2017清北學堂（提升組精英班）集訓筆記——字符串算法

時間 2019-11-21

標籤學堂提升精英集訓筆記字符串算法简体版

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啊~個人速度真的是太慢了，學校又要提早開學！！還有兩個月就要比賽了，垂死掙扎一下吧~html

繼續更新筆記（眼含淚水）正則表達式

1、Trie樹：算法

1.定義：經過字符串建成一棵樹，這棵樹的節點個數必定是最少的。例如：4個字符串"ab","abc","bd","dda"對應的trie樹以下：數組

其中紅色節點表示存在一個字符串是以這個點結尾的。oop

一個性質：在樹上，兩個點u,v知足u是v的祖先，那麼u表明的字符串必定是v表明的字符串的前綴。網站

2.Trie樹的插入：能夠從根節點出發，每次沿着要走的字符串往下走，若沒有則創建新節點。spa

假如全部字符串的長度之和爲n，構建這棵trie樹的時間複雜度爲O(n)。指針

 1 int root=1;
 2 int cnt=1;
 3 int p[i][j];//表示從i這個節點沿着j這個字符走，能走到哪一個點，走不到就是0
 4 char s[];//存儲字符串 
 5 for(int i=1;i<=n;i++)
 6 {
 7     scanf("%s",s);
 8     int len=strlen(s);
 9     int now=root;//now表示走到的當前節點，now的初始值爲根節點
10     for(int j=0;j<len;j++)
11     {
12         if(p[now][s[j]]>0){
13             now=p[now][s[j]];//若是能沿着j節點往下走，直接往下走
14         }
15         else{
16             pow[now][s[j]]=++cnt;
17             now=p[now][s[j]];
18         } 
19     } 
20     v[now]++;//記錄now這個節點被訪問的次數 
21 }

3.Trie樹的查詢：能夠看出trie樹中每一個節點表示其中一個字符串的前綴，在作題過程當中每每經過這個性質來獲得較好的時間複雜度。code

4.一個例題：給定n個互不相同的串，求存在多少對數(i,j)（共n²對）知足第i個串是第j個串的前綴。htm

全部串的長度之和≤500000。

解題：根據性質，「在樹上，兩個點u,v知足u是v的祖先，那麼u表明的字符串必定是v表明的字符串的前綴」。

咱們要知足一個串是另外一個串的前綴，也就是說，在trie樹上，這個串對應的位置是另外一個串對應的位置的祖先。

構建這棵trie樹，而後咱們枚舉每一個紅色點，它對答案的貢獻是以它爲根的子樹中紅色節點的個數之和。這個東西能夠在一開始遍歷這棵樹預處理出來！

時間複雜度是線性的。

 1 void dfs(int x)
 2 {
 3     if(v[x]) sum[x]++;
 4     for(char i='a';i<='z';i++)
 5     {
 6         if(p[x][i])//從當前x沿着i這個字符走還能往下走 
 7         {
 8             dfs(p[x][i]);//往下走 
 9             sum[x]+=sum[p[x][i]];//累加貢獻sum 
10         }
11     }
12 } 
13 dfs(1);//從根節點開始

5.USACO的某題（這題真的亂）：給定n個串，重排字符之間的大小關係，問哪些串有可能成爲字典序最小的串。

全部字符串的長度之和<=100000。

例如，有一個字符串，裏面只有'a'~'z'這些字符，默認地，'a'是最小的，'z'是最大的。可是咱們能夠從新定義字符間的大小關係，好比這樣：b<c<d<y<x<z，從而咱們對於一些字符串，就按照咱們新定義的大小關係來比較字典序大小。

舉個栗子：

三個字符串"aab","aba","baa"，總共只出現了兩個字符'a'和'b'，因此字符間的大小關係要麼是a<b要麼是a>b，假設a<b，則第一個串"aab"就是字典序最小的串；假設b<a，則第三個串"baa"就是字典序最小的串，可是對於第二個串，不管咱們怎麼定義字符間的大小關係，都不可能成爲三個字符串中字典序最小的。

解題：首先對這n個串構建trie樹，以後對每一個串，從根走向它，這個路程中遇到的全部兄弟在字典序下都比它大。

對於每一個串，從前日後，直接肯定這個字符的大小關係，判斷是不是字典序最小。

如下兩個串都是有可能成爲字典序最小的串的：

abcd…xyza

abcd…xyzb

因此有：u是v的前綴，則v必定不是字典序最小的串。

如今問題來了：對於每一個串，在什麼條件下，是字典序最小的？？

來個栗子：有一些字符串（"aabc"，"aac"，"aad"，"ac"，"adb"，"aabb"），構造trie樹以下：

對於"aabc"這個串，往下遍歷：

從深度爲2的那一層，咱們能夠獲得：a<c,a<d；

從深度爲3的那一層，咱們能夠獲得：b<c,b<d；

從深度爲4的那一層，咱們還能夠獲得：c<b。

綜上所述：咱們獲得了一堆的關係：a<c,a<d；b<c,b<d；c<b，容易看出，這些關係是存在矛盾的，因此無解->"aabc"是不可能成爲字典序最小的串。

因此要想有解，這一堆的關係必須知足兩個條件：①不存在矛盾②不存在環

總的來講，就是判斷這一堆的關係是否存在拓撲序！

最多有26×26個大小關係，而最多有100000個字符串，因此時間複雜度最大爲：O(26×26×100000)。

2、KMP算法（「看mao片算法」~咳咳）：

給定兩個字符串A,B，判斷T是否爲S的子串（變式：尋找子串B在串A中的位置）。

要求一個O(|A|+|B|)的作法。

一般稱A爲目標串（或主串），B爲模式串。

算法過程：

咱們假設串A的長度爲n，串B的長度爲m，每一個字符串的開頭下標默認爲1。

定義兩個變量i和j，這兩個變量共同表示：A[i-j+1~i]與B[1~j]均匹配，即：A中以第i個字符結尾的、長度爲j的字符串，和B從頭開始長度爲j的字符串徹底匹配。

繼續往下匹配：若是i+1和j+1不匹配。

如今，就是用到了KMP算法的核心：它對這一狀況的處理方式是減小j，就至關於將子串向右平移。

平移的目的是爲了讓「A[i-j+1~i]與B[1~j]均匹配」這個條件從新知足。

在上圖中，j一直減少到了0，由於向右平移的過程當中，始終不能讓這個條件知足（最右邊"?"部分已經越界）

但有時候，將j減小一點點以後，是能夠從新知足條件的，例如：

那麼咱們將j從7減少到4時，有：

這樣就能夠徹底匹配啦！可是後面還有沒有匹配的機會咱們就無論了，至少咱們已經保證A[4~7]和B[1~4]徹底匹配上了。

如今考慮一個問題：咱們每次把j減少1（一位一位地平移B字符串），這樣太慢了，咱們在這裏預處理一個next[]數組，表示當j匹配不下去的時候，咱們能夠把j減小到next[j]，繼續嘗試匹配。

預處理過程：讓j本身和本身匹配一下，一旦匹配發現B[k-m+1~k] 和 B[1~m] 匹配，則說明在A與B匹配過程當中，j等於k匹配不下去時，j能夠嘗試減少到m。

過程以下：

/**************************************///靚麗的分界線

一些代碼：

 1 /*核心內容*/
 2 for(int i=1,j=0;i<=n;i++)
 3 {
 4     while(j&&B[j+1]!= A[i]) j=next[j];
 5     if(B[j+1]==A[i]) j++;
 6     if(j==m)
 7     {
 8         printf("%d\n", i-j+1);//輸出找到的"B字串在 A中位置"
 9         //若是要求的是出現次數，這裏也有多是ans++什麼的
10         j=next[j];//讓循環進行下去
11     }
12 }

1 for(int i=2,j=0;i<=m;i++)/*預處理next[]數組*/ 2 {
3     while(j&&B[j+1]!=B[i]) j=next[j];
4     if(B[j+1]==B[i]) j++;
5     next[i]=j;
6 }

經典例題：Blue jeans（POJ 3080）

給定m個串，求字典序最小的公共子串。找一個串，使得這個串是全部串的子串，而且字典序最小。

m≤10，每一個串的長度≤60.

解題思路：一個串，若是是全部串的子串，那麼確定是第一個串的子串。

枚舉全部子串，複雜度爲60*60。
驗證其它串是否包含這個子串，複雜度爲10*60。
每次更新答案便可。

時間複雜度爲：O(60³×10)

經典例題：Seek the Name,Seek the Fame（POJ 2752）

給定一個字符串S，求全部既是S的前綴又是S的後綴的子串，從小到大輸出這些串的長度。
|S|<=500000。

N爲字符串S的長度。

解題思路：

回到KMP算法，咱們令P[j]表示找最大的數x，使得B中位置是1~x的字符與j-x+1~j的字符徹底相同，也就是上面講的KMP算法中的next[]。

考慮P[|S|]的意義，也就是最大的前綴等於後綴的長度（不包括其自己）。

那P[P[|S|]]就是次大的。
所以全部P[P[…P[|S|]]]就是答案了，一直這樣遞歸下去就能夠找到答案。

或者用Hash來作，這樣更容易想到也比較方便，但效率沒有KMP高。

3、AC自動機：

有n個模式串，長度之和是|T|，有一個主串，長度是|S|，問哪些模式串是這個主串的子串（或者有多少個模式串在主串中出現過）？

解法一：直接跑n次KMP算法，時間複雜度：O(n×|S|)。

解法二：AC自動機，時間複雜度：O(|T|+|S|)，對於n個串，構建trie樹，在trie樹上作KMP。

在這裏我來詳解一下AC自動機啊~

首先咱們定義一個指針，叫作「失配指針」或者「失敗指針」，在KMP算法中，這個失配指針就是next[]數組，一樣地在AC自動機中，在trie樹上也定義一個失配指針與此相似但不徹底相同。

失配指針：假設一個節點k的失配指針指向j，那麼k、j知足性質：設根節點root到j的距離爲n，則從k以上的第n個節點到k這個節點所組成的長度爲n的單詞，與根節點root到j所組成的單詞徹底相同。

以下圖：

單詞"she"中的'e'的失配指針指向的是單詞"her"中的'e'，由於紅框中的部分是徹底同樣的。

而後，問題來了，咱們該怎樣處理這個失配指針呢？其實咱們能夠用BFS就很方便地解決了。

處理過程：讓和根節點直接相連的節點的失配指針指向根節點，對於其餘節點（假設爲a），設這個節點上的字母爲ch，沿着a的父親b的失配指針走，一直走到一個節點c，c的兒子中也有字母爲ch的節點d，而後把a節點的失配指針指向c節點的兒子d（由於d的字母也爲ch），若是一直走到了根節點都沒找到，那就把失配指針指向根節點。

最開始，咱們把根節點加入隊列(根節點的失敗指針顯然指向本身)，這之後咱們每處理一個點，就把它的全部兒子加入隊列，直到搞完。

這樣咱們就獲得了一棵帶有失配指針的trie樹了，接下來正式介紹AC自動機工做原理！

AC自動機原理：對於一棵trie樹，咱們用黃色表示一個單詞（某個模式串）的末尾，也就是說從根節點走到一個黃色的點，就組成一個「單詞」，以下圖：

一開始，trie樹中有一個指針t1指向根節點root，將這n個模式串合併爲一個模式主串，模式主串中有一個指針t2指向這個模式主串的串頭。

接下來進行相似KMP算法的操做：若是t2指向的字母，是trie樹中，t1指向的節點的兒子，那麼把t2+1，t1改成那個兒子的編號，不然t1順這當前節點的失配指針往上找，直到t2是t1的一個兒子，或者t1指向根爲止。

若是t1通過了一個黃色的點，那麼以這個點結尾的單詞就算出現過了（這個模式串已經在主串中出現了），或者若是t1所在的點能夠沿着失配指針走到一個黃色的點，那麼以那個黃色的點爲結尾的單詞就算出現過了（這個模式串已經在主串中出現了），記錄答案便可。

代碼。。。我比較懶並且弱，之後有機會再發吧！

經典例題：僞裝是字符串的題——正則表達式（ZHW YY出來的題）

給定一個字符串，判斷其是否爲合法的正則表達式。

一個正則表達式定義爲：

①0是正則表達式，1也是正則表達式。

②P和Q都是正則表達式，則PQ也是正則表達式。

③P是正則表達式，則(P)是正則表達式

④P是正則表達式，則P*也是正則表達式

⑤P和Q都是正則表達式，則P|Q是正則表達式

舉個栗子：

010101101*
(11|0*)*

以上都是都是正則表達式
|S|<=100

解題思路：令dp[i][j]表示第i個字符到第j個字符可否組成正則表達式，分5種狀況進行轉移就能夠了。

四：對拍方法：

對拍：你給兩個程序，和一個隨機數據生成器，而後系統去用這個隨機數據生成器的輸出做爲你這兩個程序的輸入，而後比較你這兩個程序的輸出，能夠找到一組使這兩個程序輸出不同的數據（若是存在的話），這樣就能夠提升正確率。

通常的對拍是：對於一個題，咱們寫一個暴力算法，管它什麼時間空間效率呢？！而後寫一個你對於這題的正確解法程序，拿這兩個程序進行對拍。

對拍的實現過程：

首先，在本地新建一個文件夾。

而後，在裏面放入std.exe、mkdt.exe、a.exe這三個exe程序（名字能夠本身亂取）。

std.exe：你暴力寫的一個作法或者你從網上找的一份AC代碼生成的程序，反正結果確定是對的。

a.exe：你的代碼生成的程序，你不知道他對不對或者你知道他是WA的可是你不知道哪裏WA了。

mkdt.exe：就是你的隨機數據生成器，你能夠用它去生成你認爲的合法數據。

最後，在文件夾中新建一個txt記事本文檔，在裏面輸入如下代碼：

1 :loop
2     mkdt.exe
3     std.exe
4     a.exe
5     fc std.out a.out
6     if %errorlevel%==0 goto loop
7 pause

而後保存，把".txt"這個後綴名改成".bat"，雙擊運行便可！

5、隨機算法：

①隨機生成一棵樹：

1 for(int i=2;i<=n;i++)/*隨機生成一棵樹*/
2 {
3     cout<<rand()%(i-1)+1<<' '<<i<<endl;
4 }//深度爲lgn

②隨機生成一棵長毛的鏈：

1 /*隨機生成一棵長毛的鏈：1~n/2*/
2 for(int i=2;i<=n/2;i++) cout<<i-1<<' 'i<<endl;
3 for(int i=n/2+1;i<=n;i++) cout<<rand()%(i-1)+1<<' '<<endl;

③給你一張圖，生成一張圖：

 1 /*給你一張圖，生成一張圖，10萬個點，20萬條邊 */
 2 map<long long,int> mp;
 3 for(int i=1;i<=200000;i++)
 4 {
 5     int A=rand()%n+1;
 6     int B=rand()%n+1;
 7     while(A==B||mp[1ll*A*100005+B])
 8     {
 9         A=rand()%n+1;
10         B=rand()%n+1;
11     }
12     mp[1ll*A*10005+B]=1;
13     cout<<A<<' '<<B<<endl;
14 }