ST表學習筆記

時間 2019-11-07

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$ST$表

通過了樹狀數組的折磨學習，小蒟蒻$hqk$又學了一個新的結構——$ST$表（其實應該是$ST$算法，由於$T$原本就有$table$的意思，可是因爲你們都這麼叫，接下來的文章裏也沿用這一說法。算法

$ST$表

（$1$）區間$RMQ$問題

區間$RMQ$（$ Range\space Maximum/minimum\space Query $）問題，顧名思義，就是詢問某個區間的最大最小值。這種問題一般有不少種解法，好比線段樹、樹狀數組，還有像笛卡爾樹、莫隊這樣的神仙作法。可是咱們今天要探討的解法是一種比較好理解的算法——$ST$表數組

（$2$）啥是$ST$表

$ST$表是基於動態規劃的一種算法。爲啥叫表呢？是由於$ST$表在運行過程當中是先進行預處理，而後進行查詢。這種算法可以實現$O(nlogn)$預處理，$O(1)$查詢。是一種比較高效的算法，可是須要注意的一點是，這種算法的空間複雜度較高，須要一些優化（或者使用其餘的算法來代替）才能經過一些毒瘤題目函數

（$3$）$ST$表的基本思想

其實，$ST$表的基本思想就是$dp$。學習

咱們用$a[1···n]$表示一組數。設$f[i][j]$表示從$a[i]$加到$a[i+2^i-1]$這個範圍內的最大值，也就是說$f[i][j]$表示以$a[i]$爲起點連續$2^i$個數的最大值。因爲元素個數爲$2^j$個，因此咱們能夠考慮分治的思想，分而治之，分別求出左半邊（$2^{j-1}$）的最大值，再求右半邊的最大值，即$f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])$從前日後掃描一下就能夠預處理出來。大數據

接下來咱們要考慮如何進行查詢優化

每提問一個區間$[l,r]$，必定會存在一個數$x$，使得$2^x\leq r-l+1$。只要求出了這個值，咱們就能夠用已經與處理完畢的$f[][]$來進行回答了。spa

具體方法是：$min(f[l][x],f[r-2^x+1][x])$這個東西能夠再$O(1)$的時間內求出來code

等等，怎麼求$x$呢？**get

其實，求$x$的方法也很簡單，就是$log_2^{r-l+1}$，具體是爲何須要讀者本身去思考，這裏就再也不贅述了

可是怎麼求$log_2^{r-l+1}$呢？

咱們能夠維護一個$log[]$，其中$log[i]$表示$log_2^i$。至於$log[i]$的計算，咱們能夠用下面一個遞推式：$log[i]=log[i/2]+1$；不過若是再懶一點的話能夠調用$cmath$庫裏的$log2$函數

（$4$）$ST$表的例題

其實就是$ST$表的實現

例題（$1$）

P3865 【模板】ST表

題目背景

這是一道$ST$表經典題——靜態區間最大值

請注意最大數據時限只有$0.8s$，數據強度不低，請務必保證你的每次查詢複雜度爲$ O(1)$

題目描述

給定一個長度爲$ N $的數列，和$ M $次詢問，求出每一次詢問的區間內數字的最大值。

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行包含兩個整數$ N, M$，分別表示數列的長度和詢問的個數。

第二行包含$N$個整數（記爲 $a_i$），依次表示數列的第$ i$項。

接下來$ M$行，每行包含兩個整數 $l_i, r_i$，表示查詢的區間爲$ l_i, r_i$

輸出格式：

輸出包含$ M$行，每行一個整數，依次表示每一次詢問的結果。

題解

這就是一道板子題啊！莫慌莫慌，都在代碼裏了——

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=1e6+5,logn=20;

int log[N],f[N][logn+5],a[N];
int n,m,x,y;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&a[i]);
    log[0]=-1;//必定要注意這個小細節，才能使log[1]=0
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        f[i][0]=a[i];//將形如[i,i]的都標做a[i]，做爲dp的邊界條件
        log[i]=log[i>>1]+1;//對log的處理
    }
    for(int j=1;j<=logn;++j)//外循環是1~logn
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)//內循環是一直到出界
            f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);//套進剛纔的式子中
    while(m--)//循環讀入數據
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        int s=log[y-x+1];
        printf("%d\n",max(f[x][s],f[y-(1<<s)+1][s]));//這些式子咱們都進行過說明，這裏就不說了
    }
    return 0;
}

例題（$2$）

P2251 質量檢測

題目背景

無

題目描述

爲了檢測生產流水線上總共$N$件產品的質量，咱們首先給每一件產品打一個分數$A_i$表示其品質，而後統計前M件產品中質量最差的產品的分值$Q_m = min(A_1, A_2, ... A_m)$，以及第$2$至第$M + 1$件的$Q_{m + 1}, Q_{m + 2} ...$ 最後統計第$N - M + 1$至第$N$件的$Q_n$。根據$Q$再作進一步評估。

請你儘快求出$Q$序列。

輸入輸出格式

輸入格式：

輸入共兩行。

第一行共兩個數$N、M$，由空格隔開。含義如前述。

第二行共$N$個數，表示$N$件產品的質量。

輸出格式：

輸出共$N - M + 1$行。

第$1$至$N - M + 1$行每行一個數，第$i$行的數$Q_{i + M - 1}$。含義如前述。

題解

其實這道題也算一道模板題，只不過是將詢問變成了讓你本身循環跑一邊，不過要注意的是，必定要將$m-1$後再進行循環

代碼實現：

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

const int maxn=2000010;
const int logn=20;

int log[maxn],f[maxn][logn],a[maxn];
int n,m;

void init()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    log[0]=-1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        f[i][0]=a[i];
        log[i]=log[i>>1]+1;
    }
    for(int j=1;j<=logn;++j)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)
            f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);
}

void work()
{
    m-=1;
    for(int i=1;i+m<=n;++i)
    {
        int s=log[m+1];
        printf("%d\n",min(f[i][s],f[i+m-(1<<s)+1][s]));
    }
}

int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}