autolayout中的線性規劃算法 —— simplex

什麼是auto layout

auto layout是蘋果公司提供的一個基於約束佈局，動態計算視圖大小和位置的庫，而且已經集成到xcode開發環境裏。如下兩個時間點須要注意。

1. 1997年，auto layout所用到的佈局算法cassorwary被髮明瞭出來。
2. 2011年，蘋果公司將cassowary算法運用到了自家的佈局引擎auto layout中

autolayout 的生命週期

Auto Layout不僅有佈局算法Casswory，還包含了佈局在運行時的生命週期等一整套佈局引擎系統，用來贊成管理佈局的建立、更新和銷燬。

這一整套佈局引擎系統叫作Layout Engine，是Auto Layout的核心，主導着整個界面佈局。

每一個視圖在獲得本身的佈局前，Layout Engine會將試圖、約束、優先級、固定大小經過計算轉換成最終的大小和位置。每當約束髮生變化，就會觸發Deffered Layout Pass，完成後進入監聽約束變化的狀態。當再次監聽到約束變化，就會進入到下一輪的循環中。過程以下圖。

UIStackView

UIStackView是一個容器決定排版的佈局模式，容器大小的變化，會影響子項的排版。相似於前端體系中的flexbox的簡化版。

1. UIStackView是一個虛擬容器，它的layer不被繪製，設置背景、邊框、陰影這些外觀是無效的。
2. 若是咱們使用約束，不定義棧視圖的大小，只定義位置，這個時候，棧視圖不會再改變管理內容的大小，可是它會自動計算出本身須要的大小，也就是變成了不會換行的流逝佈局。也就是說會生成一個固有大小，進行內容自適應的排版。

線性規劃問題

線性規劃（Linear programming，簡稱LP），是運籌學中研究較早、發展較快、應用普遍、方法較成熟的一個重要分支，它是輔助人們進行科學管理的一種數學方法。研究線性約束條件下線性目標函數的極值問題的數學理論和方法。

例以下面例子，就是一個線性規劃問題：

要求所買食物中，至少有2000能量，55蛋白質，800鈣，求最省錢的方案。

能夠列出不等式組：

這就是一個線性規劃問題。

可行域

來看一個例子，考慮以下線性規劃：

能夠畫出以下的圖：

灰色部分的區域稱做爲可行域，從途中能夠直觀的看出，x1 = 2, x2 = 6時，取到最大值爲8。

這裏有一個定理是，能夠證實老是在交點處取到最大值。

標準形式

標準形式爲：

min        cT X
s.t.       A X <= b

複製代碼

鬆弛形式

min        cT X

s.t.       A X = b
		   X >= 0
複製代碼

注意：

1. 全部的線性規劃形式都是>=或<=，等號不能夠去掉，不然可能無解。
2. 上述全部變量爲列向量，cT表明c的轉置矩陣。
3. 鬆弛形式和鬆弛變量會在後文提到。
4. 注意標準形式爲<=，求min，若是是反過來的，只須要增長一個負號是不等式翻轉便可。

單純形算法

單純形法是求解線性規劃的經典方法，雖然它的執行時間在最壞的狀況下是非多項式的（指數時間複雜度），可是在絕大部分狀況或者說實際運行過程當中，它的確是多項式時間。

步驟：

1. 找出一個初始的基本可行解。
2. 不斷執行旋轉(pivot)操做。
3. 重複步驟2直到結果不能改進爲止。

例題

考慮以下線性規劃問題：

引入鬆弛變量後的形式：

分離基本變量和非基本變量：

注：等號右邊的叫基本變量，左邊的叫非基本變量。即引入的鬆弛變量爲基本變量，原變量爲非基本變量。

考慮基本解爲，將非基本變量設爲0，並計算左邊基本變量的值，這裏很容易獲得，基本解爲：(0, 0, 0, 4, 2, 3, 6)T。通常而言基本解是可行的，咱們稱之爲基本可行解（不可行的問題後面討論）。

如今來進行第二個步驟，旋轉的操做：

每次選擇一個在目標函數中係數爲負數的非基本變量Xe，而後儘量的增長Xe而不違反約束，並選取基本變量Xi,而後將其位置互換。

例如，咱們選擇替入變量爲X1，替出變量爲X5，而後替換兩者的角色。執行一次轉動的過程與以前所描述的線性規劃是等價的。替換後以下：

一樣的，將非基本變量設爲0，因而獲得解：(2, 0, 0, 2, 0, 3, 6)T，目標函數的值減小爲-2。
繼續轉動，只能選取X2或者X3，不能選擇X5，由於此時X5的係數是正的。假設選取替入變量X2，替出變量X4，將會獲得如下結果：

此時基本解變爲了(2, 2, 0, 0, 0, 3, 0)T，目標函數值爲-30。

繼續選擇增大X5，選取最嚴格的等式4進行替換，得：

基本解變成了(2, 2, 0, 0, 0, 3, 0)T，目標函數值爲-30。

接着還能夠轉動X3，過程省略，最後目標值爲-32，已經沒有能夠轉動的值了，所以獲得目標值爲-32。

特殊狀況

退化

在旋轉過程當中，可能會存在保持目標值不變的狀況，這種現象稱之爲退化。好比上面的例子裏出現了兩次-30。不過沒有產生循環的狀況。

1. 目標條件中，係數爲負的第一個做爲替入變量。
2. 對全部約束條件中，選擇對xe約束最近的第一個。
3. 加入隨機擾動。

無界

在運算過程當中可能會出現無界的狀況，須要注意，例如做圖出來是兩條平行的線的狀況

矩陣 & 程序

對於上方的例題來講：

咱們能夠獲得以下幾個矩陣：

C = (-1, -14, -6, 0, 0, 0, 0)
B = (4, 2, 3, 6)T

<img style="border-radius: 0.3125em;" 
src="https://p6-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/20f1e8f4192a4b4ab499c1feab89a775~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image">
複製代碼

> 矩陣A：約束條件的係數
> 矩陣B：約束函數的值
> 矩陣C：目標函數的係數

如今須要將這些矩陣拼接成一個矩陣：

這裏不難看出，左下角放的是B，右上角放的是C，右下角放的是A，而左上角那一個數字，放的是-z。

能夠看出，若是將等式改寫成 基本變量 = F(非基本變量)的形式的話，B和C是不變的，A矩陣中，基本變量符號相同，非基本變量符號相反。

咱們這裏選取X1和X5進行翻轉，獲得矩陣以下：

那麼這裏是怎麼變換過來的呢？

首先看矩陣第三行，咱們須要改寫成X1 = X5，其實很是簡單，將該行每個元素除以X1的係數就能夠了。

那麼其它行呢，其餘行實際上是將X1消去，例如第一行，其實是將X1的係數和第三行中X1的係數變成同樣後做差。例如這裏第一行* -1後減去第三行。其它行同理。

這裏經過嘗試就能夠發現，左上角其實是-z，具體緣由能夠在嘗試中體會。

不斷進行替入與替出，直到第一行中全部的係數都爲正。

這裏咱們貼出 demo 代碼，你們能夠自行嘗試：

import numpy as np
 
class Simplex(object):
    def __init__(self, obj, max_mode=False):
        self.max_mode = max_mode
        self.mat = np.array([[0] + obj]) * (-1 if max_mode else 1)
     
    def add_constraint(self, a, b):
        self.mat = np.vstack([self.mat, [b] + a])
     
    def solve(self):
        m, n = self.mat.shape
        temp, B = np.vstack([np.zeros((1, m - 1)), np.eye(m - 1)]), list(range(n - 1, n + m - 1))  # add diagonal array
        mat = self.mat = np.hstack([self.mat, temp])
        while mat[0, 1:].min() < 0:
            col = np.where(mat[0, 1:] < 0)[0][0] + 1
            row = np.array([mat[i][0] / mat[i][col] if mat[i][col] > 0 else 0x7fffffff for i in range(1, mat.shape[0])]).argmin() + 1  # find the theta index
            if mat[row][col] <= 0: return None
            mat[row] /= mat[row][col]
            ids = np.arange(mat.shape[0]) != row
            mat[ids] -= mat[row] * mat[ids, col:col + 1]
            B[row] = col
        return mat[0][0] * (1 if self.max_mode else -1), {B[i]: mat[i, 0] for i in range(1, m) if B[i] < n}
複製代碼

from Simplex import Simplex
 
t = Simplex([-1, -14, -6])
t.add_constraint([1, 1, 1], 4)
t.add_constraint([1, 0, 0], 2)
t.add_constraint([0, 0, 1], 3)
t.add_constraint([0, 3, 1], 6)
print(t.solve())
print(t.mat)
複製代碼

文中若有錯誤，歡迎指出。

參考文獻

• [1] [線性規劃-單純形算法詳解] www.hrwhisper.me/introductio…
• [2] [Auto Layout是怎麼進行自動佈局的，性能如何？] time.geekbang.org/column/arti…
• [3] [Solving Linear Arithmetic Constraints for User Interface Applications] constraints.cs.washington.edu/solvers/uis…