拓撲排序就這麼回事

時間  2020-10-23
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前言

你們好，這裏是《齊姐聊算法》系列之拓撲排序問題。java

Topological sort 又稱 Topological order，這個名字有點迷惑性，由於拓撲排序並非一個純粹的排序算法，它只是針對某一類圖，找到一個能夠執行的線性順序。node

這個算法聽起來高大上，現在的面試也很愛考，好比當時我在面我司時有整整一輪是基於拓撲排序的設計。git

但它實際上是一個很好理解的算法，跟着個人思路，讓你不再會忘記她。github

有向無環圖

剛剛咱們提到，拓撲排序只是針對特定的一類圖，那麼是針對哪類圖的呢？面試

答：Directed acyclic graph (DAG)，有向無環圖。即：算法

  1. 這個圖的邊必須是有方向的；
  2. 圖內無環。

那麼什麼是方向呢？數組

好比微信好友就是有向的，你加了他好友他可能把你刪了你殊不知道。。。那這個朋友關係就是單向的。。微信

什麼是環？環是和方向有關的，從一個點出發能回到本身，這是環。網絡

因此下圖左邊不是環，右邊是。數據結構

那麼若是一個圖裏有環，好比右圖，想執行 1 就要先執行 3，想執行 3 就要先執行 2，想執行 2 就要先執行 1，這成了個死循環，沒法找到正確的打開方式，因此找不到它的一個拓撲序。

總結：

  • 若是這個圖不是 DAG，那麼它是沒有拓撲序的；
  • 若是是 DAG，那麼它至少有一個拓撲序；
  • 反之，若是它存在一個拓撲序，那麼這個圖一定是 DGA.

因此這是一個充分必要條件。

拓撲排序

那麼這麼一個圖的「拓撲序」是什麼意思呢？

咱們借用百度百科的這個課程表來講明。

課程代號 課程名稱 先修課程
C1 高等數學 無
C2 程序設計基礎 無
C3 離散數學 C1, C2
C4 數據結構 C3, C5
C5 算法語言 C2
C6 編譯技術 C4, C5
C7 操做系統 C4, C9
C8 普通物理 C1
C9 計算機原理 C8

這裏有 9 門課程，有些課程是有先修課程的要求的，就是你要先學了「最右側這一欄要求的這個課」才能再去選「高階」的課程。

那麼這個例子中拓撲排序的意思就是：
就是求解一種可行的順序，可以讓我把全部課都學了。

那怎麼作呢？

首先咱們能夠用圖來描述它，
圖的兩個要素是頂點和邊，
那麼在這裏：

  • 頂點：每門課
  • 邊：起點的課程是終點的課程的先修課

畫出來長這個樣：

這種圖叫 AOV (Activity On Vertex) 網絡，在這種圖裏：

  • 頂點：表示活動；
  • 邊：表示活動間的前後關係

因此一個 AOV 網應該是一個 DAG，即有向無環圖，不然某些活動會沒法進行。
<span style="display:block;color:orangered;">那麼全部活動能夠排成一個可行線性序列，這個序列就是拓撲序列。

那麼這個序列的實際意義是：
按照這個順序，在每一個項目開始時，可以保證它的前驅活動都已完成，從而使整個工程順利進行。

回到咱們這個例子中：

  1. 咱們一眼能夠看出來要先學 C1, C2，由於這兩門課沒有任何要求嘛，大一的時候就學唄；

  2. 大二就能夠學第二行的 C3, C5, C8 了，由於這三門課的先修課程就是 C1, C2，咱們都學完了；

  3. 大三能夠學第三行的 C4, C9；

  4. 最後一年選剩下的 C6, C7。

這樣，咱們就把全部課程學完了，也就獲得了這個圖的一個拓撲排序。

注意，有時候拓撲序並非惟一的，好比在這個例子中，先學 C1 再學 C2，和先 C2 後 C1 都行，都是這個圖的正確的拓撲序，但這是兩個順序了。

因此面試的時候要問下面試官，是要求解任意解，仍是列出全部解。

咱們總結一下，

在這個圖裏的邊表示的是一種依賴關係，若是要修下一門課，就要先把前一門課修了。

這和打遊戲裏同樣同樣的嘛，要拿到一個道具，就要先作 A 任務，再完成 B 任務，最終終於能到達目的地了。

算法詳解

在上面的圖裏，你們很容易就看出來了它的拓撲序，但當工程愈來愈龐大時，依賴關係也會變得錯綜複雜，那就須要用一種系統性的方式方法來求解了。

那麼咱們回想一下剛剛本身找拓撲序的過程，爲何咱們先看上了 C1, C2?

由於它們沒有依賴別人啊，
也就是它的入度爲 0.

入度：頂點的入度是指「指向該頂點的邊」的數量；
出度：頂點的出度是指該頂點指向其餘點的邊的數量。

因此咱們先執行入度爲 0 的那些點，
那也就是要記錄每一個頂點的入度。
由於只有當它的 入度 = 0 的時候，咱們才能執行它。

在剛纔的例子裏，最開始 C1, C2 的入度就是 0，因此咱們能夠先執行這兩個。

那在這個算法裏第一步就是獲得每一個頂點的入度。

Step0: 預處理獲得每一個點的入度

咱們能夠用一個 HashMap 來存放這個信息，或者用一個數組會更精巧。

在文中爲了方便展現，我就用表格了：

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
入度 0 0 2 2 1 2 2 1 1

Step1

拿到了這個以後，就能夠執行入度爲 0 的這些點了，也就是 C1, C2.

那咱們把能夠被執行的這些點，放入一個待執行的容器裏，這樣以後咱們一個個的從這個容器裏取頂點就行了。

至於這個容器究竟選哪一種數據結構，這取決於咱們須要作哪些操做，再看哪一種數據結構能夠爲之服務。

那麼首先能夠把[C1, C2]放入容器中，

而後想一想咱們須要哪些操做吧！

咱們最常作的操做無非就是把點放進來，把點拿出去執行了，也就是須要一個 offer 和 poll 操做比較高效的數據結構，那麼 queue 就夠用了。

（其餘的也行，放進來這個容器裏的頂點的地位都是同樣的，都是能夠執行的，和進來的順序無關，但何須非得給本身找麻煩呢？一個常規順序的簡簡單單的 queue 就夠用了。）

而後就須要把某些點拿出去執行了。

【劃重點】當咱們把 C1 拿出來執行，那這意味這什麼？

<span style="display:block;color:blue;">答：意味着「以 C1 爲頂點」的「指向其餘點」的「邊」都消失了，也就是 C1 的出度變成了 0.

以下圖，也就是這兩條邊能夠消失了。

step1

那麼此時咱們就能夠更新 C1 所指向的那些點也就是 C3 和 C8 的 入度 了，更新後的數組以下：

C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
入度 1 2 1 2 2 <span style="display:block;color:blue;">0 1

<span style="display:block;color:blue;">那咱們這裏看到很關鍵的一步，C8 的入度變成了 0！

也就意味着 C8 此時沒有了任何依賴，能夠放到咱們的 queue 裏等待執行了。

此時咱們的 queue 裏就是：[C2, C8].

Step2

下一個咱們再執行 C2，

Step2

那麼 C2 所指向的 C3, C5 的 入度-1，

更新表格：

C3 C4 C5 C6 C7 C9
入度 <span style="display:block;color:blue;">0 2 <span style="display:block;color:blue;">0 2 2 1

也就是 C3 和 C5 都沒有了任何束縛，能夠放進 queue 裏執行了。

queue 此時變成：[C8, C3, C5]

Step3

那麼下一步咱們執行 C8，

Step3

相應的 C8 所指的 C9 的入度-1.
更新表格：

C4 C6 C7 C9
入度 2 2 2 <span style="display:block;color:blue;">0

那麼 C9 沒有了任何要求，能夠放進 queue 裏執行了。

queue 此時變成：[C3, C5, C9]

Step4

接下來執行 C3，

Step4

相應的 C3 所指的 C4 的入度-1.
更新表格：

C4 C6 C7
入度 <span style="display:block;color:blue;">1 2 2

<span style="display:block;color:blue;">可是 C4 的入度並無變成 0，因此這一步沒有任何點能夠加入 queue.

queue 此時變成 [C5, C9]

Step5

再執行 C5，

Step5

那麼 C5 所指的 C4 和 C6 的入度- 1.
更新表格：

C4 C6 C7
入度 <span style="display:block;color:blue;">0 <span style="display:block;color:blue;">1 2

這裏 C4 的依賴全都消失啦，那麼能夠把 C4 放進 queue 裏了：

queue = [C9, C4]

Step6

而後執行 C9，

Step6

那麼 C9 所指的 C7 的入度- 1.

C6 C7
入度 <span style="display:block;color:blue;">1 <span style="display:block;color:blue;">1

這裏 C7 的入度並不爲 0，還不能加入 queue，

此時 queue = [C4]

Step7

接着執行 C4，

Step7

因此 C4 所指向的 C6 和 C7 的入度-1，
更新表格：

C6 C7
入度 <span style="display:block;color:blue;">0 <span style="display:block;color:blue;">0

C6 和 C7 的入度都變成 0 啦！！把它們放入 queue，繼續執行到直到 queue 爲空便可。

總結

好了，那咱們梳理一下這個算法：

<span style="display:block;color:blue;">數據結構 這裏咱們的入度表格能夠用 map 來存放，關於 map 還有不清楚的同窗能夠看以前我寫的 HashMap 的文章哦～

Map: <key = Vertex, value = 入度>

但實際代碼中，咱們用一個 int array 來存儲也就夠了，graph node 能夠用數組的 index 來表示，value 就用數組裏的數值來表示，這樣比 Map 更精巧。

而後用了一個普通的 queue，用來存放能夠被執行的那些 node.

<span style="display:block;color:blue;">過程 咱們把入度爲 0 的那些頂點放入 queue 中，而後經過每次執行 queue 中的頂點，就可讓依賴這個被執行的頂點的那些點的 入度-1，若是有頂點的入度變成了 0，就能夠放入 queue 了，直到 queue 爲空。

<span style="display:block;color:blue;">細節 這裏有幾點實現上的細節：

當咱們 check 是否有新的頂點的 入度 == 0 時，不必過一遍整個 map 或者數組，只須要 check 剛剛改動過的就行了。

另外一個是若是題目沒有給這個圖是 DAG 的條件的話，那麼有多是不存在可行解的，那怎麼判斷呢？很簡單的一個方法就是比較一下最後結果中的頂點的個數和圖中全部頂點的個數是否相等，或者加個計數器，若是不相等，說明就不存在有效解。因此這個算法也能夠用來判斷一個圖是否是有向無環圖。

不少題目給的條件多是給這個圖的 edge list，也是表示圖的一種經常使用的方式。那麼給的這個 list 就是表示圖中的邊。這裏要注意審題哦，看清楚是誰 depends on 誰。其實圖的題通常都不會直接給你這個圖，而是給一個場景，須要你把它變回一個圖。

<span style="display:block;color:blue;">時間複雜度

注意 ⚠️：對於圖的時間複雜度分析必定是兩個參數，面試的時候不少同窗張口就是 O(n)...

對於有 v 個頂點和 e 條邊的圖來講，

第一步，預處理獲得 map 或者 array，須要過一遍全部的邊才行，因此是 O(e)；

第二步，把 入度 == 0 的點入隊出隊的操做是 O(v)，若是是一個 DAG，那全部的點都須要入隊出隊一次；

第三步，每次執行一個頂點的時候，要把它指向的那條邊消除了，這個總共執行 e 次；

總：O(v + e)

<span style="display:block;color:blue;">空間複雜度

用了一個數組來存全部點的 indegree，以後的 queue 也是最多把全部的點放進去，因此是 O(v).

<span style="display:block;color:blue;">代碼

關於這課程排序的問題，Leetcode 上有兩道題，一道是 207，問你可否完成全部課程，也就是問拓撲排序是否存在；另外一道是 210 題，是讓你返回任意一個拓撲順序，若是不能完成，那就返回一個空 array。

這裏咱們以 210 這道題來寫，更完整也更常考一些。

Leetcode210

這裏給的 input 就是咱們剛剛說到的 edge list.

Example 1.

Input: 2, [[1,0]]
Output: [0,1]
Explanation: 這裏一共 2 門課，1 的先修課程是 0. 因此正確的選課順序是[0, 1].

Example 2.

Input: 4, [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
Output: [0,1,2,3] or [0,2,1,3]
Explanation:這裏這個例子畫出來以下圖

Example 3.

Input: 2, [[1,0],[0,1]]
Output: null
Explanation: 這課無法上了

class Solution {
    public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        int[] res = new int[numCourses];
        int[] indegree = new int[numCourses];

        // get the indegree for each course
        for(int[] pre : prerequisites) {
            indegree[pre[0]] ++;
        }

        // put courses with indegree == 0 to queue
        Queue<Integer> queue = new ArrayDeque<>();
        for(int i = 0; i < numCourses; i++) {
            if(indegree[i] == 0) {
                queue.offer(i);
            }
        }

        // execute the course
        int i = 0;
        while(!queue.isEmpty()) {
            Integer curr = queue.poll();
            res[i++] = curr;

            // remove the pre = curr
            for(int[] pre : prerequisites) {
                if(pre[1] == curr) {
                    indegree[pre[0]] --;
                    if(indegree[pre[0]] == 0) {
                        queue.offer(pre[0]);
                    }
                }
            }
        }

        return i == numCourses ? res : new int[]{};
    }
}

另外，拓撲排序還能夠用 DFS - 深度優先搜索 來實現，限於篇幅就不在這裏展開了，你們能夠參考GeeksforGeeks的這個資料。

實際應用

咱們上文已經提到了它的一個 use case，就是選課系統，這也是最常考的題目。

而拓撲排序最重要的應用就是關鍵路徑問題，這個問題對應的是 AOE (Activity on Edge) 網絡。

AOE 網絡：頂點表示事件，邊表示活動，邊上的權重來表示活動所須要的時間。
AOV 網絡：頂點表示活動，邊表示活動之間的依賴關係。

在 AOE 網中，從起點到終點具備最大長度的路徑稱爲關鍵路徑，在關鍵路徑上的活動稱爲關鍵活動。AOE 網絡通常用來分析一個大項目的工序，分析至少須要花多少時間完成，以及每一個活動能有多少機動時間。

具體是怎麼應用分析的，你們能夠參考這個視頻 的 14 分 46 秒，這個例子仍是講的很好的。

其實對於任何一個任務之間有依賴關係的圖，都是適用的。

好比 pom 依賴引入 jar 包時，你們有沒有想過它是怎麼導進來一些你並無直接引入的 jar 包的？好比你並無引入 aop 的 jar 包，但它自動出現了，這就是由於你導入的一些包是依賴於 aop 這個 jar 包的，那麼 maven 就自動幫你導入了。

其餘的實際應用，好比說：

  1. 語音識別系統的預處理；
  2. 管理目標文件之間的依賴關係，就像我剛剛說的 jar 包導入；
  3. 深度學習中的網絡結構處理。

若有其餘補充，歡迎你們在評論區不吝賜教。

以上就是本文的所有內容了，拓撲排序是很是重要也是很是愛考的一類算法，面試大廠前必定要熟練掌握。

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我是小齊，紐約程序媛，終生學習者，天天晚上 9 點，雲自習室裏不見不散！

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