數據結構之算法

算法是解決特定問題求解步驟的描述，在計算機中表現爲指令的有限序列，而且每條指令表示一個或多個操做。

算法是須要單獨講解的，在數據結構中談到算法，是爲了幫助理解好數據結構，並不會詳談算法的方方面面。

兩種算法的比較

1+2+3+.....+100

算法1：

#include <stdio.h>

int main(void) {
    int i, sum = 0, n = 100;
	for(i = 1; i <= n; i++){
	    sum += i;
	}
	printf("%d", sum);
	return 0;
}

 算法2（高斯的算法）：

#include <stdio.h>

int main(void) {
    int i, sum = 0, n = 100;
　　sum = (1+n)*n/2;
　　printf("%d", sum);
　　return 0;
}

顯然高斯的算法厲害不少。

算法的特性

五個基本特性：輸入、輸出、有窮性、肯定性和可行性

一、輸入輸出

　　算法具備林哥或多個輸入，但至少有一個或多個輸出，輸出的形式能夠是打印、返回一個或多個值。

二、有窮性

　　算法在指定郵箱的步驟以後，自動結束而不會出現無限循環，且每一個步驟在可接受的時間內完成。

三、肯定性

　　算法的每一步驟都具備肯定的含義，不會出現二義性。

四、可行性

　　算法的每一步都必須是可行的。

算法設計的要求

 好的算法應該具備：正確性、可讀性、健壯性、高效率和低存儲量的特徵。

一、正確性

　　至少應該具備輸入、輸出和加工處理無歧義性、能正確反映問題的要求，能獲得問題的正確答案。

　　但一般對「正確」的理解有很大差異，大體分爲如下四個層次：

　　　　（1）沒有語法錯誤；

　　　　（2）合法的輸入數據能產生知足要求的輸出結果

　　　　（3）非法的輸入數據能知足規格說明的結果；

　　　　（4）精心選擇的，甚至刁難的測試數據都有知足要求的輸出結果

　　證實一個複雜算在全部層次是正確的，代價很是昂貴，因此通常，咱們把層次3做爲一個算法是否正確的標準。

二、可讀性

　　便於閱讀、理解和交流。可讀性是算法好壞很重要的標誌。

三、健壯性

　　輸入數據不合法是，算法也能作出相關處理，而不是產生異常或莫名其妙的問題。

四、時間效率高和存儲量低

函數的逐漸增加

　　判斷一個算法的效率時，函數中的參數和其餘次要項經常能夠忽略，而更應該關注主項（最高階項）的階數。

　　某個算法，隨着n的增加，它會愈來愈優於另外一算法，或愈來愈差於另外一算法。

算法的時間複雜度

一、定義

　　T(n)=O(f(n)) ，表示隨問題規模n的增大，算法執行時間的增加率和f(n)的增加率相同，稱爲算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。其中f(n)是問題規模n的某個函數。

用O( )體現算法時間複雜度的記法，稱爲 大O記法。

二、推導大O階方法

　　（1）用常數1取代運行時間中的全部加法常數。

　　（2）在修改後的運行次數函數中，只保留最高階項。

　　（3）若是最高階項存在且不是1，這去除與這個項相乘的常數。

　　獲得的結果就是大O階。

舉例：

三、常數階

下面這個算法不是O(3),而是O(1)　　

int i, sum = 0, n = 100; /*執行一次*/
sum = (1+n)*n/2; /*執行一次*/
printf("%d", sum); /*執行一次*/

執行時間恆定的算法，稱之爲具備O(1)的時間複雜度，又叫常數階

無論常數是多少，咱們都記做O(1),而不能是O(3)等其餘任何數字，這是初學者常犯的錯誤。

對於分支結構（不包含在循環結構中），不管真假，執行次數都是恆定的，因此其時間複雜度也是O(1).

四、線性階

　　分析算法的複雜度，關鍵是要分析出循環結構的運行狀況。

　　下面這段代碼是O(n)，由於循環體要執行n次　

 int i, sum = 0, n = 100;
	for(i = 1; i <= n; i++){
	    sum += i;
	}

五、對數階

下面這段代碼，x = ㏒₂n,因此時間複雜度爲O(㏒n)

int count = 1, n = 100;
	while (count < n) {
	    count *= 2;
	}

六、平方階

下面這段代碼，循環體的嵌套，時間複雜度爲O(n²)

for(int i = 0;i <n; i++){
	    for(int j = 0;j <n; j++){
	        printf("test")
	    }
	}

理解大O推導不難，難的是對數列的一些相關運算，這更多的是考察你的數學知識和能力。

常見的時間複雜度

時間複雜度耗費時間從小到大排序依次是

執行次數函數	階	非正式術語
12	O(1)	常數階
5㏒₂n+20	O(㏒n)	對數階
2n+1	O(n)	線性階
2n+3n㏒₂n+19	O(n㏒n)	n㏒n階
3n²+2n+1	O(n²)	平方階
6n³+2n²+3n+4	O(n³)	立方階
2ⁿ	O(2ⁿ)	指數階

 

 

 

 

 

 

 

固然還有O(n!)和O(nⁿ)，但O(n³)、O(2ⁿ)、O(n!)和O(nⁿ)除非很小的n值，不然哪怕n只是100，都是噩夢般的運行時間，對於這種不切實際的算法時間複雜度，通常都不討論它。

最壞狀況運行時間和平均運行時間

最壞狀況運行時間是一種保證，那就是運行時間將不會再壞了。在應用中，這是一種最重要的需求，一般，咱們提到的運行時間都是最壞狀況的運行時間。

而平均運行時間是全部狀況中最有意義的，由於它是指望的運行時間。

算法空間複雜度

寫代碼時，徹底能夠用空間換取時間。

算法的空間複雜度經過計算算法所需的存儲空間實現，算法空間複雜度的計算公式記做：S(n)=O(f(n))。

咱們討論的通常都是算法的時間複雜度。