紅黑樹

前置知識：

1， BST(二叉搜索樹)

定義：BST的中序遍歷序列是一串單調序列，通常是升序序列

插入值e：順着樹向下查找，直到null，建立值爲e的節點替代null

刪除值e：查找到e，而後選擇直接後繼，先右而後左到底(升序)，易證該節點爲直接後繼。找到直接後繼以後，將e與直接後繼交換位置，再刪除e。

直接後繼節點的特徵：沒有左孩子。

2，AVL樹(平衡二叉樹)

定義：在二叉搜索樹的前提下知足以下條件，設僅一個節點的樹高度爲0，路徑上每有一條邊，高度加1。某節點高度等於該節點最長路徑的邊數；平衡條件，左右子樹高度之差小於等於1，即h左-h右能夠爲 1，0，-1；

查找：

順着樹向下，很容易。

插入算法：

第一步：利用BST的搜索算法搜索到插入位置——必爲某個葉節點的左右孩子：NULL(既然能夠插入，必然搜索失敗，而失敗的查找指針必然落到葉節點的左右孩子：NULL上)

第二步：尋找三個節點x,y,z的位置關係。如何肯定x，y，z？首先要知道，插入某個節點e可能會改變哪些節點的高度——答案是從e到根節點這條路徑上L的全部節點的高度。首先肯定x，x爲路徑L上，從e開始逆向到根節點的第一個由於插入e致使高度不平衡的節點；其次肯定y，對比x的左右孩子，更高的設置爲y；最後肯定z，對比y的左右孩子，更高的設置爲z(若高度相同，取左仍是右取決於y爲左孩子仍是右孩子)。肯定好x，y，z後，來判斷他們的位置關係。關係A：順着x到z的路徑畫線，路徑不轉彎(狀況m：y爲x的左孩子，z爲y的左孩子；狀況n：y爲x的右孩子，z爲y的右孩子) 關係B：路徑轉彎。

第三步：對於關係A：在x，y之間作一次左順右逆旋轉。對於關係B，依照狀況在y，z之間作一次旋轉，將其轉化爲關係A，再作左順右逆旋轉。

左順右逆旋轉：狀況m作順時針，狀況n作逆時針。說白了就是將一個三個節點構成的斜坡轉換爲一個波浪的形狀。這樣能夠恢復平衡。

刪除算法：

找x，y，z節點的方法與插入算法一致。旋轉也大同小異，不過注意存在失衡傳播：照片不拍了很麻煩，參見鄧俊輝數據結構——AVL樹。

3，B-樹

存在理由：爲了減小io操做的次數，將多個節點合併爲一個大節點，就高度而言，b樹全部節點左右子樹高度相同。

定義：先取向上取整符號爲↑，向下取整符號爲↓。設最大分支數m。

a：B樹最大分支數爲m，最小分支數爲↑m/2。(關鍵碼數等於分支數減一)根節點除外，根節點分支數>=2，<=↑m/2；

b：B樹全部葉節點具備相同的深度。

節點的數據結構：由兩組序列，即關鍵碼序列和分支序列構成。

插入操做：

先搜索到應該插入的大節點，再利用向量的search操做找到插入位置。必然是在最底部的大節點中插入。

成功插入後可能會遇到上溢的狀況：分支數大於m

處理上溢：

選取↓m/2做爲分割點，將關鍵碼分爲左右兩部分，將↓m/2處的點提高至父節點。

刪除操做：

與BST相似，應該先替換，再刪除。

成功刪除後可能會遇到下溢狀況：分支數小於↑m/2

兩種解決辦法：

1，兄弟節點B有多餘：設下溢節點爲A，向兄弟節點B借出一個關鍵碼到父節點，父節點該處的關鍵碼下移到A節點相應位置。

2，兄弟節點B沒有多餘：向父節點借出一個關鍵碼，將A，B粘接起來。

 

紅黑樹：

10號前更新