型Ⅶ：

形如\(S_{n+1}-S_n = k\cdot S_{n+1}\cdot S_n\)，(\(k\)爲常數)，構造變形方向：

等式兩邊同除以非零因子\(S_{n+1}\cdot S_n\)，獲得\(\cfrac{1}{S_n}-\cfrac{1}{S_{n+1}}=k\)，構造\(\{\cfrac{1}{S_n}\}\)爲等差數列。

一樣的變形，形如\(a_{n+1}-a_n = k\cdot a_{n+1}\cdot a_n\)，(\(k\)爲常數)，

類型Ⅷ：

形如如\(a_{n+1}=p\cdot a_n^m\)，(\(p，m\)爲常數)，構造變形方向：

兩邊取經常使用對數，獲得\(lga_{n+1}=lgp+mlga_n\)，即\(b_{n+1}=pb_n+q\)型，

類型Ⅸ：

• 形如\(a_{n+1}\cdot a_n=2^n\)，構造變形方向：

獲得\(a_{n+2}\cdot a_{n+1}=2^{n+1}\)，作商獲得\(\cfrac{a_{n+2}}{a_n}=2\)，即全部的奇數項和偶數項各自成等比數列。

• 形如\(a_{n+1}+a_n=2n\)，構造變形方向：

獲得\(a_{n+2}+a_{n+1}=2(n+1)\)，作差獲得\(a_{n+2}-a_n=2\)，即全部的奇數項和偶數項各自成等差數列。

類型Ⅹ：

形如\(a_{n+m}=a_n+a_m\)，構造變形方向：

賦值\(m=1\)，獲得\(a_{n+1}- a_n=a_1\)，即獲得等差數列。

形如\(a_{n+m}=a_n\cdot a_m\)，構造變形方向：

賦值\(m=1\)，獲得\(a_{n+1}= a_n\cdot a_1\)，即獲得等比數列。