遞歸求解斐波那契數列的問題

費波那契數列（意大利語：Successione di Fibonacci），又譯費波拿契數、斐波那契數列、費氏數列、黃金分割數列。

在數學上，費波那契數列是以遞歸的方法來定義：

• (n≧2)

用文字來講，就是費波那契數列由0和1開始，以後的費波那契係數就由以前的兩數相加。首幾個費波那契係數是（OEIS A000045）：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946，………………

特別指出：0不是第一項，而是第零項。

(以上來自維基百科)

求解Fibonacci數列用java的遞歸很簡單：

public static long fibonacci(int n)
    {
        if(n == 0 || n == 1)
        {
            return 1;
        }
        return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
    }

但用遞歸求解的效率幾乎是沒法容忍的，當n爲50是，估計須要好幾分鐘，由於每遞歸調用一次fibonacci()函數，都會從新計算fibonacci(n - 1)和fibonacci(n - 2)，這樣有不少數都是重複計算的，一個比較簡單的方法就是用一個數據結構將計算後的值緩存起來，

求解時先從緩存裏面拿數據，沒有的話再計算並將計算後的結果加到緩存裏面，這樣就避免了不少重複計算。下面是用HashMap將數據緩存的例子：

private static HashMap<Integer, Long> hashMap = new HashMap<Integer, Long>();

private static long value;

 

public static long effectFibonacci(int n)
    {
        if(n == 0 || n == 1)
        {
            return 1;
        }
        if(hashMap.containsKey(n))
        {
            return hashMap.get(n);
        }
        else
        {
            value = effectFibonacci(n - 1) + effectFibonacci(n - 2);
            hashMap.put(n, value);
        }
        return value;
    }

這個算法跟上一個的效率相比有了很大的提升，當n = 1500時，花費的時間大約是 3082077 microseconds，而用上一個遞歸直接算，不知何年才能得出結果。

 

還有一種求解Fibonacci問題的方法就是利用動態規劃算法，動態規劃算法是將一個較大的問題分解爲若干類似子問題，求解子問題而後合併並獲得原問題的解，動態規劃算法適用於有重疊子問題和最優子結構性質的問題，重疊子問題即原問題可分解爲若干的求解算法類似的子問題，最優子結構就是局部最優致使全局最優，即可以將子問題的解合併後獲得原問題的解，這跟貪心算法類似。下面是用動態規劃算法求解Fibonacci數列問題：

public static long bestFinabocci(int n)
    {
        long previous = 1, next = 1;
        long tmp = 2;
        for (int i = 2; i <= n; i++)
        {
            tmp = previous + next;  //從2開始，每個後面的數都是前面兩個數之和
            previous = next;
            next = tmp;
        }
        return tmp;
    }

跟上一個使用遞歸緩存求解，動態規劃算法在效率上有了很大的提升，一樣當 n = 1500是，遞歸緩存花費的時間大約是 3082077 microseconds，而動態規劃花費的時間大約是 40410 microseconds。

由上面的實驗來看，在遞歸的問題上，最好使用循環代替遞歸，不得不用到遞歸時，最好將數據緩存起來避免重複計算，不要直接調用遞歸函數。